第三课 导数及其应用
[核心速填]
1．在x＝x0处的导数
(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim
Δx→0
0Δy＝lim ΔxΔx→0
＋Δ－Δx0，称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率． 2．导函数
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称为导函数．f′(x)＝y′＝lim
Δx→0
＋Δ
Δx－
.
3．基本初等函数的导数公式 (1)c′＝0. (2)(x)′＝αx
x
x
α
α－1
.
(3)(a)′＝aln_a(a>0)． (4)(e)′＝e.
1
(5)(logax)′＝(a>0，且a≠1)．
xln a1(6)(ln x)′＝. x(7)(sin x)′＝cos_x. (8)(cos x)′＝－sin_x. 4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)?
x
x
???′＝??
－
2
(g(x)≠0)．
5．函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数．
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
(2)函数的极值与导数．
①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)>f(x)，当x
②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)
6．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值．
[体系构建]
[题型探究]
导数的几何意义 已知函数f(x)＝ax＋3x－6ax－11，g(x)＝3x＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值；
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．
[思路探究] (1)求(2)设直线m与y＝检验切线是否与y＝
→
－
＝0→求得a
斜率与切线方程→
322相切→求出相应切线的相切→得结论
2
[解] (1)因为f′(x)＝3ax＋6x－6a，且f′(－1)＝0， 所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.
(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程． 设切点为(x0,3x0＋6x0＋12)， 又因为g′(x0)＝6x0＋6. 所以切线方程为
y－(3x0＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)． 将点(0,9)代入，
得9－3x0－6x0－12＝－6x0－6x0， 所以3x0－3＝0，得x0＝±1.
当x0＝1时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)， 所以切线方程为y＝12x＋9；
当x0＝－1时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)，
22
2
2
2
所以切线方程为y＝9.
下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程： 因为f(x)＝－2x＋3x＋12x－11， 所以f′(x)＝－6x＋6x＋12.
由f′(x)＝12，得－6x＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1.
当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11； 当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10. 所以y＝12x＋9不是公切线． 由f′(x)＝0，得－6x＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18； 当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9， 所以y＝9是公切线．
综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线．
[规律方法] 此题直线m恒过点(0，9)是解题的突破口，即若m是f(x)，g(x)的公切线，则切线必过点(0，9).一般说来，求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出过定点的一曲线的切线方程，再令斜率值与另一曲线的导数相等，求出可能的切点，得出对应切线方程.若两条直线方程相同，则为公切线；若不同，则不存在公切线.当然，也可能会存在切线斜率不存在的情况. [跟踪训练] 1．已知函数f(x)＝x＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； 1
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程.
4
【导学号：97792173】
[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x＋x－16)′＝3x＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)， 即y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x0＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x0＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16. 又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x0＋1)(－x0)＋x0＋x0－16， 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2，
32
32
3
2
3
2
322
23
2
∴y0＝(－2)＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)＋1＝13，
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． x
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
4∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x0＋1＝4， ∴x0＝±1，
??x0＝1，∴?
?y0＝－14?
2
2
3
??x0＝－1，
或?
?y0＝－18.?
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.
利用导数研究函数的单调性 432
已知函数f(x)＝ax＋x(a∈R)在x＝－处取得极值．
3(1)确定a的值；
(2)若g(x)＝f(x)e，讨论g(x)的单调性．
x
?4?[思路探究] (1)利用f′?－?＝0求解． ?3?
(2)先求g(x)，再求g′(x)＝0的根，最后确定g(x)的单调性． [解] (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax＋2x. 4
因为f(x)在x＝－处取得极值，
3
16?4??4?16a－8＝0，
所以f′?－?＝3a·＋2·?－?＝
9?3??3?331
解得a＝.经检验满足题意．
2
2
?132?x
(2)由(1)知g(x)＝?x＋x?e，所以g′(x)
?2??32?x?132?x
＝?x＋2x?e＋?x＋x?e ?2??2??1352?x＝?x＋x＋2x?e
2?2?
1x
＝x(x＋1)(x＋4)e. 2
令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4. 当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数； 当－4