四年级奥数 下载本文

第1讲 找规律 第2讲 速算与巧算 第3讲 和差倍问题 (一) 第4讲 和差倍问题 (二) 第5讲 年龄问题

第6讲 归一问题与归总问题 第7讲 鸡兔同笼问题与假设法 第8讲 盈亏问题与比较法(一) 第9讲 盈亏问题与比较法(二) 第10讲 抽屉原理(一) 第11讲 抽屉原理(二) 第12讲 数的整除性 第13讲 加法原理 第14讲 逻辑问题 第15讲 行程问题

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第1讲 找规律

找规律(一)

我们在三年级已经见过“找规律”这个题目,学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢?比如,一年有春夏秋冬四季,百花盛开的春季过后就是夏天,赤日炎炎的夏季过后就是秋天,果实累累的秋季过后就是冬天,白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年,总是按照春、夏、秋、冬四季变化,这就是周期性变化规律。再比如,数列0,1,2,0,1,2,0,1,2,0,?是按照0,1,2三个数重复出现的,这也是周期性变化问题。 下面,我们通过一些例题作进一步讲解。

例1 节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯,然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、??这样排下去。问: (1)第100盏灯是什么颜色?

(2)前150盏彩灯中有多少盏蓝灯?

例2 有一串数,任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3,第6个数是6,第11个数是7。问:这串数中第24个数是几?前77个数的和是多少?

例3 下面这串数的规律是:从第3个数起,每个数都是它前面两个数之和的个位数。问:这串数中第88个数是几?

628088640448?

例4 在下面的一串数中,从第五个数起,每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中,能否出现相邻的四个数是“2000”?

135761939237134? 例5 A,B,C,D四个盒子中依次放有8,6,3,1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子,然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子;第2个小朋友也找到放球最少的盒子,然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子??当100位小朋友放完后,A,B,C,D四个盒子中各放有几个球?

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练习与思考

1.有一串很长的珠子,它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。问:第100颗珠子是什么颜色?前200颗珠子中有多少颗红珠?

2.将1,2,3,4,?除以3的余数依次排列起来,得到一个数列。求这个数列前100个数的和。

3.有一串数,前两个数是9和7,从第三个数起,每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中第100个数是几?前100个数之和是多少?

4.有一列数,第一个数是6,以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数。这列数中第88个数是几?

5.小明按1~3报数,小红按1~4报数。两人以同样的速度同时开始报数,当两人都报了100个数时,有多少次两人报的数相同?

6.A,B,C,D四个盒子中依次放有9,6,3,0个小球。第1个小朋友找到放球最多的盒子,从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球;第2个小朋友也找到放球最多的盒子,也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球??当100个小朋友放完后,A,B,C,D四个盒子中各放有几个球?

找规律(二)

整数a与它本身的乘积,即a×a叫做这个数的平方,记作a2,即a2=a×a;同样,三个a的乘积叫做a的三次方,记作a3,即a3=a×a×a。一般地,n个a相乘,叫做a的n次方,记作an,即

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本讲主要讲an的个位数的变化规律,以及an除以某数所得余数的变化规律。 因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关,所以an的个位数只与a的个位数有关,而a的个位数只有0,1,2,?,9共十种情况,故我们只需讨论这十种情况。

为了找出一个整数a自乘n次后,乘积的个位数字的变化规律,我们列出下页的表格,看看a,a2,a3,a4,?的个位数字各是什么。 从表看出,an的个位数字的变化规律可分为三类:

(1)当a的个位数是0,1,5,6时,an的个位数仍然是0,1,5,6。 (2)当a的个位数是4,9时,随着n的增大,an的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个位数是4时,按4,6的顺序循环出现;a的个位数是9时,按9,1的顺序循环出现。

(3)当a的个位数是2,3,7,8时,随着n的增大,an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时,按2,4,8,6的顺序循环出现;a的个位数是3时,按3,9,7,1的顺序循环出现;当a的个位数是7时,按7,9,3,1的顺序循环出现;当a的个位数是8时,按8,4,2,6的顺序循环出现。

例1 求67999的个位数字。

例2 求291+3291的个位数字。

例3 求28128-2929的个位数字。

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例4 求下列各除法运算所得的余数: (1)7855÷5;

(2)555÷3。

例5 某种细菌每小时分裂一次,每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后,将这些细菌每7个分为一组,还剩下几个细菌?

1.求下列各数的个位数字:

(1)3838; (2)2930; (3)6431; (4)17215。

2.求下列各式运算结果的个位数字:

(1)9222+5731; (2)615+487+349;(3)469-6211; (4)37×48+59×610。

3.求下列各除法算式所得的余数:

(1)5100÷4; (2)8111÷6;(3)488÷7

第2讲 速算与巧算

速算与巧算(一)

计算是数学的基础,小学生要学好数学,必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节省计算时间,更可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法,本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成绩(分数)如下: 86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。 求这10名同学的总分。

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例2 某农场有10块麦田,每块的产量如下(单位:千克):

462,480,443,420,473,429,468,439,475,461。求平均每块麦田的产量。

例3 求292和822的值。

例4 求9932和20042的值。

例5 88×64=?

例6 77×91=?

练习与思考

1.求下面10个数的总和:

165,152,168,171,148,156,169,161,157,149。

2.农业科研小组测定麦苗的生长情况,量出12株麦苗的高度分别为(单位:厘米):

26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25。求这批麦苗的平均高度。

3.某车间有9个工人加工零件,他们加工零件的个数分别为: 68,91,84,75,78,81,83,72,79。 他们共加工了多少个零件?

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4.计算:

13+16+10+11+17+12+15+12+16+13+12。

5.计算下列各题:

(1)372; (2)532; (3)912;(4)682: (5)1082; (6)3972。

6.计算下列各题:

(1)77×28;(2)66×55;(3)33×19;

(4)82×44;(5)37×33;(6)46×99。

速算与巧算(二)

上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法,这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。

两个数之和等于10,则称这两个数互补。在整数乘法运算中,常会遇到像72×78,26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补,或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补,这类式子我们称为“头相同、尾互补”型;26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同,这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。计算这两类题目,有非常简捷的速算方法,分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。 例1 (1)76×74=? (2)31×39=?

例2 (1)78×38=? (2)43×63=?

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例3 (1)702×708=? (2)1708×1792=?

例4 2865×7265=?

练习与思考

计算下列各题:

1.68×62; 2.93×97; 3.27×87; 4.79×39;

5.42×62; 6.603×607;7.693×607; 8.4085×6085。

第3讲 和差倍问题 (一)

和差问题

例1.植树节,育红小学五、六年级学生共植树106棵,六年级比五年级多植树24棵,五、六年级各植树多少棵?

例2.小明期终考试,语文和数学的平均分数是97分,语文比数学系少6分,语文和数学各得了几分?

例3.一部书有上、中、下三册,上册比中册贵1元,中册比下册贵2元,这部书售价32元。上、 中、下三册各多少元?

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例4.甲、乙两筐香蕉共64千克,从甲筐里取出5千克放到乙筐里去,结果甲筐的香蕉还比乙筐的香蕉多2千克。甲、乙两筐原有香蕉各多少千克?

例5.这里有三道加法算式,当正方形、三角形、圆形各代表什么数,才能使等式成立?

□+□+△+○=20??(1) □+△+△+○=17??(2) □+△+○+○=15??(3)

练习与思考

1.小红家养了30只鸡,母鸡比公鸡多8只。小红养母鸡、公鸡各多少只?

2.甲、乙、丙三个数,和为300,已知甲比乙大50,乙比丙大20,甲数是多少?

3.甲、乙、丙三个同时参加储蓄。甲、乙两人共储蓄220元,乙、丙两人共储蓄180元,甲、丙两人共储蓄200元。问:三人各储蓄多少元?

4.两筐苹果共重64千克,如果从第一筐中取出8千克放入第二筐后,那么,第一筐苹果比第二筐少2千克。两筐苹果原来各有多少千克?

5.小明比小华多30块糖果,小明给小华25块糖果,这时谁的糖果多?多几块?

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6.小强沿长与宽相差20米的游泳池池边跑步5圈,作下水前的准备活动,已知他共跑了700米,游泳池的长和宽各是多少米?

7.张宁同学期末考试成绩如下:语文和数学平均成绩是94分,数学和外语平均成绩是88分,外语和语文平均成绩是86分。张宁同学语文、数学、外语各得多少分?

8.两个加数之和比一个加数大25,比另一个加数大52,这两面三刀个加数的和与差各是多少?

9.如果两个数的和与差的积是77,这两个数各是多少?

10.已知△=8,你能根据下面两道算式,算出□和○各表示几吗? □+□+△+○=46 □+△+△+○=37

和倍问题(一)

我们把已知几个数的和及它们之间的倍数关系,求这几个数各是多少的问题称为和倍问题。解答和倍问题,要在已知条件中确定一个数为标准(一般以小数作为标准),假定小数是1倍或1份,再根据其他几个数与小数的倍数关系,确定总和相当于1倍数的多少倍,然后用除法求出小数,再算出其他各数。

和倍问题的数量关系是:

和÷(倍数+1)=小数

小数×倍数=大数

例1.六合农场把98000千克粮食分别存入两个仓库,已条存入第一仓库里的粮食是第二仓库的3倍。两个仓库各存多少千克粮食?

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例2.被除数、除数、商三个数的和是212,已知商是2,被除数和除数各是多少?

例3.三篮桃子共有117个,第一篮的桃子是第二篮的2倍,第三篮的桃子是第一篮的3倍。这三篮桃子各有多少个?

例4.两个数的和是682,其中一个加数的个位是0,若把0去掉,则与另一个加数相同。这两个数各是多少?

例5.有两堆棋子,第一堆有67个,第二堆有53个。问:从第一堆中拿出多少个棋子放入第一堆,就能使第一堆的棋子是第二堆了2倍?

练习与思考

1.已知两个数的和是160,大数是小数的3倍,求这两个数。

2.长方形的周长是36分米,已知长是宽的2倍,长方形的面积是多少平方分米?

3.两数相除,商3余4,如果被除数、除数、商及余数相加,和是43,求被除数和除数。

4.姐姐和妹妹共有人民币264元(两人都是整元的钱),姐姐的钱数的个位是0,如果姐姐把自己钱数的个位上的0去掉,恰好和妹妹的钱数相等。姐姐、妹妹各有人民币多少元?

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5.甲、乙两人共储蓄人民币1790元,甲取出540元后,乙的钱数比甲的3倍还多50元。甲、乙两人原来各储蓄多少元?

6.王村原有水田325公顷,旱田155公顷,现在计划把一部分旱田改成水田,使全村水田的公顷数相当于旱田的3倍,应该把多少公顷旱田改成水田?

7.甲、乙两箱茶叶共84千克,如果从乙箱取出12千克放入甲箱,则甲箱茶叶的重量是乙箱的2倍。两箱原来各有茶呆多少千克?

8.把一个减法算式里的被减数、减数与差相加,得数是990,已知减数是差的2倍,减数是多少?

第4讲 和差倍问题(二)

和倍问题(二)

例1.百货公司卖出花布和白布共395米,卖出的花布是白布的4倍,花布每米6元,白布每米5元,卖出的花布和白布共值多少元?

例2.甲、乙两数之积为2500,是甲、乙两数之和的20倍,而甲数又是乙数的4倍,甲、乙两数各是多少?

例3.甲、乙两人共储蓄1000元,甲取出240元,乙又存入80元,这时甲蓄储的钱正好是乙的3倍。原来甲比乙多储蓄多少元?

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例4.光明小学买来足球和篮球共30个,已知买来足球的个数比篮球的2倍少3个,学校买来足球的篮球各多少个?

例5.大水池里有水2600立方米,小水池里有水1200立方米,如果大水池的水以每分23立方米的速度流入小水池,那么,多少分后小水池中的水是大水池的4倍?

练习与思考

1.甲瓶里有酒精470毫升,乙瓶里有酒精190毫升,为了使甲瓶的酒精是乙瓶酒精的2倍,应该把甲瓶的酒精倒入乙瓶多少毫升?

2.两个自然数的和是286,其中一个数的末位数是0,如果把这个0去掉,所得的数与另一个数相同。原来两个数的积是多少?

3.甲、乙两人存款数相等,如果取出30元,乙存入30元,那么,乙的存款数恰好是甲的5倍。甲、乙两人这时各有存款多少元?

4.有两层书架,共186本书。如果从第一层拿走25本书后,第二层的书就比第一层的2倍还多11本。第二层有多少本书?

5.甲、乙两个冷藏库共存鸡蛋1570箱,从甲库运走350箱后,这时乙库存的鸡蛋比甲库剩下的2倍还多80箱。甲、乙两库原来各存鸡蛋多少箱?

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6.两个数的和是13002,其中一个数的百位和十位上的数都是6,另一个数百位和十位上的数都是3,如果用0代替这两个数里的6与3,那么,所得的一个数是另一个数的2倍,原来的两个数各是多少?

7.商店运来梨子、苹果、香蕉共53千克,梨子的重量是苹果的3倍少3千克,香蕉的重量是苹果的2倍多2千克,梨子重多少千克?

8.南水池有水3830立方米,北水池有水850立方米,如果南水池里的水以每分32立方米的速度流入北水池,那么,多少分后南水池中的水是北水池的3倍?

9.面值10元的面值5元的钞票若干张,共175元。10元的张数是5元张数的3倍。这两种钞票各几张?

差倍问题

差÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数

例1.暑假里,兄弟两人去池塘钓鱼,哥哥比弟弟多钓20条,哥哥钓的条数是弟弟的3倍。哥哥与弟弟各钓了多少条鱼?

例2.参加学校课外舞蹈小组的同学,女生比男生多45人,女生比男生的4倍少15人,男、女生各有多少人?

例3.两堆煤重量相等,第一堆运走7吨,第二堆运走19吨以后,第一堆剩下的吨数是第二堆的3倍。两堆煤现在各有多少吨?

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例4.一个畜牧场,原有山羊和绵羊的只数同样多,如果卖出山羊200只,买进绵羊350只,那么绵羊的只数是山羊的6倍还多50只。畜牧场原有山羊、绵羊各多少只?

例5.有两筐桔子,如果从第一筐拿出9个放入第二筐,则两筐桔子的个数相等;如果从第二筐拿出12个放入第一筐,则第一筐桔子的个数等于第二筐的2倍。原来每筐桔子各有多少个?

练习与思考

1.暑假里,哥哥做的数学题比弟弟多180道,哥哥做的数学题是弟弟的4倍多9道。两人各做多少数学题?

2.甲、乙两人的钱一样多,甲给乙30元,则乙的钱是甲的5倍。甲、乙原来各有多少元?

3.甲粮仓的大米比乙粮仓多600袋,如果从乙粮仓运出300袋给甲粮仓,那么,甲粮仓的大米是乙粮仓的2倍。两粮仓原来各有大米多少袋?

4.两块同样长的花布,第一块卖出25米,第二块卖出7米,剩下的布,第二块的长度是第一块的3倍。这两块布原来各有多少米?

5.已知两个数的商是4,这两个数的差是39。那么,这两个数中较小的一个数是多少?

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6.小英的故事书的本数是小娟的3倍。如果小英借给小娟10本故事书,小娟的故事书的本数等于小英的3倍。小英、小娟原来各有故事书多少本?

7.水果店有重量相等的苹果和梨子各一筐,苹果卖出60千克,梨子又放入40千克,结果梨子的重量是苹果的3倍。原来苹果、梨子各有多少千克?

8.四(1)班和四(2)班原有图书的本数一样多。后来,四(1)班又买事新书126本,而四(2)班从本班原有的书中取出234本借给四(3)班。这时,四(1)班图书的本数是四(2)班的3倍。四(1)班和四(2)班原来各有图书多少本?

9.一天,甲、乙、丙三人去郊外钓鱼,甲比乙多钓6条,丙钓的鱼是甲的2倍,比乙多钓22条。他们三人一共钓了多少鱼?

10.甲对乙说:“你给我100元,我的钱将比你多1倍。”乙回答说:“你只要给我10元,我的钱就比你多5倍。”问:两人各有多少元?

第5讲 年龄问题

年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。 年龄问题的主要特点是:二人年龄的差保持不变,它不随岁月的流逝而改变;二人的年龄随着岁月的变化,将增或减同一个自然数;二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化,年龄增大,倍数变小。 根据题目的条件,我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。

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例1 儿子今年10岁,5年前母亲的年龄是他的6倍,母亲今年多少岁?

例2 今年爸爸48岁,儿子20岁,几年前爸爸的年龄是儿子的5倍?

例3 兄弟二人的年龄相差5岁,兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问:兄、弟二人今年各多少岁?

例4 今年兄弟二人年龄之和为55岁,哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同,那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍,请问哥哥今年多少岁?

例5 哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等,哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁,请问二人今年各多少岁?

例6 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年,父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问:父亲出生在哪一年?

例7 今年爷爷78岁,长孙27岁,次孙23岁,三孙16岁。问:几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和?

练习与思考

1.父亲比儿子大30岁,明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍,那么今年儿子几岁?

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2.王梅比舅舅小19岁,舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问:他们二人各几岁?

3.小明今年9岁,父亲39岁,再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍?

4.父亲年龄是女儿的4倍,三年前父女年龄之和是49岁。问:父女两人现在各多少岁?

5.一家三口人,三人年龄之和是74岁,妈妈比爸爸小2岁,妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问:三人各是多少岁?

6.今年老师46岁,学生16岁,几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等?

7.已知祖孙三人,祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同,祖父和孙子年龄之和为82岁,明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问:祖孙三人各多少岁?

8.小乐问刘老师今年有多少岁,刘老师说:“当我像你这么大时,你才3岁;当你像我这么大时,我已经42岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗?

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第6讲 归一问题与归总问题

在解答某些应用题时,常常需要先找出“单一量”,然后以这个“单一量”为标准,根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题,称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。

例1 一种钢轨,4根共重1900千克,现在有95000千克钢,可以制造这种钢轨多少根?(损耗忽略不计)

例2 王家养了5头奶牛,7天产牛奶630千克,照这样计算,8头奶牛15天可产牛奶多少千克?

例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克,8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间?

例4 4辆大卡车运沙土,7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨,要求5趟运完。问:需要增加同样的卡车多少辆?

例5 一项工程,8个人工作15时可以完成,如果12个人工作,那么多少小时可以完成?

例6 一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行60千米,5时到达。若要4时到达,则每小时需要多行多少千米?

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例7 修一条公路,原计划60人工作,80天完成。现在工作20天后,又增加了30人,这样剩下的部分再用多少天可以完成?

练习与思考

1.2台拖拉机4时耕地20公顷,照这样速度,5台拖拉机6时可耕地多少公顷?

2.4台织布机5时可以织布2600米,24台织布机几小时才能织布24960米?

3.一种幻灯机,5秒钟可以放映80张片子。问:48秒钟可以放映多少张片子?

4.3台抽水机8时灌溉水田48公顷,照这样的速度,5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷?

5.平整一块土地,原计划8人平整,每天工作7.5时,6天可以完成任务。由于急需播种,要求5天完成,并且增加1人。问:每天要工作几小时?

6.食堂管理员去农贸市场买鸡蛋,原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了,他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问:鸡蛋价格下调后是每千克多少元?

7.锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后,由于进行了技术改造,每天能节约0.9吨煤。问:这些煤共可以供暖多少天?

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第7讲 鸡兔同笼问题与假设法

鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的,它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题,都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。 例1 小梅数她家的鸡与兔,数头有16个,数脚有44只。问:小梅家的鸡与兔各有多少只? 例2 100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍。问:大、小和尚各有多少人?

例3 彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元。问:两种文化用品各买了多少套?

例4 鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只。问:鸡、兔各多少只?

例5 现有大、小油瓶共50个,每个大瓶可装油4千克,每个小瓶可装油2千克,大瓶比小瓶共多装20千克。问:大、小瓶各有多少个?

例6 一批钢材,用小卡车装载要45辆,用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,那么这批钢材有多少吨?

例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶,双方商定每只运费0.24元,但如果发生损坏,那么每打破一只不仅不给运费,而且还要赔偿1.26元,结果搬运站共得运费115.5元。问:搬运过程中共打破了几只花瓶?

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例8 小乐与小喜一起跳绳,小喜先跳了2分钟,然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下,那么小喜比小乐共多跳了多少下?

练习与思考

1.鸡、兔共有头100个,脚350只,鸡、兔各有多少只?

2.学校有象棋、跳棋共26副,2人下一副象棋,6人下一副跳棋,恰好可供120个学生进行活动。问:象棋与跳棋各有多少副?

3.班级购买活页簿与日记本合计32本,花钱74元。活页簿每本1.9元,日记本每本3.1元。问:买活页簿、日记本各几本?

4.龟、鹤共有100个头,鹤腿比龟腿多20只。问:龟、鹤各几只?

5.小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角,明信片每张2元5角。问:贺年卡、明信片各买了几张?

6.一个工人植树,晴天每天植树20棵,雨天每天植树12棵,他接连几天共植树112棵,平均每天植树14棵。问:这几天中共有几个雨天?

7.振兴小学六年级举行数学竞赛,共有20道试题。做对一题得5分,没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分,那么他做对了几道题?

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8.有一批水果,用大筐80只可装运完,用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克,那么这批水果有多少千克?

9.蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀。问:每种小虫各有几只?

10.鸡、兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只。问:鸡、兔各几只?

第8讲 盈亏问题与比较法(一)

人们在分东西的时候,经常会遇到剩余(盈)或不足(亏),根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。

例1 小朋友分糖果,若每人分4粒则多9粒;若每人分5粒则少6粒。问:有多少个小朋友分多少粒糖?

例2 小朋友分糖果,若每人分3粒则剩2粒;若每人分5粒则少6粒。问:有多少个小朋友?多少粒糖果?

例3 小朋友分糖果,每人分10粒,正好分完;若每人分16粒,则有3个小朋友分不到糖果。问:有多少粒糖果?

例4 一批小朋友去买东西,若每人出10元则多8元;若每人出7元则少4元。问:有多少个小朋友?东西的价格是多少?

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例5 顾老师到新华书店去买书,若买5本则多3元;若买7本则少1.8元。这本书的单价是多少?顾老师共带了多少元钱?

例6 王老师去买儿童小提琴,若买7把,则所带的钱差110元;若买5把,则所带的钱还差30元。问:儿童小提琴多少钱一把?王老师带了多少钱?

练习与思考

1.小朋友分糖果,每人3粒,余30粒;每人5粒,少4粒。问:有多少个小朋友?多少粒糖?

2.一个汽车队运输一批货物,如果每辆汽车运3500千克,那么货物还剩下5000千克;如果每辆汽车运4000千克,那么货物还剩下500千克。问:这个汽车队有多少辆汽车?要运的货物有多少千克?

3.学校买来一批图书。若每人发9本,则少25本;若每人发6本,则少7本。问:有多少个学生?买了多少本图书?

4.参加美术活动小组的同学,分配若干支彩色笔。如果每人分4支,那么多12支;如果每人分8支,那么恰有1人没分到笔。问:有多少同学?多少支彩色笔?

5.红星小学去春游。如果每辆车坐60人,那么有15人上不了车;如果每辆车多坐5人,那么恰好多出一辆车。问:有多少辆车?多少个学生?

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6.某数的8倍减去153,比其5倍多66,求这个数。

7.某厂运来一批煤,如果每天烧1500千克,那么比原计划提前一天烧完;如果每天烧1000千克,那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完,那么每天应烧煤多少千克?

8.同学们为学校搬砖,每人搬18块,还余2块;每人搬20块,就有一位同学没砖可搬。问:共有砖多少块?

第9讲 盈亏问题与比较法(二)

有些问题初看似乎不像盈亏问题,但将题目条件适当转化,就露出了盈亏问题的“真相”。

例1 某班学生去划船,如果增加一条船,那么每条船正好坐6人;如果减少一条船,那么每条船就要坐9人。问:学生有多少人?

例2 少先队员植树,如果每人挖5个坑,那么还有3个坑无人挖;如果其中2人各挖4个坑,其余每人挖6个坑,那么恰好将坑挖完。问:一共要挖几个坑?

例3在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面,则余8米;若把绳子三折垂到水面,则余2米。问:桥有多高?绳子有多长?

例4有若干个苹果和若干个梨。如果按每1个苹果配2个梨分堆,那么梨分完时还剩2个苹果;如果按每3个苹果配5个梨分堆,那么苹果分完时还剩1个梨。问:苹果和梨各有多少个?

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例5乐乐家去学校上学,每分钟走50米,走了2分钟后,发觉按这样的速度走下去,到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度,每分钟比原来多走10米,结果到达学校时离上课还有5分钟。问:乐乐家离学校有多远?

例6王师傅加工一批零件,每天加工20个,可以提前1天完成。工作4天后,由于改进了技术,每天可多加工5个,结果提前3天完成。问:这批零件有多少个?

练习与思考

1.筑路队计划每天筑路720米,实际每天比原计划多筑80米,这样在完成规定任务的前三天,就只剩下1160米未筑。问:这条路共有多长?

2.小红家买来一篮桔子,分给全家人。如果其中二人每人分4只,其余每人分2只,那么多出4只;如果一人分6只,其余每人分4只,那么缺12只。问:小红家买来多少只桔子?小红家共有几人?

3.食堂采购员小李去买肉,如果买牛肉18千克,那么差4元;如果买猪肉20千克,那么多2元。已知牛肉、猪肉每千克差价8角,求牛肉、猪肉每千克各多少钱。

4.李老师给小朋友分苹果和桔子,苹果数是桔子数的2倍。桔子每人分3个,多4个;苹果每人分7个,少5个。问:有多少个小朋友?多少个苹果和桔子?

5.用绳子测量井深。如果把绳子三折垂到水面,余7米;如果把绳子5折垂到水面,余1米。求绳长与井深。

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6.老师给幼儿园小朋友分苹果。每两人三个苹果,多两个苹果;每三人五个苹果,少四个苹果。问:有多少个小朋友?多少个苹果?

7.小明从家到学校去上学,如果每分钟走60米,那么将迟到5分钟;如果每分钟走80米,那么将提前3分钟。小明家距学校多远?

第10讲 抽屉原理(一)

如果将5个苹果放到3个抽屉中去,那么不管怎么放,至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单,如果每个抽屉中放的苹果都少于2个,即放1个或不放,那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3,这与有5个苹果的已知条件相矛盾,因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。 同样,有5只鸽子飞进4个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”,也叫“鸽笼原理”。 抽屉原理1:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到2件,那么每一个抽屉中的物品或者是一件,或者没有。这样,n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件,这与有多于n件物品的假设相矛盾,所以前面假定“这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立,从而抽屉原理1成立。 从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件,最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品,共放入n件物品,此时再放入1件物品,无论放入哪个抽屉,都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了抽屉原理1。

例1某幼儿园有367名1996年出生的小朋友,是否有生日相同的小朋友?

例2在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除?

例3在任意的五个自然数中,是否其中必有三个数的和是3的倍数?

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例4在长度是10厘米的线段上任意取11个点,是否至少有两个点,它们之间的距离不大于1厘米?

例5有苹果和桔子若干个,任意分成5堆,能否找到这样两堆,使苹果的总数与桔子的总数都是偶数?

例6用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色(见右图),每个小方格涂一种颜色。是否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?

练习与思考

1.某班32名小朋友是在5月份出生的,能否找到两个生日是在同一天的小朋友?

2.班上有50名小朋友,老师至少拿几本书,随意分给小朋友,才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书?

3.在任意三个自然数中,是否其中必有两个数,它们的和为偶数?

4.幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机,每个小朋友任意选择两件,那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的?

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5.学校举行开学典礼,要沿操场的400米跑道插40面彩旗。能否找到一种插法,使得任何两面彩旗之间的距离都大于10米?

6.用红、蓝、黄三种颜色将一个2×7方格图中的小方格涂色(见下图),每个小方格涂一种颜色,每一列的两小格涂的颜色不相同。是否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?

7.一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子,颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看,那么至少要取出多少只袜子,才能保证有5双同色的袜子?

第11讲抽屉原理(二)

这一讲我们讲抽屉原理的另一种情况。先看一个例子:如果将13只鸽子放进6只鸽笼里,那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子,6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里,总有一只鸽笼放了3只鸽子。这个例子所体现的数学思想,就是下面的抽屉原理2。

抽屉原理2:将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。 说明这一原理是不难的。假定这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到(m+1)件,即每个抽屉里的物品都不多于m件,这样,n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。这与多于m×n件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立。所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m+1。

从最不利原则也可以说明抽屉原理2。为了使抽屉中的物品不少于(m+1)件,最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入m件物品,共放入(m×n)件物品,此时再放入1件物品,无论放入哪个抽屉,都至少有一个抽屉不少于(m+1)件物品。这就说明了抽屉原理2。

不难看出,当m=1时,抽屉原理2就转化为抽屉原理1。即抽屉原理2是抽屉原理1的推广。

例1某幼儿班有40名小朋友,现有各种玩具122件,把这些玩具全部分给小朋友,是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具?

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例2一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1,2,3,4的各有10块。问:一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块号码相同的木块?

例3六年级有100名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问:至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?

例4篮子里有苹果、梨、桃和桔子,现有81个小朋友,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的?

例5学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。问:至少有多少名学生,才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同?

练习与思考

1.礼堂里有253人开会,这253人中至少有多少人的属相相同?

2.一兴趣小组有10名学生,他们都订阅甲、乙两种杂志中的一种或两种。问:至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?

3.把130件玩具分给幼儿园小朋友,如果不管怎样分,都至少有一位小朋友分得4件或4件以上的玩具,那么这个幼儿园最多有多少个小朋友?

4.体育组有足球、篮球和排球,上体育课前,老师让一班的41名同学往操场拿球,每人最多拿两个。问:至少有几名同学拿球的情况完全一样?

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5.口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球,有若干人轮流从袋中取球,每人取三个球。要保证有4人取出的球的颜色完全相同,至少应有多少人取球?

6.10个足球队之间共赛了11场,赛得最多的球队至少赛了几场?

第12讲 数的整除性

数的整除性(一)

三、四年级已经学习了能被2,3,5和4,8,9,6以及11整除的数的