2019-2020学年辽宁省丹东市高三(上)期末数学试卷(理科) 下载本文

因为|FF?|?2?22,所以曲线C是以点F (?1,0),F?(1,0)为焦点的椭圆.

x2由a?2,c?1,得b?1,故C的方程为?y2?1.

2(2)设l:y?x?t,M(x1,y1),N(x2,y2),则D(0,t),

|DM|?(x1?0)2?(y1?t)2?2|x1|,|DN|?(x2?0)2?(y2?t)2?2|x2|. x2y?x?t与?y2?1联立得3x2?4tx?2t2?2?0.

2t0时,即?3剟当△?8(3?t)…22t2?23时,x1x2??.

34|t2?1|所以|DM|g. |DN|?2|x1x2|?3|DB|?|t?1|g|t?1|?|t2?1|. 由(1)得A(0,?1),A(0,1),所以|DA|g4|t2?1|等式|DM|g??|t2?1|. |DN|??|DA|g|DB|可化为

34t3且t??1时,??. 当?3剟3当t??1时,?可以取任意实数. 综上,实数?的值为

4. 31?x?lnx. 1?x21.(12分)已知函数f(x)?(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)证明:在(1,??)上存在唯一的x0,使得曲线y?lnx在x?x0处的切线l也是曲线y?ex的切线.

x2?1【解答】解:(1)f (x)定义域为(0,1)?(1,??),f?(x)??0.

x(1?x)2因此f (x)在(0,1)单调递增,在(1,??)单调递增. (2)曲线在y?lnx在x?x0处切线l的方程为y?设l与曲线y?ex相切于点(x1,ex1),则消去x1得

1

x?lnx0?1. x0

1?x0?lnx0?0,即f (x0)?0. 1?x0于是当且仅当x0是f (x)的零点时,l是曲线y?ex的切线.

3?e21?e22因为f (e)??0,f (x)在(1,??)单调递增, ?1??0,f (e)?1?e21?e1?e所以f (x)在(1,??)上存在唯一零点.

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所以在(1,??)上存在唯一的x0,使得曲线y?lnx在x?x0处的切线l也是曲线y?ex的切线. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,倾斜角为?的直线l过点M(?2,?4),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为?sin2??2cos?. (1)写出直线l的参数方程(?为常数)和曲线C的直角坐标方程; (2)若直线l与C交于A、B两点,且|MA|g|MB|?40,求倾斜角?的值. 【解答】解:(1)Q倾斜角为?的直线l过点M(?2,?4),

?直线l的参数方程是??x??2?tcos?,(t是参数),

y??4?tsin??Q曲线C的极坐标方程为?sin2??2cos?,

?曲线C的直角坐标方程是:y2?2x;

(2)把直线的参数方程代入y2?2x,得t2sin2??(2cos??8sin?)t?20?0,

?t1?t2?2cos??8sin?20,, tt?12sin2?sin2?根据直线参数的几何意义

|MA||MB|?|t1t2|?故??20?40, sin2??4或??3?, 4又Q△?(2cos??8sin?)2?80sin2??0, 故???4.

[选修4-5:不等式选讲](10分) 23.已知a?0,b?0. a2b?ab2; (1)证明:a3?b3…(2)若a?b?2,求a3?b3的最小值.

【解答】解:(1)a3?b3?a2b?ab2?a2 (a?b)?b2 (b?a)

?(a?b)(a2?b2)?(a?b)2(a?b).

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0, Qa?0,b?0,?a?b?0,(a?b)2…?(a?b)2(a?b)…0. 于是a3?b3…a2b?ab2.

(2)Qa?b?2,?a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

?2(a2?ab?b2)?2[(a?b)2?3ab]?8?6ab.

Qab?(a?b2)?1,当且仅当a?b?1等号成立, 2?8?6ab…2.故当a?b?1时,a3?b3取最小值2.

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