作业2（修改2008－10）
4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为p(0?p?1),若以X表示直至掷到正、反面
都出现为止所需投掷的次数,求X的概率分布.
解 对于k?2,3,L,前k?1次出现正面,第k次出现反面的概率是pk?1(1?p),前k?1次出现反面,第k次出现正面的概率是(1?p)k?1p,因而X有概率分布
P(X?k)?pk?1(1?p)?(1?p)k?1p,k?2,3,L.
5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.
第1个能正确回答的概率是5/8,
第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)?15/56, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)?5/56, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)?1/56, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)?0.
设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X,则X有分布
X P
0 5/8 1 15/56 2 5/56 3 1/56 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.
解 设一天中某人收到X位朋友的电子邮件,则X~B(100,0.04),一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是P(X?4). 1) 用二项分布公式计算
kP(X?4)?1?P(X?4)?1??k?0C1000.04k(1?0.04)100?k?0.5705.
3 2) 用泊松近似律计算 P(X?4)?1?P(X?4)?1??3Ck0.04k(1?0.04)100?kk?0100?1??k34e?4k?0k!?0.5665.
8. 设X服从泊松分布,分布律为
P(X?k)??kk!e??,k?0,1,2,L.
问当k取何值时P{X?k}最大
解 设ak?P(X?k)/P(X?k?1),k?1,2,L,则
?k?1e??/k!?ak?k???,
?e/(k?1)!k数列{ak}是一个递减的数列. 若a1?1,则P(X?0)最大.
若a1?1,则当ak?1且ak?1?1时,P{X?k}最大. 由此得
1) 若??1,则P(X?0)最大.
2) 若??1,则P{X?k}最大??/k?1且?/(k?1)?1???1?k??. 由上面的1)和2)知,无论??1或??1,都有
?不是整数?[?]P{X?k}最大?k??.
??1或??是整数?
12. 设随机变量X的概率密度为p(x)?xI[0,1)(x)?(2?x)I[1,2](x).求X的分布函数F(x),并作出p(x)与F(x)的图形. 解 F(x)??x??p(v)dv?I(??,0)(x)?0?dv?I[0,1)(x)??x ?I[1,2)(x) ?I[2,??)??(x)??0x0??0?dv??1????vdv??(2?x)dv?
0x1211x01??0?dv??vdv
0x?0??0?dv??vdv??(2?v)dv??01??20?dv
? ?I[0,1)(x)?vdv?I[1,2)(x)??vdv??(2?v)dv?I[2,??)(x)???10vdv??(2?v)dv
12? ?(x2/2)I[0,1)(x)?(2x?x2/2?1)I[1,2)(x)?I[2,??)(x).
11. 设随机变量X的概率密度为p(x)?cxI[0,10](x).求常数c和X的分布函数,并求概率P(X?16/X?10).
解 1??????p(x)dx??x100cx2cxdx?210?50c, c?1/50.
0F(x)????p(v)dv?I[0,10)(x)?x0vx2dv?I[10,??)(x)?I[0,10)(x)?I[10,??)(x). 50100P(X?16/X?10)?P(X2?10X?16?0)?P(2?X?8)
??82xx2p(x)dx??dx??3/5.
250100288
15. 设随机变量X的密度为ce?x解 1??????2?x.求常数c.
ce?x2?xdx?c?x?t?1/2???(x?1/2)2?1/4???t2edx?ce1/4edt??????ce1/4?.
由上式得c?e?1/4??1/2.
15. 离散型随机向量(X,Y)有如下的概率分布:
Y X 0 1 2 解 X有分布
xk 0 0 0 1 0 2 3 求边缘分布.又问随机变量X,Y是否独立 0 1 1 2 2 3 P(X?xk) Y有分布
yk 0 P(Y?yk) 因为
0?P(X?2,Y?0)?P(X?2)P(Y?0)?0.3?0.1,
所以X,Y不独立.
18．
设随机向量
(X,Y)服从矩形
D?{(x,y):?1?x?2,0?y?2}上的均匀分布,求条件概率P(X?1|X?Y).
1解 P(X?Y)?(6??2?2)/6?2/3,
21 P(X?Y,X?1)?(?1?1)/6?1/12,
2 P(X?1|X?Y)?
22. 随机向量(X,Y)有联合密度
p(x,y)?cx?y22P(X?Y,X?1)1/12??1/8.
P(X?Y)2/3IE(x,y),
其中E?{(x,y):0?x2?y2?R2}.求系数c和(X,Y)落在圆D?{(x,y):x2?y2?r2}内的概率. 解
x?rcos?y?rsin?21??因而c??????????p(x,y)dxdy?2??c20?x?y?R2x?y2dxdy??0?0R?2?d?cdr?2?cR
?12?R.而
P{(X,Y)?D}???p(x,y)dxdy?Dx2?y2?r2??12?Rx?y22dxdy
x?rcos?y?rsin??2?R?01r??2?0d?dr?r/R.
?27. 设X~N(?,?2),分别找出ki,使得P(??ki??X???ki?)??i.其中i?1,2,3,
?1?0.9,?2?0.95,?3?0.99.
解1 ?i?P(??ki??X???ki?)??
x??t????ki???ki?221e?(x??)/(2?)dx ?2????kkii1?t2/2edt??(ki)??(?ki)?2?(ki)?1. 2? ?(ki)?(?i?1)/2.