2019-2020学年辽宁省丹东市高三(上)期末数学试卷(理科) 下载本文

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.

17.(12分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1??1,an?1?SngSn?1. (1)证明:数列{1}是等差数列; Sn(2)求{an}的通项公式.

【解答】解:(1)因为an?1?Sn?1?Sn,所以Sn?1?Sn?SngSn?1. 两边同除以SngSn?1得因为a1??1,所以因此数列{11???1. Sn?1Sn1??1. S11}是首项为?1,公差为?1的等差数列. Sn11??1?(n?1)(?1)??n,Sn??. Snn12时,an?Sn?1gSn?当n….

n(n?1)(2)由(1)得于是an?1(首项不符合通项),

n(n?1)(n?1)(n…2)??1?故an??1?n(n?1)?.

18.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x(单位:t,

第13页(共19页)

100剟x150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度

内经销该农产品的利润.

(Ⅰ)将T表示为x的函数;

(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若x?[100,110))则取x?105,且x?105的概率等于需求量落入[100,110)的频率,求T的数学期望.

【解答】解:(Ⅰ)由题意得,当x?[100,130)时,T?500x?300(130?x)?800x?39000, 当x?[130,150)时,T?500?130?65000, ?800x?39000,x?[100,130)?T??.

?65000,x?[130,150]x150. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,利润T不少于57000元,当且仅当120剟由直方图知需求量X?[120,150]的频率为0.7,

所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7. (Ⅲ)依题意可得T的分布列如图,

T 45000 53000 p 0.1 0.2 61000 0.3 65000 0.4 所以ET?45000?0.1?53000?0.2?61000?0.3?65000?0.4?59400.

19.(12分)如图,在三棱锥P?ABC中,AB?BC?22,PA?PB?PC?AC?4,O为

AC的中点.

(1)证明:PO?平面ABC;

(2)若点M在棱BC上,且二面角M?PA?C为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

第14页(共19页)

【解答】(1)证明:连接BO, QAB?BC?22,O是AC的中点,

?BO?AC,且BO?2,

又PA?PC?PB?AC?4,

?PO?AC,PO?23,

则PB2?PO2?BO2, 则PO?OB, QOBIAC?O,

?PO?平面ABC;

(2)建立以O坐标原点,OB,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图: A(0,?2,0),P(0,0,23),C(0,2,0),B(2,0,0),

uuurBC?(?2,2,0),

uuuuruuur设BM??BC?(?2?,2?,0),0???1

uuuuruuuuruuur则AM?BM?BA?(?2?,2?,0)?(?2,?2,0)?(2?2?,2??2,0), r则平面PAC的法向量为m?(1,0,0), r设平面MPA的法向量为n?(x,y,z), uuur则PA?(0,?2,?23),

rrruuuruuuu则ngPA??2y?23z?0,ngAM?(2?2?)x?(2??2)y?0

令z?1,则y??3,x?(??1)3,

1??第15页(共19页)

(??1)3r即n?(,?3,1),

1??Q二面角M?PA?C为30?,

rrmgn3?cos30??|rr?,

|m||n|2(??1)33??1即, ?2??1(g3)2?1?3g11??1解得??或??3(舍),

3r则平面MPA的法向量n?(23,?3,1), uuurPC?(0,2,?23),

uuur?23?23433r|??. PC与平面PAM所成角的正弦值sin??|cos?PC,n?|?|16416g16

20.(12分)已知圆O1:x2?y2?2x?7?0,动圆O2过定点F(?1,0)且与圆O1相切,圆心O2的轨迹为曲线C. (1)求C的方程;

(2)设斜率为1的直线l交C于M,N两点,交y轴于D点,y轴交C于A,B两点,若|DM|g|DN|??|DA|g|DB|,求实数?的值.

【解答】解:(1)圆O1的圆心为(1,0),半径为22,点F在圆O1内,故圆O2与圆O1相内切.

设圆O2的半径为r,则|O2F|?r,|O2O1|?22?r,从而|O2O1|?|O2F|?22.

第16页(共19页)