11由f?(x)?0，解得x??或x?1，由f?(x)?0，解得??x?1，

33因此，函数f(x)在??,1?单调递减，在???,??和(1,??)上单调递增.

?1??3???1?3?（2）由（1）可知函数f(x)在??1,??单调递增，在??,1?单调递减，在(1,2)单调递增.

故f(x)max?max?f???,f(2)??2，

??1?3??1??3???1???3???此时x?2；

f(x)min?min{f(?1),f(1)}??1

此时x??1. 【点睛】

本题考查了函数的单调性、极值问题，最值问题，考查转化思想，属于中档题． 19．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为（1）求m，n的值；

（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 【答案】（1）m?4，n?8（2）

1，从盒子里一次随机取310. 1142 55【解析】（1）设该盒子里有红球m个，白球n个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m，n．

（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率． 【详解】

1?m??m?n3?解：（1）设该盒子里有红球m个，白球n个.根据题意得?， 2C10?1?m?2??Cm?n11解方程组得m?4，n?8， 故红球有4个，白球有8个.

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（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A.

3C814 设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B，则P(B)?3?C1255设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C，则

1C82C428P(C)?3?，

C1255故P(A)?P(B)?P(C)?42. 5542. 55因此，从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为【点睛】

本题考查实数值、概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，属于中档题．

20．如图，在矩形ABC中，AB?3，AD?6，E在线段AD上，DE?2，现沿BE将ABE折起，使A至位置A?，F在线段A?C上，且CF?2FA?.

（1）求证：DF//平面A?BE；

（2）若A?在平面BCDE上的射影O在直线BC上，求直线A?C与平面A?BE所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）

314 16【解析】（1）取CM?2BM,再根据平几知识证FM//A?B,DM//BE,最后根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理及其性质得结果；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求出平面A?BE法向量，根据向量夹角公式求夹角，最后根据向量夹角与线面角关系得结果. 【详解】

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（1）

取CM?2BM,因为CF?2FA?，所以

FM//A?B,QFM?平面A?BE，A?B?平面A?BE，所以FM//平面A?BE，

因为BM?1BC?2?DE,BM//DE?四边形BMDE为平行四边形，即3DM//BE,QDM?平面A?BE，BE?平面A?BE，所以DM//平面A?BE，因为

FMIDM?M,FM,DM?平面FDM，所以平面FDM//平面A?BE，因为DF?平面FDM，所以FD//平面A?BE

（2）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系, 设

B(?t,0,0),(t?0),C(6?t,0,0),E(4?t,3,0),A?(0,0,m)(m?0)，因为

937 |A?B|?3,|A?E|?4?t2?m2?9,(4?t)2?9?m2?16,?t?,m?44r设平面A?BE法向量为n?(x,y,z)，

rr937ruurruuur则n?BE?0,n?BA??0,即n?(4,3,0)?0,n?(,0,)?0,

4443r43,n?(1,?,?) 即4x?3y?0,3x?7z?0,令x?1?y??,z??3377159?ruuuruuur153744?314?cos?n,AC?? 因为A?C?(,0,?),所以16164432?37因此直线A?C与平面A?BE所成角的正弦值为

314 16【点睛】

本题考查线面平行判定定理以及利用空间向量求线面角，考查综合分析论证与求解能

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力，属中档题.

21．已知A?x1,y1?，B?x2,y2?为抛物线y2?16x上的相异两点，且x1?x2?8.

（1）若直线AB过M(2,0)，求AB的值；

（2）若直线AB的垂直平分线交x轴与点P，求△PAB面积的最大值. 【答案】（1）415（2）

2566 9【解析】（1）设直线AB的方程为ty?x?m，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，计算可得所求值；

（2）设线段AB的中点为M(x0，y0)，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，以及直线方程，可得P的坐标，

设出直线AB的方程代入抛物线方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，化简整理，结合基本不等式可得所求最大值． 【详解】

解：（1）当垂直于x轴或斜率为零时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为

ty?x?m，

2代入方程y?16x，得y?16ty?16m?0

2???(16t)2?4?16m?0? 故?y1?y2?16t?yy??16m?122y1?y2??2y1y2?y12?y2x1?x2???8，

16162结合m?2解得t ?21. 4因此，|AB|?1?t2y1?y2?1?t2(16t)2?4?16m?415. （2）设线段AB的中点为M(x0，y0)，

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