《通信原理》习题第一章
第一章习题
习题1.1 在英文字母中E出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。 解：E的信息量：IE?log2
习题1.2 某信息源由A，B，C，D四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。
解：
IA?log211??log2P(A)??log2?2bP(A)41??log2P?E???log20.105?3.25b P?E?
IB??log2335?2.415b IC??log2?2.415b ID??log2?1.678b 161616
习题1.3 某信息源由A，B，C，D四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。
解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms。传送字母的符号速率为
RB?等概时的平均信息速率为
1?100Bd
2?5?10?3Rb?RBlog2M?RBlog24?200bs
（2）平均信息量为
11316516 H?log24?log24?log2?log2?1.977比特符号
44163165?1.977?197.7bs 则平均信息速率为 Rb?RBH?100
习题1.4 试问上题中的码元速率是多少？ 解：RB?
习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。
解：该信息源的熵为
1
11??200 Bd TB5*10?3《通信原理》习题第一章
H(X)???P(xi)log2P(xi)???P(xi)log2P(xi)?16*i?1i?1M6411log232?48*log2963296
=5.79比特/符号
因此，该信息源的平均信息速率 Rb?mH?1000*5.79?5790 b/s 。
习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us。试求码元速率和信息速率。
解：RB?11??8000 Bd ?6TB125*10等概时，Rb?RBlog2M?8000*log24?16kb/s
习题1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆，输入电路的带宽为6 MHZ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。
解：V?4kTRB?4*1.38*10?23*23*600*6*106?4.57*10?12 V
习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m，试求其最远的通信距离。
解：由D2?8rh，得 D?8rh?8*6.376*10?*80
习题1.9 设英文字母E出现的概率为 0.105， x出现的概率为0.002 。试求 E 和x的信息量。 解：
p(E)?0.105p(x)?0.002I(E)??log2P?E???log20.105?3.25bitI(x)??log2P(x)??log20.002?8.97bit
849 km63
习题1.10 信息源的符号集由 A，B，C，D 和E 组成，设每一符号独立1/4出现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息量。
解：
1111155H???p(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?2.23bit/符号448881616
习题1.11 设有四个消息A、B、C、D 分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2 传送，每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。
2
《通信原理》习题第一章
解：
11111111H???p(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?1.75bit/符号
44888822习题1.12一个由字母A，B，C，D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制
脉冲编码，00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替D。每个脉冲宽度为5ms。
（1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。 （2） 若每个字母出现的概率为信息速率。
解：首先计算平均信息量。 （1）
11H???P(xi)log2p(xi)?4*(?)*log2?2 bit/字母 44
pB?131pC?pD?4,10, 4,
试计算传输的平均
平均信息速率=2（bit/字母）/(2*5m s/字母)=200bit/s
（2）
11111133H???P(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?1.985 bit/字母5544441010 平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/字母)=198.5bit/s
习题1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续 1 单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。
（1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。 解：令点出现的概率为
P(A)+P(B)=1,
(1)
P(A),划出现的频率为
P(B)
1P(A)?P(B) ? P(A)?34 P(B)?14 3I(A)??log2p(A)?0.415bitI(B)??log2p(B)?2bit
（2）
H???p(xi)log2p(xi)?3311log2?log2?0.811bit/符号 4444习题1.14 设一信息源的输出由128 个不同符号组成。其中16 个出现的概率为
1/32，其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。
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《通信原理》习题第一章
解： H???p(xi)log2p(xi)?16*(?111)?112*(?)log2?6.4bit/符号 322242244*1000=6400bit/s 。 平均信息速率为6.
习题1.15 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300个码元，问此传码率少？若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率
解：RB?300B Rb?300bit/s
RB等于多
Rb等于多少？
习题1.16 若题1.12中信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？
解：
3600Mb8.i t0传送 1 小时的信息量 2.23*1000*? 传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大的熵：
习题1.17如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms，求码元宽度为0.5ms，求传码率
解：二进独立等概信号：四进独立等概信号： 小结：
记住各个量的单位： 信息量： bit
I??log2p(x)Hmax??log21?2.32bit/符5号
3600Mb8.i t3则传送 1 小时可能达到的最大信息量 2.32*1000*?RB和
Rb；有四进信号，
RB和独立等概时的传信率
Rb 。
RB?1?2000B,Rb?2000bit/s0.5*10?3
RB?1?2000B,Rb?2*2000?4000bit/s?30.5*10。
信源符号的平均信息量（熵）： bit/符号 平均信息速率：bit/s?(bit/符号）/ (s/符号) 传码率：传信率：
I???p(ix)lox)2gp(
RBRb （B） bit/s
4
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第二章习题
习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
式中，?是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(?=0)=0.5，P(?=?/2)=0.5 试求E[X(t)]和RX(0,1)。
解：E[X(t)]=P(?=0)2cos(2?t)+P(?=/2)2cos(2?t??2)=cos(2?t)?sin2?t
cos?t
习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：为功率信号。
RX(?)?limT??1T/2?T/2X(t)X(t??)dtT?1/2?limT???T?T/22cos(2?t??)*2cos?2?(t??)???dtT?2cos(2??)?ej2?t?e?j2?t
?j2?f?j2?tP(f)???d?????e?j2?t)e?j2?f?d???RX(?)e??(e??(f?1)??(f?1)
习题2.3 设有一信号可表示为：
4exp(?t) ,t?0X(t)?{
0, t<0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
?j?t?????(1?j?)tX(?)????dt??04e?te?j?tdt?4?0edt???x(t)e4 1?j?4162?则能量谱密度 G(f)=X(f)= 221?j?1?4?f2
习题2.4 X(t)=x1cos2?t?x2sin2?t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为?2。试求：
(1)E[X(t)]，E[X2(t)]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2)
解：(1)E?X?t???E?x1cos2?t?x2sin2?t??cos2?t?E?x1?sin2?t?E?x2???0
PX(f)因为x1和x2相互独立，所以E?x1x2??E?x1??E?x2?。
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《通信原理》习题第一章
2??2。 又因为E?x1??E?x2??0，?2?Ex12?E2?x1?，所以Ex12?Ex22s2?t?sin2?t??2??2 故 EX2?t???co2????????(2)因为x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以X?t?也服从高斯分布，其概率分布函数p?x???z2??。 exp??2??2???2??1(3)RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2??
2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2? ??2?cos2??t2?t1? ??2cos
习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)exp?a?f可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题2.6 试求X(t)=Acos?t的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R(t，t+?)=E[X(t)X(t+?)] =E?Acos?t*Acos(?t??)?
12A2?AE?cos???cos?(2t??)??cos???R(?) 222?
解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。
A2功率P=R(0)=
2
习题2.7 设X1?t?和X2?t?是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为RX1???和RX2???。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。
解：
(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[X1(t)X2(t)X1(t??)X2(t??)]
=E?X1(t)X1(t??)?E?X2(t)X2(t??)?=RX1(?)RX2(?)
习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)cos?t，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZPX(f)?? 0,其它?(1)试画出自相关函数RX(?)的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。
6
《通信原理》习题第一章
?1??, ?1???0?0???1 解：(1)Rx?????1???0,其它?其波形如图2-1所示。
?1 0 1 Rx???12?图2-1信号波形图
(2)因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PX????RX???。由图2-8可见，RX???的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
Px?????11???????????0???????0???Sa2??1?2?2?2?1?2????0?2????0Sa?Sa???4?2???2???????
1P?2?
????Px???d??11,或S?Rx?0?? 22sin?f。试求此信号的自相关函数?f2习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。
解：x(t)的能量谱密度为G(f)=X(f)=
2sin?f ?f?1??, ?1???0?j2?f?df??1??0???1 其自相关函数RX?????????G(f)e?0,其它?
习题2.10 已知噪声n?t?的自相关函数Rn????k-k?e，k为常数。 2(1)试求其功率谱密度函数Pn?f?和功率P；(2)画出Rn???和Pn?f?的曲线。 解：(1)Pn(f)??????Rn(?)e?j??d???????k?k??j??k2eed??2 2k?(2?f)2 7
《通信原理》习题第一章
P?Rn?0??k2
(2)Rn(?)和Pn?f?的曲线如图2-2所示。
习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：
Rn???1 Pn?f?k20 ?0 图2-2
fR(?)?1??, ?1???1
试求X(t)的功率谱密度PX(f)并画出其曲线。 解：详见例2-12
习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZ PX(f)??0,其它?试求其平均功率。
解：P??
????PX(f)df?2?10*1030f310fdf?2*10*342?410402?*108 3?e?t/?,t?0习题2.13 设输入信号x(t)?? ，将它加到由电阻R和电容C组成的高
?0,t?0通滤波器（见图2-3）上，RC＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的系统函数为
H(f)=X(t)?2cos(2?t??), ???t??
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=
输出信号y(t)的能量谱密度为
Gy(f)?Y(f)?X(f)H(f)?(R?2211??1?j2?f?
??j2?f?C R R?1j2?fC)(1?1j2?f?)
图2-3RC 高通滤波器
习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=??dx(t)/dt?式中，?为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).
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《通信原理》习题第一章
解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=?*j2?f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2?f?
习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
n0的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 2解：参考例2-10
习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为
n0的高斯白噪声时，试求 2(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。
解：(1)LC低通滤波器的系统函数为 2L C H(f)=
j2?fC2j2?fC?j2?fL?11?4?2f2LC2
图2-4LC低通滤波器
n01
21??2LCCnC对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为R0(?)?0exp(??)
4LL输出过程的功率谱密度为P0(?)?Pi(?)H(?)?(2) 输出亦是高斯过程，因此 ?2?R0(0)?R0?(?)R
习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
n0 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 2n0 4RC0Cn(?0)0 4L解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t))=0 , ?y2?R0(0)?所以输出噪声的概率密度函数
py(x)?12x2RCexp(?)
n0?n02RC
习题2.18设随机过程?(t)可表示成?(t)?2cos(2?t??)，式中?是一个离散随变
R(0,1)量，且p(??0)?1/2、p(???/2)?1/2，试求E[?(1)]及?。
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《通信原理》习题第一章
解：E[?(1)]?1/2*2cos(2??0)?1/2*2cos(2???/2)?1;
R?(0,1)?E[?(0)?(1)]?1/2*2cos(0)2cos(2??0)?1/2*cos(?/2)2cos(2???/2)?2
习题2.19设
Z(t)?X1cosw0t?X2sinw0t2
是一随机过程，若
X1和
X2是彼此独立且
具有均值为 0、方差为?的正态随机变量，试求：
2E[Z(t)]； E[Z(t)]（1）、
（2）Z(t)的一维分布密度函数f(z)； （3）
B(t1,t2)和
R(t1,t2)。
解： （1）
E[Z(t)]?E[X1cosw0t?X2sinw0t]?cosw0tE[X1]?sinw0tE[X2]?0
因为
X1和
X2是彼此独立的正态随机变量，
X1和
X2是彼此互不相关，所以
E[X1X2]?0
E[Z2(t)]?E[X12cos2w0t?X22sin2w0t]?cos2w0tE[X12]?sin2w0tE[X22]
E[X1]?0D(X1)?E[X12]?E[X22]??2?E[X12]??2又;
同理
E[X22]??2
22E[Z(t)]??代入可得
（2）
22E[Z(t)]??E[Z(t)]由=0； 又因为Z(t)是高斯分布
1f[Z(t)?]2D[Z(t)]??2??可得 z2ex?p(22?
)(3)
B(t1,t2)?R(t1,t2)?E[Z(t1)]E[Z(t2)]?R(t1,t2)
?E[(X1cosw0t1?X2sinw0t1)(X1cosw0t2?X2sinw0t2)]
?E[(X12cosw0t1cosw0t2?X22sinw0t1sinw0t2)]??2cosw0(t1?t2)??2cosw0?令
t1?t2??
习题2.20求乘积Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为解：
10
Rx(?)、
Ry(?)。
《通信原理》习题第一章
因X(t)与Y(t)是统计独立，故 E[XY]?E[X]E[Y]
RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)] ?E[X(t)X(t??)]E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)
习题2.21若随机过程
Z(t)?m(t)cos(w0t??)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关
?1??,?1???0?Rm(?)??1??,0???1?0,其它Rm(?)?函数为 ?是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼
此统计独立。
（1） 证明Z(t)是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数（3） 求功率谱密度
解：
（1）Z(t)是宽平稳的?E[Z(t)]为常数；
E[Z(t)]?E[m(t)cos(w0t??)]?E[m(t)]E[cos(w0t??)]RZ(?)的波形；
PZ(w)及功率S 。
RZ(t1,t2)?E[Z(t1)Z(t2)]?E[m(t1)cos(w0t1??)m(t2)cos(w0t2??)]01?[2?2??cos(wt??)d?]E[Z(t)]?00
?E[m(t1)m(t2)]E[cos(w0t1??)cos(w0t2??)]E[m(t1)m(t2)]?Rm(t2?t1)
只与
t2?t1??有关：
令
t2?t1??
?cosw0?*E[cos2(w0t1??)]?sinw0?*E[cos(w0t1??)sin(w0t1??)]
E{cos(w0t1??)[cos(w0t1??)cosw0??sin(w0t1??)sinw0?}E{cos(w0t1??)cos[w0(t1??)??]}
1?cosw0?*E{[1?cos2(w0t1??)]}?02
1?cos(w0?)2
1RZ(t1,t2)?cos(w0?)*Rm(?)2所以只与?有关，证毕。
（2）波形略；
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《通信原理》习题第一章
?1?2(1??)cos(w0?),?1???0?1?1RZ(?)?cos(w0?)*Rm(?)??(1??)cos(w0?),0???12?20,其它???
PZ(w)?RZ(?)
而
RZ(?)的波形为
可以对
Rm(?)求两次导数，再利用付氏变换的性质求出
Rm(?)的付氏变换。
Rm''(?)??(??1)?2?(?)??(??1)?Pm(w)?sin(w/2)w?Sa2()w/22
w?w0w?w01?PZ(w)?[Sa2()?Sa2()]422
功率S：
S?RZ(0)?1/2
Rn(?)?aexp(?a?)P(w)2，a为常数： 求n和S；
习题2.22已知噪声n(t)的自相关函数
解：
因为
exp(?a?)?2aw2?a2
aa2Rn(?)?exp(?a?)?Pn(w)?22w?a2 所以
S?R(0)?a2
习题2.23?(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数
R(?)?1??。试求?(t)的功率谱密度
P?(w) 。
wR(?)?1???Sa2()2 解：见第2. 4 题
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《通信原理》习题第一章
因为
?T(t)??n????(t?2n)? 所以
?(t)?R(?)*?T(t)
据付氏变换的性质可得
?P?(w)?PR(w)F?(w)?而
?T(t)??n????(t?2n)???n????(w?n?)??2w2w?n?P(w)?P(w)F(w)?Sa()*??(w?n?)?Sa()*??n????n????(w?n?)?R?22故
习题2.24将一个均值为 0，功率谱密度为为频率为
wcn0/2的高斯白噪声加到一个中心角
、带宽为B的理想带通滤波器上，如图
（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解： （1）
Po(w)?H(w)Pi(w)?2n0H(w)2
G2B?(w)?BSa(B??)?因为w0又
G2w0(w)?Sa(w0?),故
H(w)?G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)]
?(w?wc)??(w?wc)?1?cos(wc?)
12?1由 付氏变换的性质 可得
f1(t)f?)2(tF(w)*2F(w)
n0nH(w)?0G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)22?R(?)?n0BSa(B??)cos(wc?)Po(w)?（2）
E[?o(t)]?0；
R(0)?E[?02(t)]?Bn0；
R(?)?E2[?o(t)]?0
所以
?2?R(0)?R(?)?Bn0
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《通信原理》习题第一章
又因为输出噪声分布为高斯分布
可得输出噪声分布函数为
1t2f[?0(t)]?exp(?)2Bn2?Bn00
n0/2习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。
解：
11jwCH(w)??1jwRC?1R?jwC
的白噪声
(1)
PO(w)?Pi(w)H(w)?2n01*21?(wRC)2
(2) 因为
exp(?a?)?po(w)?2aw2?a2
所以
?n0n01*?R(?)?exp(?)O22(wRC)?14RCRC
n0/2习题2.26将均值为0，功率谱密度为
高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
（1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。
RR?jwL
2解：
H(w)?
R?n0n0R2Po(w)?Pi(w)H(w)?*2?R(?)?exp(?)O22R?(wL)4LL (1)
(2)
E[n0(t)]?0；
n0R4L
Tb?2?R(0)?R(?)?R(0)?习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为幅度取?1的概率相等。现假设任一间隔关，且过程具有宽平稳性，试证：
??0,??TbR?(t)????1??/Tb,??TbTb，脉冲
内波形取值与任何别的间隔内取值统计无
（1） 自相关函数
14
《通信原理》习题第一章
2P?(w)?Tb[Sa(?fTb)]（2） 功率谱密度
解： （1）
。
R?(?)?E[?(t)?(t??)]
R?(?)①当②当
??Tb时，?(t)与?(t??)无关，故
=0
2Tb??Tb时，因脉冲幅度取?1的概率相等，所以在
内，该波形取-1
1-1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为4。
（A） 波形取-1-1、11 时，
1R(?)?E[?(t)?(t??)]?*1?1/4?Tb4在图示的一个间隔内，
（B） 波形取-1 1、1 -1 时，
1Tb???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?*(?)Tb4TTb b在图示的一个间隔内，
?11T???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?2*?2*(b?)?1???Tb44TbTbTb 当时，
?0,??Tb?R?(t)????1??/Tb,??Tb 故
（2）
15
《通信原理》习题第一章
面积。所以
R?(?)?p?(w)?TbSa2(wTb)2。
?A?2w?A?Sa()24,其中2为时域波形的
习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，?(t)是平稳的，求
?1(t)与?2(t)的互功率谱密度的表示式。
（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）
解：
???1(t)???(t??)h1(?)d?00
R12(t1,t1??)?E[?1(t1)?2(t1??)]??2(t)???(t??)h2(?)d?
??E[??(t1??)h1(?)d???(t1????)h2(?)d?]00?????h1(?)h2(?)R?(?????)d?d?00
????所以
P12(w)????R12(?)e?jw?d?????d????jw?d?[h(?)h(?)R(?????)ed?12?????'?令??????
??jw???jw?P12(w)??h(?)e0d??h(?)e0d??[R?(?')e?jw?d?'?H1*(w)H2(w)P?(w)??'
习题2.29若?(t)是平稳随机过程，自相关函数为相关函数及功率谱密度。
解：
R?(?)，试求它通过系统后的自
2h(t)??(t)??(t?T)?H(w)?1?e?jwT H(w)?(?PO(w)?H(w)P?(w)?2(1?coswT)P?(w)21/22cowsT)
16
?jwTjwTP(w)?2P(w)?2coswT*P(w)?2P(w)?(e?e)PO????(w)
《通信原理》习题第一章
?2R?(?)?R?(??T)?R?(??T)
n0/2
习题2.30若通过题2.8的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。
解：
E[n0(t)]?0;
?n0n0n012*?R(?)?exp(?)???021?(wRC)24RCRC4RC
又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为
P0(w)?1x2f[x]?exp(?2)2? 2??
第四章习题
1?习题4.1 试证明式???f?????f?nfs?。
Tn???证明：因为周期性单位冲激脉冲信号?T(t)??n?????(t?nT)，周期为T，其傅里叶
ss???Fn?t(?ns? )变换 ??(?)?2n???1而 Fn?Ts?Ts2?Ts2?(t)?jn?stdt?1 TS2?所以 ??(?)?Ts1即 ??(f)?Tsn??????(??ns? )n???????(?nsf )
习题4.2 若语音信号的带宽在300～400Hz之间，试按照奈奎斯特准则计算理论上信号不失真的最小抽样频率。
解：由题意，fH=3400Hz,fL=300Hz,故语音信号的带宽为 B=3400-300=3100Hz
3 fH=3400Hz=1?3100+?3100=nB?kB
31
17
《通信原理》习题第一章
即n=1,k=331。
根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为
3k fs=2B(1?)=2?3100?（1+）=6800Hz
n31
习题4.3 若信号s(t)?sin(314t)314t。试问：
（1） （2）
最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复？
在用最小抽样频率对其抽样时，为保存3min的抽样，需要保
存多少个抽样值？
解：s(t)?sin(314t)314t，其对应的傅里叶变换为
??314, ??314 S(?)??
其他?0, 信号s(t)和对应的频谱S(?)如图4-1所示。所以fH??H2??3142??50 Hz 根据低通信号的抽样定理，最小频率为fs?2fH?2?50?100 Hz，即每秒采100个抽样点，所以3min共有：100?3?60=18000个抽样值。
习题4.4 设被抽样的语音信号的带宽限制在300～3400Hz，抽样频率等于8000Hz。试画出已抽样语音信号的频谱，并在图上注明各频率点的坐标值。
解：已抽样语音信号的频谱如图4-2所示。
s(t) (a) (b)
图4-1习题4.3图
??314S(?) ?314t?3140314? S(f) ?19.4 ?16.3 -15.7 -12.6 -11.4 -8.3 -7.7 -4.6 -3.4 -0.3 0 0.3 3.4 4.6 7.7 8.3 11.4 12.6 15.7 16.3 19.4f(kHz)
图4-2 习题4.4图
?16?12?8?4481216习题4.5 设有一个均匀量化器，它具有256个量化电平，试问其输出信号量噪比等于多少分贝？
18
《通信原理》习题第一章
解：由题意M=256，根据均匀量化量噪比公式得 SqNq
习题4.6 试比较非均匀量化的A律和?律的优缺点。
答：对非均匀量化：A律中，A=87.6；?律中，A=94.18。一般地，当A越大时，在大电压段曲线的斜率越小，信号量噪比越差。即对大信号而言，非均匀量化的?律的信号量噪比比A律稍差；而对小信号而言，非均匀量化的?律的信号量噪比比A律稍好。
习题4.7 在A律PCM语音通信系统中，试写出当归一化输入信号抽样值等于0.3时，输出的二进制码组。
解：信号抽样值等于0.3，所以极性码c1=1。
11.98）查表可得0.3?（13.93，，所以0.3的段号为7，段落码为110，故c2c3c4=110。
??dB?20lgM?20lg256?48.16dB
第7段内的动态范围为：
n?(11.98?13.93)1?，该段内量化码为n,则
166411+=0.3，可求得n?3.2，所以量化值取3。故c5c6c7c8=0011。 643.93所以输出的二进制码组为11100011。
习题4.8 试述PCM、DPCM和增量调制三者之间的关系和区别。
答：PCM、DPCM和增量调制都是将模拟信号转换成数字信号的三种较简单和常用的编码方法。它们之间的主要区别在于：PCM是对信号的每个抽样值直接进行量化编码：DPCM是对当前抽样值和前一个抽样值之差（即预测误差）进行量化编码；而增量调制是DPCM调制中一种最简单的特例，即相当于DPCM中量化器的电平数取2，预测误差被量化成两个电平+?和-?，从而直接输出二进制编码。
第五章习题
习题5.1 若消息码序列为1101001000001，试求出AMI和HDB3码的相应序列。 解： AMI 码为
HDB3码为
?1?10?100?100000?1?1?10?100?1000?10?1习题5.2 试画出AMI码接收机的原理方框图。 解：如图5-20所示。
r(t)全波整流 采样判决 T ak
19
《通信原理》习题第一章
图5-1 习题5.2图
习题5.3 设g1(t)和g2(t)是随机二进制序列的码元波形。它们的出现概率分别是P和
(1?P)。试证明：若P?无离散谱。
证明：若P?1?k，式中，k为常数，且0?k?1，则此序列中将
[1?g1(t)/g2(t)]1?k，与t无关，且0?k?1，则有
1?g1(t)/g2(t)P[g2(t)?g1(t)]?1
g2(t)即 Pg1(t)?Pg2(t)?g2(t)?(P?1)g2(t)
Pg1(t)?(1?P)g2(t)?0
所以稳态波为 v(t)?P?g(t?nT)?(1?P)?g(t?nT)
??[Pg(t?nT)?(1?P)g(t?nT)]?0
1s2s1s2sW1即Pv(w)?0。所以无离散谱。得证！
习题5.4 试证明式h1?t???4sin?2?Wt?证明：由于h1(t)??0H1?f?W?sin?2?ft?df。
????H1(f)ej2?ftdf，由欧拉公式可得
????h1(t)??H1(f)(cos2?ft?jsin2?ft)df??H1(f)cos2?ftdf?j?H1(f)sin2?ftdf?????
由于H1(f)为实偶函数，因此上式第二项为0，且
h1(t)?2?H1(f)cos(2?ft)df
???令，f?f?W,df?df'，代入上式得
'h1(t)?2?H1(f'?W)cos[2?(f'?W)t]df'?W???2?H1(f?W)cos2?ftcos2?Wtdf?2?H1(f?W)sin2?ftsin2?Wtdf?W?W?
由于H1(f)单边为奇对称，故上式第一项为0，因此
h1(t)?2sin2?W?H1(f?W)sin2?fttdf?WW?
?4sin2?W?H1(f?W)sin2?fttdf0
习题5.5 设一个二进制单极性基带信号序列中的“1”和“0”分别用脉冲g(t)[见图5-2的
20
《通信原理》习题第一章
有无表示，并且它们出现的概率相等，码元持续时间等于T。试求：
（1） （2）
解：
该序列的功率谱密度的表达式，并画出其曲线；
该序列中有没有概率f?1T的离散分量？若有，试计算其功率。
g(t)A TT图5-2 O习题5.5图1
（1）由图5-21得
t??2?TA1?t,t????g(t)???T?2
?0 其他?g(t)的频谱函数为： G(w)?AT2?wT?Sa?? 24??由题意，P?0??P?1??P?1/2，且有g1(t)=g(t),g2(t)=0，所以
G1(t)?G(f),G2(f)?0。将其代入二进制数字基带信号的双边功率谱密度函数的表达式中，
可得
?112Ps(f)?P(1?P)G1(f)?G2(f)??T??T??m??m??m???PG?(1?P)G?f???????2?1T?T????T????22?11m?2?m??P(1?P)G(f)??(1?P)G????f??TT??T????T2
1A2T24?wT??1?m??m??Sa?G????f?????4T4T??4???2T?T??A2T4?wT?Sa?16?4曲线如图5-3所示。
A162v2?A???16?Sa???4?m???2m??????f??T???Ps(f)A2T16O1T2T图5.3 习题5.5 图2
21
3T4T5Tf
《通信原理》习题第一章
（2）二进制数字基带信号的离散谱分量为
A2Pv(w)?16当m=±1时，f=±1/T，代入上式得
4?m?Sa???2???m????f????
T???A24????1?A24????1?Pv(w)?Sa????f???Sa????f??
16T?16T??2???2??因为该二进制数字基带信号中存在f=1/T的离散谱分量，所以能从该数字基带信号中提取码元同步需要的f=1/T的频率分量。该频率分量的功率为
A24???A24???A2A22A2S?Sa???Sa???4?4?4
16???2?16?2??
习题5.6 设一个二进制双极性基带信号序列的码元波形g(t)为矩形脉冲，如图5-4所示，其高度等于1，持续时间τ =T/3，T为码元宽度；且正极性脉冲出现的概率为出现的概率为
3，负极性脉冲41。 4（1） （2）
试写出该信号序列功率谱密度的表达式，并画出其曲线； 该序列中是否存在f?1的离散分量？若有，试计算其功率。 Tg(t)?T/2??/2?/2T/2图5-4 习题5.6图
0 1 t解：（1）基带脉冲波形g(t)可表示为：
?1 t??/2g(t)??
其他?0 g(t)的傅里叶变化为：G(f)??Sa(??f)?该二进制信号序列的功率谱密度为：
T??TfSa?3?3?? ?2P(f)?11?m?2?m??m???P(1?P)G1(f)?G2(f)???PG1???(1?P)G2?????f??TT??T??T???m???T???31m?2?m????G(f)??Sa2????f??4TT??3??m???36曲线如图5-5所示。
P(f)1/36T/1222
《通信原理》习题第一章
图5-5 习题5.6图
（2） 二进制数字基带信号的离散谱分量为
?Pv(f)?当m??1, f??m????36Sa12?m???3m??????f??
T???1时，代入上式得 T11?11?????????Sa2????f???Sa2????f?? 36T?36T??3???3??22Pv(f)?因此，该序列中存在f?1/T的离散分量。其功率为：
1?sin?/3?1?sin?/3?3Pv???????2
36??/3?36??/3?8?习题5.7 设一个基带传输系统接收滤波器的输出码元波形h(t)如图5-13所示。
（1） （2）
试求该基带传输系统的传输函数H(f)；
若其信道传输函数C(f)?1，且发送滤波器和接收滤波器的传输函
数相同，即GT(f)?GR(f)，试求此时GT(f)和GR(f)的表达式。
??2?T1-t t?????T?2 ，由图5-6可得h(t)=g?t??，因为g(t)的解：（1）令g(t)???T?2???0 其他?频谱函数G(f)?T2?T2?fSa?2?4??，所以，系统的传输函数为 ??j2?fT2H(f)=G(f)eT?T2?f?Sa2?2?4??j?e?2?fT2
（2）系统的传输函数H(f)由发送滤波器GT(f)、信道C(f)和接收滤波器GR(f)三部分组成，即H(f)=C(f)GT(f)GR(f)。因为C(f)?1，GT(f)?GR(f)，则
22(f) (f)=GRH(f)=GTT?T2?f所以 GT(f)=GR(f)=H(f)?Sa?2?4
1??j?e?2?fT4
h(t)23
OT/2Tt《通信原理》习题第一章
图5-6 习题5.7图
习题5.8 设一个基带传输系统的传输函数H(f)如图5-7所示。
（1） （2）
试求该系统接收滤波器输出码元波形的表达式：
若其中基带信号的码元传输速率RB?2f0，试用奈奎斯特准则衡量
H(f)该系统能否保证无码间串扰传输。
f01图5-7 习题5.8图
O f0f?1?f/f0 f?f0解：（1）由图5-25可得H(f)=?。
其他 ?0 ?1?t/T, t?T2因为g(t)??，所以G(f)?TSa(?fT)。
其他?0 2根据对称性：G(?f)?g(jt),G(f)?g(t),f?t,T?f0,所以h(t)?f0Sa(?f0t)。
（2）当RB?2f0时，需要以f?RB?2f0为间隔对H(f)进行分段叠加，即分析在区间
[?f0,f0]叠加函数的特性。由于在[?f0,f0]区间，H(f)不是一个常数，所以有码间干扰。
习题5.9 设一个二进制基带传输系统的传输函数为
??0(1?cos2?f?0),f?1/2?0H(f)??
,其他?0 试确定该系统最高的码元传输速率RB及相应的码元持续时间T。
解：H(f)的波形如图5-8所示。由图可知，H(f)为升余弦传输特性，根据奈奎斯特第一准则，可等效为理想低通（矩形）特性（如图虚线所示）。等效矩形带宽为
W1?111?? 22?04?01 2?0最高码元传输速率 RB?2W1?相应的码元间隔 TS?1/RB?2?0
2?0H(f)24
?0《通信原理》习题第一章
图5-8 习题5.9图
习题5.10 若一个基带传输系统的传输函数H(f)和式（5.6-7）所示，式中W?W1。
（1）
试证明其单位冲激响应，即接收滤波器输出码元波形为
h(t)?（2） 扰？
若用
1sin?t/Tcos?t/T
T?t/T1?4t2/T21波特率的码元在此系统中传输，在抽样时刻上是否存在码间串T?1??????f???1?cos???,f?2W1 解：（1）H(f)??2?2W?1??? ,其他?0 ?f?f?jj?2W21?e?1?f?1?eW1?H(f)?G4W1(f)?1?cos?G4W1(f)?1???22W1?22????????
111G4W1(f)?G4W1(f)e2W1?G4W1(f)e2W1244其中，G4W1(f)是高为1，宽为4W1的门函数，其傅里叶反变换为
??jj?f?fG4W1(f)?因此单位冲激响应
22?tSa() TTh(t)?12?t1?2??t?T/2??1?2??t?T/2??Sa()?Sa??Sa?2T??TT2T?TT???12?t1?2?t?1?Sa()?Sa??TTT?T?1?T2/4t212?t?1?Sa()?1?TT?1?T2/4t2??12?t?1??Sa()?TT?1?4t2/4T2??1sin?t/Tcos?t/T?T?t/T1?4t2/T2?
（2）由h(t)的图形可以看出，当由1/T波特率的码元在此系统中传输，在抽样时刻上不存在码间串扰。
25
《通信原理》习题第一章
习题5.11 设一个二进制双极性随机信号序列的码元波形为升余弦波。试画出当扫描周期等于码元周期时的眼图。
解：当扫描周期等于码元周期时的眼图如图5-9所示。
?EOTsEt图5-9 习题5.11图 习题5.12 设一个横向均衡器的结构如图5-10所示。其3个抽头的增益系数分别为：
C?1??1/3,C0?1,C1??1/4。若x(t)在各点的抽样值依次为：x?2?1/8,x?1?1/3,x0?1,x1?1/4,x2?1/16，在其他点上其抽样值均为0。试计算x(t)的峰
值失真值，并求出均衡器输出y(t)的峰值失真值。
相加 图 5-10 习题5.12图 x(t)T T 130?14y(t)1解：Dx?x0Nk??2k?0?xk?k?12111137 ????8341648由yk?i??N?Cxi，可得
111 y?3?C?1x?2????38241111 y?2?C?1x?1?C0x?2????1??3387211?1?11y?1?C?1x0?C0x?1?C?1x?2???1?1????????
33?4?832 26
《通信原理》习题第一章
115?1?1y0?C?1x1?C0x0?C?1x?1????1?1???????
346?4?3111?1?1y1?C?1x2?C0x1?C?1x0????1??????1??
3164?4?48y2?C0x2?C1x1?1?1?1?1??????0 16?4?41?1?1y3?C1x2???????
64?4?16其余yk的值均为0，所以输出波形的峰值失真为：
1Dy?y0k??3k?0?y3k6?11111?71 ??????0???5?2472324864?480
习题5.13设有一个3抽头的均衡器。已知其输入的单个冲激响应抽样序列为0.1，0.2，-0.2，1.0，0.4，-0.1，0.1。
（1） （2） 值。
解：(1)其中x?2?0.2,x?1??0.2,x0?1.0,x1?0.4,x2??0.1
试用迫零法设计其3个抽头的增益系数Cn；
计算均衡后在时刻k=0,±1, ±2, ±3的输出值及峰值码间串扰的
?N?N??Cixk?i?0, k??1,?2,?，?i??N根据式?N，和2N+1=3，可列出矩阵方程
?Cx?0,k?0?ik?i??i??N?x0?x?1??x2将样值xk代人，可得方程组
x?1x0x1x?2??C?1??0??C???1? x?1???0???x0????C1????0???x0?x?1??x2Nx?1x0x1x?2??C?1??0??C???1? x?1???0???x0????C1????0??解方程组可得，C?1?0.2318,C0?0.8444,C1??0.3146。 (2)通过式yk?i??N?Cxik?i可算出
y0?1,y?1?0,y1??0.4371,y?2??0.0232,y2?0.1946,y?3?0.0613,y3?0.0215
其余yk?0
27
《通信原理》习题第一章
1输入峰值失真为： Dx?x01输出峰值失真为： Dy?y0
k???k?0??x?k?1.1
k???k?0?yk?0.7377
均衡后的峰值失真减小为原失真的0.6706。
习题5.14 设随机二进制序列中的0和1分别由g(t)和g(?t)组成，它们的出现概率分别为p及（1-p）。
（1）求其功率谱密度及功率。
（2）若g(t)为如图5-6（a）所示波形，s为码元宽度，问该序列存在离散分量（3）若g(t)为如图5-6（b），回答题（2）所问。 解： （1）
??Tfs?1/Ts否？
Ps(f)?4fsp(1?p)G(f)?2m????fs[(2p?1)G(mfs)]?(f?mfs)
s21S?2?其功率
????s?????P(w)dw??P(f)df??2m???2
2????[4fsp(1?p)G(f)???2?????fs[(2p?1)G(mfs)]?(f?mfs)]df
2?4fsp(1?p)?G(f)df?fs(2p?1)（2）
m??????G(mfs)2
?g(t)?1,t?Ts/2?0,其它若?
G(f)?Tsg(t) 傅里叶变换G(f)为
sin?fTs?fTs
G(fs)?Ts因为（3）若
sin?fsTs?sin??Ts?0?fTs?由题（1）中的结果知，此时的离散分量为0.
?g(t)?1,t?Ts/4?0,其它?
g(t) 傅里叶变换G(f)为
28
《通信原理》习题第一章
Tssin?fT2G(f)?s2?fTs2
因为
所以该二进制序列存在离散分量
Ts?sin?fsinT2?Ts2?Ts?0G(f)?s2?fTs2??22
fs?1/Ts。
习题5.15 设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，，数字信息“1”和“0”分别用g(t)的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等：
（1）求该数字基带信号的功率谱密度。
（2）能否从该数字基带信号中提取码元同步所需的频率分量的功率。
解：
（1） 对于单极性基带信号，
度为
fs?1/Ts的分量？如能，试计算该
g1(t)?0,g2(t)?0?g(t),2随机脉冲序列功率谱密
Ps(f)?fsp(1?p)G(f)?当p=1/2时，
2m??????fs[(1?p)G(mfs)]?(f?mfs)
2??fs22fsg(t)?G(f)??G(mfs)?(f?mfs)44m???
由图5-7（a）得
2?A(1?t),t?Ts/2?Tsg(t)???0,其它t?g(t) 傅里叶变换G(f)为
G(f)?ATs2??fTs?Sa??2?2?
22代入功率谱密度函数式，得
??fsATs2??fTs?fs2ATs2??mfsTs?Ps(f)?Sa?Sa??????(f?mfs)42?2?m???42?2?
A2Ts4??fTs?A2?Sa???162??164??m?Sa????(f?mfs)2??m??? ?? (2) 由图 5-7(b)中可以看出，该基带信号功率谱密度中含有频率 fs=1/Ts的离散分量，故可以提取码元同步所需的频率 fs=1/Ts 的分量。
由题(1)中的结果，该基带信号中的离散分量为 Pv(w)为
29
《通信原理》习题第一章
A2Pv(f)?164??m?Sa????(f?mfs)2??m??? ??当m取?1时，即f=
?fs时，有
A24???A24???Pv(f)?Sa???(f?fs)?Sa???(f?fs)1616?2??2?
A24???A24???2A2S?Sa???Sa???416216???2?? 所以该频率分量的功率为
习题5.16 设某二进制数字基带信号中，数字信号“1”和“0”分别由 及 表示，且“1” 与“0”出现的概率相等，是升余弦频谱脉冲，即
(1) 写出该数字基带信号的功率谱密度表示式，并画出功率谱密度图；从该数字基带信号中能否直接提取频率 fs=1/Ts的分量。
(2) 若码元间隔 Ts=10-3s, 试求该数字基带信号的传码率及频带宽度。
解：当数字信息“1”和“0”等概率出现时，双极性基带信号的功率谱密度
??t?cos???Ts?Sa??t?g(t)????4t2??Ts?2?1?2??Ts?Ps(f)?fsG(f)2
已知
??t?cos???Ts?Sa??t?g(t)????4t2??Ts?2?1?2??Ts?，其傅氏变换为
1?Ts(1?cosf?T),f??sG(f)??4Ts?0,其它f?
代入功率谱密度表达式中，有
习题5.17 设某双极性基带信号的基本脉冲波形如图 5-9(a)所示。它是一个高度为 1，宽度 得矩形脉冲，且已知数字信息“1”的出现概率为 3/4， “0”的出现概率为 1/4。
(1) 写出该双极性信号的功率谱密度的表示式，并画出功率谱密度图；
(2) 由该双极性信号中能否直接提取频率为 fs=1/Ts的分量？若能，试计算该分量的功率。 解 ：
(1) 双极性信号的功率谱密度为
30
Ps(f)?Ts1(1?cosf?Ts)2,f?16Ts
《通信原理》习题第一章
??Ps(f)?4fsp(1?p)G(f)?当p=1/4 时，有
2m????fs(2p?1)G(mfs)?(f?mfs)
223fsfs22Ps(f)?G(f)?44由图5-7（a）得
m??????G(mfs)?(f?mfs)
?1,t??/2g(t)???0,其它t
sin?f?G(f)????Sa??f???f?故
将上式代入
Ps(f) 的表达式中，得
23fs22ATsfs22??Ps(f)??Sa??f?????Sa2??mfs???(f?mfs)424m???
将
??Ts13代入上式得
Ts22??fTsPs(f)?Sa?12?2（2）
?1??2?Sa??m/2??(f?mfs)???36m???
功率谱密度如图5-9（b）所示。
由图 5-9(b)可以看出，由该双极性信号可以直接提取频率为 fs=1/Ts的分量。
该基带信号中的离散分量为
Pv(w)为
1??Pv(w)?Sa2??m/2??(f?mfs)?36m???
当m取?1时，即f=
?fs时，有
11Sa2??/3??(f?fs)?Sa2??/3??(f?fs)3636
1fs?Ts分量的功率为
所以频率为Pv(w)?S?
习题5.18 已知信息代码为 100000000011，求相应的 AMI 码，HDB3 码，PST 码及双相码。 解 ：
AMI 码：+1 0000 00000 –1 +1
HDB3 码：+1 000+V -B00 -V0 +1 –1 PST 码：
①(+模式)+0 - + - + - + - + +-
②(-模式)-0 - + - + - + - + +-
113Sa2??/3??Sa2??/3??236368?
31
《通信原理》习题第一章
双相码：10 01 01 01 01 01 01 01 01 01 10 10
习题5.19 某基带传输系统接受滤波器输出信号的基本脉冲为如图 5-10 所示的三角形脉冲。
(1) 求该基带传输系统的传输函数 H(w);
(2) 假设信道的传输函数 C(w)=1,发送滤波器和接受滤波器具有相同的传输函数，即 G(w)=GR(w),试求这时 GT(w)或 GR(w)的表达式。 解：
(1)由图 5-10得
?Ts2(1?t?),0?t?T?h(t)??Ts2?0,其它t?
基带系统的传输函数 H(w)由发送滤波器 成，即
GT(w)，信道 C(w)和接受滤波器
GR(w)组
H(w)?GT(w)C(w)GR(w)若C(w)?1，
则
GT(w)?GR(w)H(w)?GT(w)GR(w)?GT2(w)?GR2(w)TsTs?jwT4sGT(w)?GR(w)?H(w)?Sa(w)e24所以
习题5.20 设某基带传输系统具有图 5-11所示的三角形传输函数：
(1) 求该系统接受滤波器输出基本脉冲的时间表示式；
(2) 当数字基带信号的传码率 RB=w0/π时,用奈奎斯特准则验证该系统能否实现 无码间干扰传输?
解：
(1) 由图 5-11 可得
1?(1?w),w?w0?w0H(w)???0,其它的w? 该系统输出基本脉冲的时间表示式为
1h(t)?2??????H(w)ejwtdw?w0wtSa(0)2?2
(2) 根据奈奎斯特准则,当系统能实现无码间干扰传输时, H (w)应满足
2???H(w?)?C,w???TsTs?iHeq(w)????0,w??Ts?
32
《通信原理》习题第一章
w?容易验证，当
?Ts?w0时，
?H(w?Ti2?si)??H(w?2?RBi)??H(w?2W0i)?Cii
所以当传码率
RB?w0?时，系统不能实现无码间干扰传输
习题5.21 设基带传输系统的发送器滤波器，信道及接受滤波器组成总特性为 H(w)，若要求以 2/Ts Baud 的速率进行数据传输，试检验图 5-12 各种H(w)满足消除抽样点上无码间干扰的条件否？
解：
当RB=2/Ts 时，若满足无码间干扰的条件，根据奈奎斯特准则，基带系统的总特性
H(w)应满足
??H(w?2?RBi)?C,w??RB?Heq(w)??i0,w??RB?? 4?i2??H(w?)?C,w???TsTs?iHeq(w)??2??0,w??Ts?或者
容易验证，除(c)之外，(a) (b) (d)均不满足无码间干扰传输的条件。
习题5.22 设某数字基带传输信号的传输特性 H(w)如图 5-13 所示。其中 a 为某个常数(0≤a≤1)。
(1) 试检验该系统能否实现无码间干扰传输?
(2) 试求该系统的最大码元传输速率为多少？这是的系统频带利用率为多大? 解：
(1) 根据奈奎斯特准则，若系统满足无码间干扰传输的条件，基带系统的总特性 H(w)
??H(w?2?RBi)?C,w??RB?Heq(w)??i0,w??RB??应满足
可以验证，当 RB=w0/π时，上式成立。几该系统可以实现无码间干扰传输。 (2) 该系统的最大码元传输速率 Rmax,既满足 Heq(w)的最大码元传输速率 RB，容易得到 Rmax=w0/π 系统带宽
B?(1??)w0rad?(1??)w0/2? HZ,所以系统的最大频带利用率为：
??
Rmaxw0/?2??(1??)w0(1??)B2?
33
《通信原理》习题第一章
习题5.23 为了传送码元速率解：
RB?103Baud的数字基待信号， 试问系统采用图 5-14 中
所画的哪一种传输特性较好？并简要说明其理由。
根据奈奎斯特准则可以证明(a)，(b)和(c)三种传输函数均能满足无码间干扰的要求。下面我们从频带利用率，冲击响应“尾巴”衰减快慢，实现难易程度等三个方面分析对比三种传输函数的好坏。
(1) 频带利用率
三种波形的传输速率均为其频带利用率
RB?103Baud，传输函数(a)的带宽为
Ba?103 Hz
?a?RB/Bb?1000/1000?1Baud/Hz
Bc?103Hz
传输函数(c)的带宽为其频带利用率
?c?RB/Bc?1000/1000?1Baud/Hz
?a??b??c
显然
所以从频带利用率角度来看，(b)和(c)较好。 (2) 冲击响应“尾巴”衰减快慢程度 (a)，(b)和(c)三种传输函数的时域波形分别为
ha(t)?2*103Sa2(2*103?t)hb(t)?2*103Sa(2*103?t)hc(t)?103Sa2(103?t)2
其中(a)和(c)的尾巴以1/t的速度衰减，而(b) 尾巴以 1/t 的速度衰减，故从时域波形的尾巴衰减速度来看，传输特性(a)和(c)较好。
(3) 从实现难易程度来看，因为(b)为理想低通特性，物理上不易实现，而(a)和(c)相对较易实现。
综上所述，传输特性(c)较好。
习题5.24 设二进制基带系统地分析模型如图 5-2 所示，现已知
???(1?cosw?),w??00?0H(w)???0,其它的w?试确定该系统最高的码元传输速率 RB及相应码元间隔 Ts. 解 ：
传输特性 H(w)为升余弦传输特性。有奈奎斯特准则，可求出系统最高的码元速
1RB??02 Baud，而 Ts?2?0。 率
习题5.25 若上题中
34
《通信原理》习题第一章
Ts2??Ts(1?cosw),w??2TsH(w)??2?0,其它的w?试证其单位冲击响应为
sin?t/Tscos?t/Tsh(t)?*?t/Ts1?4t2/Ts2
并画出 h(t)的示意波形和说明用否？
解 ：
H(w)可以表示为
1/Ts Baud 速率传送数据时，存在(抽样时刻上)码间干扰
H(w)?TsTG4?(w)(1?cosws)2Ts2
G4?(w)Ts傅式变换为
F?1[G4?(w)]?TsTs2?tSa()2TsjwTs2
wTs2而
H(w)?TseG4?(w)(1?2Ts?e2?j)wTwTjs?jsTsTsTs2?G4?(w)?G4?(w)e?G4?(w)e22Ts4Ts4Ts
h(t)?所以
Ts22?tTs2*Sa()?*Sa(2TsTs4Ts2?(t?TsT)2?(t?s)2)?Ts*2Sa(2)Ts4TsTs
?Sa(?Sa(?Sa(?Sa(?2?t1)?Sa(Ts22?(t?TsT)2?(t?s)2)?1Sa(2)Ts2Ts2?t2?t1)?Sa()*TsTs1?Ts2/4t22?t1)*(1?)22Ts1?Ts/4t2?t1)*()Ts1?4t2/Ts2
sin?t/Tscos?t/Ts*?t/Ts1?4t2/Ts2RB?当传输速率
1TsBaud时，将不存在（抽样时刻上的）码间干扰，因为h(t)满足
35
《通信原理》习题第一章
1,k?0?h(KTs)???0,k为其它的整数
习题5.26 设有一相关编码系统，理想低通滤波器的截止频率为 1/(2Ts)，通带增益为 Ts。试求该系统的单位冲击响应和频率特性。
解：
理想低通滤波器的传递函数为
??T,w??sTsH(w)???0,其它的w?h'(t)?sa(其对应的单位冲击响应所以系统单位冲击响应
?Tst)
h(t)?[?(t)??(t?2Ts)]*h'(t)?h'(t)?h'(t?2Ts)?sa(?Tst)?sa[?Ts(t?2Ts)]
???2jwTs],w??Ts[1?eTs??jwTs'?0,其它的wH(w)?[1?e]H(w)?系统的频率特性 ??2TsinwT,w??ssTsH(w)???0,其它的w?
习题5.27若上题中输入数据为二进制的，则相关编码电平数为何值？若数据为四进制的，则相关编码电平数为何值？
解 相关编码表示式为
Ck?bk?bk?2
若输入数据为二进制(+1,-1), 则相关编码电平数为 3；若输入数据为四进制(+3,+1,-1,-3)，则相关编码电平数为 7。 一般地，若部分相应波形为
g(t)?R1sin?t/Tssin?(t?Ts)/Tssin?(t?(N?1)Ts)/Ts?R2?????RN?t/Ts?(t?Ts)/Ts?(t?(N?1)Ts)/Ts
Q?(L?1)?Ri?1i?1N输入数据为 L 进制，则相关电平数
最小误码率
A?n2p(0)Vd?ln22Ap(1) 习题5.28试证明对于单极性基带波形，其最佳门限电平为
1erfc(A)pe?2?n2* (“1”和“0”等概出现时)
36
《通信原理》习题第一章
证明
对于单极性基带信号，在一个码元持续时间内， 抽样判决其输入端得到的波形可表示为
?A?nR(t)发送“1?时x(t)???nR(t)发送“0?时
其中
nR(t)为均值为 0，方差为
?2n的高斯噪声，当发送“1”时，x(t)的一维
概率密度为
1(x?A)2f1(x)?exp[?]2?n22??n
而发送“0”时，x(t)的一维概率密度为
1x2f0(x)?exp[?]22?n2??n
若令判决门限为 Vd,则将“1”错判为“0”的概率为
VdPel?p(x?Vd)????1(x?A)2exp[?]dx22?2??nn 1x2exp[?]dx22?n2??n将“0”错判为“1”的概率为
?Pe0?p(x?Vd)?Vd?
若设发送“1”和“0”的概率分别为 p(1)和 p(0)，则系统总的误码率为
pe?p(1)Pe1?p(0)Pe2
dpe?0Vd*dVd令，得到最佳门限电平即解的最佳门限电平为 Vd?
习题5.29 若二进制基带系统，已知
*?n22Alnp(0)p(1)
n0G(w)(1) 若 n(t)的双边功率谱密度为2 (W/Hz)，试确定R得输出噪声功率；
(2) 若在抽样时刻 KT(K 为任意正整数)上，接受滤波器的输出信号以相同概率取0，A电平，而输出噪声取值 V服从下述概率密度分布的随机变量
试求系统最小误码率 Pe.
解 ：
(1) GR(w)的输出噪声功率谱密度为 接受滤波器 GR(w) 输出噪声功率为
(2) 设系统发送“1”时，接受滤波器的输出信号为 A电平，而发送“0”时，接受滤波器的输出信号为 0 电平。若令判决门限为 Vd,则发送“1”错判为“0”的概率为
37
《通信原理》习题第一章
发送“0”错判为“1”的概率为
设发送“1”和“0”的概率分别为 p(1)和 p(0)，则总的错误概率为
习题5.30某二进制数字基带系统所传送的是单极性基带信号，且数字信息“1”和“0”的出现概率相等。 若数字信息为“1”时，接受滤波器输出信号在抽样判决时刻的值 A=1V，且接受滤波器输出噪声是均值为 0，均方根值为 0.2V 的高斯噪声，试求这时的误码率Pe;
解：
用 p(1)和 p(0)分别表示数字信息“1”和“0”出现的概率，则 p(1)=p(0)=1/2，等概时，最佳判决门限为 V*d=A/2=0.5V. 已知接受滤波器输出噪声是均值为 0，均方根值为 0.2V误码率
习题5.31 若将上题中的单极性基带信号改为双极性基带信号，其他条件不变，重做上题。 解 ： 等概时采用双极性基带信号的几代传输系统的最小误码率
习题5.32 设有一个三抽头的时域均衡器，x(t)在各抽样点的值依次为 x -2=1/8 x -1=1/8, x 0=1, x +1=1/4, x +2=1/16(在其他抽样点均为零)， 试求输入波形 x(t)峰值的畸变值及时雨均衡其输出波形 y(t) 峰值的畸变值。
解
xk 的峰值的畸变值为
1Dx?x0有公式
Ni??2?2111137xi?????8341648
yk?i??N?Cxik?i得到
111y?3?C?1x?2??*??3824
1111y?2?C?1x?1?C0x?2??*?1*?33872
11111y?1?C?1x0?C0x?1?C0x?2??*1?1*?(?)*??334832 11115y0?C?1x1?C0x0?C1x?1??*?1*1?(?)*??34436 11111y1?C?1x2?C0x1?C1x0??*?1*?(?)*1??3164448 111y2?C0x2?C1x1?1*?(?)*?01644
111y2?C1x2??*??16464
其余 yk 值为0。
38
《通信原理》习题第一章
输出波形 yk 峰值的畸变值为
1Dy?y0
i??3?361111171yi?*(????0?)?52432724864480
第六章习题
习题6.1 设有两个余弦波：3cos?t和cos(?t?30?)，试画出它们的矢量图及它们之和的矢量图。
解：如图6-1所示。
0 3cos?t 30?cos(?t30 ?30?) 3cos?t?cos(?t?30?) 图 6-1 习题6.1图
习题 6.2 试画出图6-2中各点的波形。
s(t) 带通 a 全波 b 低通 c 抽样 d 滤波 整流 滤波 判决 包络检波器 定时脉冲 图 6-2 习题6.2图
解：各点波形如图6-3所示。
1 0 1 1 0 1 a b c d
图 6-3 习题6.2图
习题 6.3 试画出图6-4中各点的波形。
s(t) 带通 a 相乘 b 低通 c 抽样 e 滤波 电路 滤波 判决 相干载波 定时脉冲 cosωt
39
《通信原理》习题第一章
图 6-4 习题6.3图
解：各点波形如图6-5所示。
1 a b c d e 0 1 1 0 1
图 6-5
习题 6.4 试证明式p1?V???p0?V??。
证明：在对ASK信号进行包络检波时，整流器输出信号经过低通滤波后得到的包络电压V(t)满足：当发送“1”时，它服从广义瑞利分布；当发送“0”时，它服从瑞利分布，即概率密度为
?V?AV?(V2?A2)2?n2?e，发送“1”时?2Io?2????? p(V)??n?n?22?Ve?V2?n， 发送“0”时??2?n当发送码元“1”时，错误接收为“0”的概率是包络V?h的概率，即有
V?AV???V2?A2?2?n2Pe1?P(V?h)??2I0?dV??2??e0?n?n?hV2?AV???V2?A2?2?n2?1??2I0?dV??2??eh?n?n??
?1?Q2r,ho??2式中，r?A22?n，为信噪比；ho?h?n为归一化门限值。
同理，当发送码元“0”时，错误接收为“1”的概率是包络V?h的概率，即有
Pe0?P(V?h)???V2?nhe?V222?ndV?e?h222?n?e?h02
2因此总误码率为
Pe?P?1?Pe1?P?0?Pe0?P?1?1?Q2r,ho?P?0?e?h02
2???? 40
《通信原理》习题第一章
上式表明，包络检波法的误码率决定于信噪比r和归一化门限值h0。要使误码率最小，即使图6-6中两块阴影面积之和最小。由图可见，仅当h0位于两条曲线相交之
?处，即h0?h0时，阴影面积最小。因此，设此交点处的包络值为V?，则满足
p1V??p0V?。得证。
????p1(V)V ?h0h0 p0(V)V V O
图 6-6 习题6.4图
习题 6.5 设有一个2PSK信号，其码元传输速率为1000Bd，载波波形为
Acos4??106t。
??（1） （2）
试问每个码元中包含多少个载波周期？
若发送“0”和“1”的概率分别是0.6和0.4，试求此信
号的功率谱密度的表达式。
解：（1）由载波波形为Acos?4??106t?可得，载波频率为2?106Hz，因此每个码元中包含2000个载波周期。
（2）2PSK信号的功率谱密度为
P2DPSK?f??1?Ps?f?fc??Ps?f?fc?? 4式中，fc?2?106Hz，为载波频率，fs?1000；Ps为基带信号双极性矩形脉冲的功率谱密度：
Ps?f??4fsP?1?P?G?f???fs?2P?1?G?mfs???f?mfs?
22G?f??Tssin? f Ts
? f Ts则
41
《通信原理》习题第一章
P2DPSK?f??fsP?1?p?G?f?fc??G?f?fc??22??122 fs2?2P?1?G?0????f?fc????f?fc??4??f?2?1062?f?2?106?sinsin240?10001000 ?2????f?2?106f?2?106?? 10-2?f?2?106??f?2?106????2???????? ??????
习题 6.6 设有一个4DPSK信号，其信息速率为2400 b/s，载波频率为1800 Hz，试问每个码元中包含多少个载波周期？
解：4DPSK信号的码元速率为
RB?Rblog24?24002?1200 Bd
所以每个码元中包含
1800?1.5个载波周期。 1200习题 6.7 设有一个2DPSK传输系统对信号采用A方式编码，其码元速率为2400 Bd，载波频率为1800 Hz。若输入码元序列为011010，试画出此2DPSK信号序列的波形图。
解：如图6-7所示。
0 1 1 0 1 0 图 6-7 习题6.7图
习题 6.8 设一个2FSK传输系统的两个载频分别等于10 MHz和10.4 MHz，码元传输速率为2?106 Bd，接收端解调器输入信号的峰值振幅A?40 ?V，加性高斯白噪声的单边功率谱密度n0?6?10?18 W/Hz 。试求：
（1） （2）
采用非相干解调（包络检波）时的误码率； 采用相干解调时的误码率。
1?r2e。 2解：（1） 2FSK信号采用非相干解调时的误码率Pe?信号带宽为 B?f1?f0?2RB?0.4?106?2?2?106?4.4?106 Hz
42
《通信原理》习题第一章
?A240?10?6?1600?10?12r????3.3 22n0B2?n2?6?10?18?4.4?10621因此，Pe?e?r2?1.31?10?7。
2（2） 2FSK信号采用相干解调时的误码率为
Pe?11erfcr2 r??1 e?r2?0.19?10?7 22? r??
习题 6.9 设在一个2DPSK传输系统中，输入信号码元序列为0111001101000，试写出其变成相对码后的码元序列，以及采用A方式编码时发送载波的相对相位和绝对相位序列。
解：原 码：0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 相 对 码：0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 绝对相位：0 π π π 0 0 π π 0 π 0 0 0 相对相位：0 π 0 π π π 0 π π 0 0 0 0
习题 6.10 试证明用倍频-分频法提取2PSK信号的载波时，在经过整流后的信号频谱中包含离散的载频分量。
证明： 2PSK信号经过倍频-分频电路后，输出信号频率与载波频率相同，但此时信号中不再仅有交流成分，而是包含直流成分，根据第5章的知识可知：包含有直流成分的周期信号（频率与载波相同）的频谱中包含离散的载频分量。
习题 6.11 试画出用正交调幅法产生16QAM信号的方框图。 解： 如图6-8所示。
2/4电平转化 cosωt A(t) 串/并 2/4电平转化 图 6-8 习题6.11图
? + s(t) π/2相移 ?
习题 6.12 试证明在等概率出现条件下16QAM信号的最大功率和平均功率之比为1.8；即2.55 dB。
解： 等概率条件下，QAM信号的最大功率与平均功率之比为
43
《通信原理》习题第一章
ξQAM?L?L?1?L2i?12
22??2i?1?对于16QAM来说，L=4，因此?16QAM?1.8?2.55 dB。
习题6.13 试比较多进制信号和二进制信号的优缺点。
解：当传码率相同时，多进制信号比二进制信号更多地携带信息量，因此，其传信率高于二进制。这样在占用相同信道带宽的情况下，多进制的频带利用率高于二进制。
当传信率相同时，多进制信号的码速低于二进制信号，从而占用较小的信道带宽。 利用多进制信号传输的主要缺点是，其抗噪性能比较差，只有当信道噪声比较小时才能保证有足够小的误比特率。
第九章习题
习题 9.1 设在一个纯ALOHA系统中，分组长度??20ms，总业务到达率?t?10 pkt/s，试求一个消息成功传输的概率。
解：由题意，??20ms，?t?10pkt/s，则系统的总业务量为
P??t??10?20?10?3?0.2
纯ALOHA系统吞吐量满足p?Pe?2P，一个消息成功传输的概率为
Ps?pP?e?2P?e?2?0.2?e?0.4?0.67
习题 9.2若上题中的系统改为S-ALOHA系统，试求这时消息成功传输的概率。 解：S-ALOHA系统的吞吐量满足p?Pe?P，这时消息成功传输的概率为
Ps?pP?e?P?e?0.2?0.82
习题 9.3 在上题的S-ALOHA系统中，试求一个消息分组传输时和另一个分组碰撞的概率。
解：其概率为：1?Ps?1?0.82?0.18。
习题 9.4 设一个通信系统共有10个站，每个站的平均发送速率等于2分组/秒，每个分组包含1350b，系统的最大传输速率（容量）R?50kb/s，试计算此系统的归一化通过量。
解：由题意，b?1350 b， ??10?2?20pks/s，则归一化通过量为
p?b?R?1350?2050000?0.54
44
《通信原理》习题第一章
习题 9.5 试问在三种ALOHA系统（纯ALOHA，S-ALOHA和R-ALOHA）中，哪种ALOHA系统能满足上题的归一化通过量要求。
答：R-ALOHA。因为纯ALOHA与S-ALOHA的最大通过量分别为0.18和0.37。
习题 9.6 在一个纯ALOHA系统中，信道容量为64kb/s，每个站平均每10s发送一个分组，即使前一分组尚未发出（因碰撞留在缓存器中），后一分组也照常产生。每个分组包含3000b。若各站发送的分组按泊松分布到达系统，试问该系统能容纳的最多站数。
解：对于纯的ALOHA，可用的带宽为：0.18?64?11.52kb/s。 每个站需要的带宽为：3000/10=300 b/s=0.3kb/s。 故系统能容纳的最多站数为：N=11.52/0.3=38.4?38。
习题 9.7 一个纯ALOHA系统中共有三个站，系统的容量是64kb/s。3个站的平均发送速率分别为：7.5 kb/s，10 kb/s和20 kb/s。每个分组长100 b。分组的到达服从泊松分布。试求出此系统的归一化总业务量、归一化通过量、成功发送概率和分组成功到达率。
解：由题意，b=100b，R=64kb/s，系统的总业务量为
P′=7.5+10+20=37.5 kb/s
则此系统的归一化总业务量为
P=P′/R=37.5/64=0.586
纯ALOHA系统的归一化通过量为
p?Pe?2P?0.586?e?2?0.586?0.18
故成功发送概率为 Ps?pP?0.180.586?0.31 又因为系统的总业务量P'?b?t，则系统的总业务到达率为
?t?P'/b?37.5/0.1?375pks/s
分组成功到达率为 ???tPs?375?0.31?116pks/s
习题 9.8 试证明纯ALOHA系统的归一化通过量的最大值为1/2e，此最大值发生在归一化总业务量等于0.5处。
证明：纯ALOHA系统的归一化通过量和归一化总业务量的关系为：p?Pe?2P。 当p最大时，有：
?p?e?2P?2Pe?2P?0 ?P可求得P=0.5，pmax?0.5?e?2?0.5?1/2e。
习题 9.9 设在一个S-ALOHA系统中有6000个站，平均每个站每小时需要发送
45
《通信原理》习题第一章
30次，每次发送占一个500 us的时隙。试计算该系统的归一化总业务量。
解：由题意，?t?6000?30/3600?50次/秒，??500 ?s，则系统的归一化总业务量为
P??t??50?500?10?6?0.025
习题 9.10
设在一个S-ALOHA系统中每秒共发送120次，其中包括原始发送和
重发。每次发送需占用一个12.5 ms的时隙。试问：
（1） 系统的归一化总业务量等于多少？ （2） 第一次发送就成功的概率等于多少？
（3） 在一次成功发送前，刚好有两次碰撞的概率等于多少？
解：由题意，?t=120次/秒， ?=12.5 ms。 （1） P??t??120?12.5?10?3?1.5。 （2） P?0??e??t??e?1.5?0.223。
（3） p3?1?e?Pe?P??1?0.223??0.223?0.135。
2??2
习题 9.11 设在一个S-ALOHA系统中测量表明有20%的时隙是空闲的。试问：
（1） 该系统的归一化总业务量等于多少？ （2） 该系统的归一化通过量等于多少？ （3） 该系统有没有过载？ 解：根据例9-11，可得
P=-ln(0.2)=1.61
p?Pe?P?1.61?e?1.61?1.61?0.2?0.322
因为P>1，所有系统过载。
习题 9.12 设一个令牌环形网中的令牌由10个码元组成，信号发送速率为10 Mb/s，信号在电缆上的传输速率是200 m/us。试问使信号延迟1码元的电缆长度等于多少米？当网中只有3个站工作（其他站都关闭）时，需要的最小的电缆总长度为多少米？
解：信号发送速率为10 Mb/s，则延迟1码元的时间为1/10 us。 又信号的传输速率是200 m/us，则使信号延迟1码元的电缆长度为
L?200?1?20 m 1010个码元的令牌持续时间为1 us，假设工作的3个站接口的延迟时间都为1码元，则环网的总延迟时间（电缆的延迟时间和各接口的延迟时间之和）不能小于令牌的长度，故需要的最小电缆总长度为
46
《通信原理》习题第一章
10L-3L?7L?7?20?140 m
习题 9.13 设一条长度为10 km的同轴电缆上，接有1000个站，信号在电缆上传输速度为200 m/us，信号发送速率为10 Mb/s，分组长度为5000 b。试问：
（1） 若用纯ALOHA系统，每个站最大可能发送分组速率等于多少？ （2） 若用CSMA/CD系统，每个站最大可能发送分组速率等于多少？
解：（1）纯ALOHA中，发送分组不用等待。理想情况下，各站一个接一个发送分组，互不干扰，发送分组的最大速率为
10M/?5000?1000??2 pkt/s
（2）对于CSMA/CD系统，信号传输速率为200 m/s，对于10 km电缆，单程传播时间为 t?10?103/200?50 ?s
CSMA/CD系统发送一个分组必须等待的时间为：2t=100 us=0.1 ms。 故每个站的最大可能发送分组速率为：10M?0.1 ms/5000?0.2 pkt/s。
习题 9.14 设3级线性反馈移位寄存器的特征方程为：f?x??1?x2?x3。试验证它为本原多项式。
解：由题意n=3，所以m?2n?1?7。
而 xm?1?x7?1??x3?x2?1??x4?x3?x2?1?
上式说明f(x)可整除x7?1，且f(x)既约，除不尽x6?1，x5?1，x4?1，所以f(x)为本
原多项式。
习题 9.15 设4级线性反馈移存器的特征方程为：f?x??1?x?x?x?x，试证明此
234移位寄存器产生的不是m序列。
证明：方法一。由题意n=4，得m?2n?1?15。因为
?x?1??x4?x3?x2?x?1??x5?1
f(x)可整除x5?1，故f(x)不是本原多项式，它所产生的序列不是m序列。 方法二。由特征多项式f?x??1?x?x2?x3?x4构成的4级线性反馈移位寄存器如图9-1所示。
假设初始状态为：1 1 1 1 状态转换为： 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 1 0
47
+ + + a3 a2 a1 a0 输出 图 9-1 习题 9.15 《通信原理》习题第一章
1 1 1 1
可见输出序列的周期为6?24?1?15，故不是m序列。
习题 9.16 设有一个9级线性反馈移存器产生的m序列，试写出其一个周期内不同长度游程的个数。
解：该m 序列中共有28?256个游程。
根据m序列游程分布的性质，长度为k的游程数目占游程总数的2?k 1?k??n-1? 而且在长度为k的游程中[其中1?k??n-2?，连“1”和连“0”的游程各占一半。所以：
长度为1的游程有128个，“1”和“0”各为64个； 长度为2的游程有64个，“11”和“00”各为32个； 长度为3的游程有32个，“111”和“000”各为16个； 长度为4的游程有16个，“1111”和“0000”各为8个； 长度为5的游程有8个，“11111”和“00000”各为4个； 长度为6的游程有4个，“111111”和“000000”各为2个； 长度为7的游程有2个，“1111111”和“0000000”各为1个； 长度为8的游程有1个，即“00000000”； 长度为9的游程有1个，即“111111111”；
第十章习题
习题10.1设有两个码组“0101010”和“1010100”，试给出其检错能力、纠错能力和同时纠错的能力。
解：两个码组的最小码距为：do=6 由do?e+1,得e=5,即可以检错5位。 由do?2t+1,得t=2，即可以纠错2位。
由do?e+t+1,得e=3,t=2,即可以纠错2位，同时检错3位。
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《通信原理》习题第一章
习题10.2设一种编码中共有如下8个码组： 表10-1 习题10.3表 000000，001110，010101，011011，100011， 101101，110110，111000试求出其最小码距，并给出其检错能力、纠错能力和同时纠检错的能力。
解：此8个码组的最小码距为：do=3。 由do?e+1,得e=2,即可以检错2位。 由do?2t+1,得t=1，即可以纠错1位。
由do?e+t+1,得e=1,t=1,即可以纠错1位，同时检错1位。
习题10.3设有一个长度为n=15的汉明码，试问其监督位r应该等于多少？其码率等于多少？其最小码距等于多少？试写出其监督位和信息位之间的关系。
解：由n?2r?1，n=15，得r=4，即监督位4位。 码率为：
kn?r15?411==。 ?nn1515S1S2S3S4 错码位置 无错码 a0 0000 0001 0010 0100 1000 0011 0101 0110 0111 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 用S1S2S3S4表示校正子，正好可以指明15个错码的位置，其关系如表10-1所示。
可得监督位和信息位之间的关系式为
a13 ? a 3 ? a 14 ? ? a12?a11?a10?a9?a8?a?a?a?a?a?a?a?a ?214131211765? ?a1?a14?a13?a10?a9?a7?a6?a4? ?a0?a14?a12?a10?a8?a7?a5?a4
最小码距为：do=3。
a11 a12 a13 a14 习题10.4设上题中的汉明码是系统码。试计算出对应于信息位为全“1”的码组。 解：上题的监督矩阵为
?1?1 H=?
?1??11111 10011110 01011100 10010000111100 1101010110000??100? 010??001?则生成矩阵为
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《通信原理》习题第一章
?1?0??0??0?0?H=?0 ?0??0?0??0??0
00000000001111?10000000001110??01000000001101??00100000001100?00010000001011??0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0? 00000100001001??00000010000111?00000001000110??00000000100101??00000000010011?当信息位全为“1”时，码组为111111111111111。
习题10.5设在上题给定信息位的码组中，第3位码元出错。试求出这时的校正子。
解：第三位码元出错，则校正子为0100。
说明：题目指明该分组码为循环码，但所得结果并不循环，其他资料上曾有同样
?1110100?1 1 0 1 0? 01H=? ????1101001??的题目，但只是说普通线性分组码，而非循环码，现将原循环码的监督矩阵改为
习题10.6已知一循环码的监督矩阵如下：
?1101100?0 1 0? 1110 H=? ????0111001??试求出其生成矩阵，并写出所有可能的码组。
解：由该线性分组码的监督矩阵可知，该码长度n=7,信息位k=4,监督位r=3.
?1?1110??1??TP=?0 1 1 1?，Q=P=?
?1??0111????0?101???011? ，则生成矩阵G=?
?010???11??0000100 0100011011 11011?1??。 0??1?整个码组：A=[a6 a5 a4 a3]G，于是可得所有可能的码组为
0000000，0001011，0010110，0011101，0100111，0101100，0110001，0111010，1000101，1001110，1010011，1011000，1100010，1101001，1110100，1111111
习题10.7对于上题中给定的循环码，若输入信息位为“0110”和“1110”，试分别求
50