市值的20%.基于这样的考虑，将现有的100亿社保基金按问题1所得的投资比例与其流通市值的20%进行比较，统计出是否有股票所投资的比例会超出其流通市值的上限.(见，各个股票投资比例资金与流通上限统计表)
表5 各个股票投资比例资金与流通上限统计表 单位：亿元
股票 深发 展A 114.23 0 股票 鞍钢 股份 69.48 0 股票 南方 航空 37.12 0 股票 宁沪 高速 7.85 13.89 万科A 332.07 0 苏宁 电器 123.97 0 中信 证券 0 0 贵州 茅台 125.72 0 中集 集团 46.66 0 武钢 股份 90.69 0 招商 银行 348.55 0 海油 工程 40.96 0 中兴 通讯 56.20 19.93 华能 国际 77.23 0 中国 联通 122.00 5.17 海螺 水泥 32.36 0 华侨 城A 58.16 5.90 华夏 银行 66.86 0 上海 汽车 70.60 0 申能 股份 52.44 0 泸州 老窖 44.11 11.23 民生 银行 243.35 0 东方 航空 0 4.64 陆家嘴 19.15 0 盐湖 钾肥 35.96 3.95 上港 集团 47.27 0 兖州 煤业 14.00 0 S上 石化 21.01 0 太钢 不锈 52.58 0 宝钢 股份 197.06 0 烟台 万华 66.17 0 马钢 股份 18.55 0 五粮液 86.27 0 中海 发展 26.13 0 振华 港机 63.65 0 东方 明珠 35.32 0 张裕A 11.36 11.55 中国 石化 111.53 0 江西 铜业 23.45 0 长江 电力 169.49 23.76 由上表可知，若按问题1的投资比例将这100亿的社保基金进行投资，有两支股票的投资资金超过了其流通上限，分别是张裕A和宁沪高速.由于这样的约束条件，我们就在这两种股票上不投资，并将原先投资在其上的资金提取出来后，得到剩下的资金为25.44亿元.
再利用问题1所得的投资比例，将剩下的资金重新按照这个投资比例进行分配，得到如下结果.(见，剩余资金在各种股票的投资分配情况)
表6 剩余资金在各种股票的投资分配情况 单位：亿元
股票 投资 资金 股票 投资 资金 股票 投资 资金 深发 展A 0 鞍钢 股份 0 南方 航空 0 万科A 中集 集团 0 武钢 股份 0 招商 银行 0 中兴 通讯 5.07 华能 国际 0 中国 联通 1.31 华侨 城A 1.50 华夏 银行 0 上海 汽车 0 泸州 老窖 2.85 民生 银行 0 东方 航空 1.18 盐湖 钾肥 1.01 上港 集团 0 兖州 煤业 0 太钢 不锈 0 宝钢 股份 0 烟台 万华 0 五粮液 张裕A 0 苏宁 电器 0 中信 证券 0 0 中海 发展 0 振华 港机 0 2.94 中国 石化 0 江西 铜业 0 股票 投资 资金 宁沪 高速 3.53 贵州 茅台 0 海油 工程 0 海螺 水泥 0 申能 股份 0 陆家嘴 S上 石化 0 马钢 股份 0 东方 明珠 0 长江 电力 6.04 0 根据可知道剩余的资金在各种股票上的投资情况，显然各个投资的比例是不会超过其流通市值的上限.则由和所得出的资金情况，我们就得出了这100亿社保基金的总分配情况.(见，100亿社保基金在各种股票上的投资分配情况)
表7 100亿社保基金在各种股票上的投资分配情况 单位：亿元
股票 投资 资金 深发 展A 0 114.23 股票 投资 资金 鞍钢 股份 0 69.48 股票 投资 资金 南方 航空 0 37.12 股票 投资 资金 宁沪 高速 3.53 7.85 万科A 中集 集团 0 46.66 武钢 股份 0 90.69 招商 银行 0 348.55 海油 工程 0 40.96 中兴 通讯 25.00 56.20 华能 国际 0 77.23 中国 联通 6.48 122.00 海螺 水泥 0 32.36 华侨 城A 7.40 58.16 华夏 银行 0 66.86 上海 汽车 0 70.60 申能 股份 0 52.44 泸州 老窖 14.07 44.11 民生 银行 0 243.35 东方 航空 5.83 0 陆家嘴 盐湖 钾肥 4.96 35.96 上港 集团 0 47.27 兖州 煤业 0 14.00 S上 石化 0 21.01 太钢 不锈 0 52.58 宝钢 股份 0 197.06 烟台 万华 0 66.17 马钢 股份 0 18.55 五粮液 张裕A 0 332.07 苏宁 电器 0 123.97 中信 证券 0 0 贵州 茅台 0 125.72 0 86.27 中海 发展 0 26.13 振华 港机 0 63.65 东方 明珠 0 35.32 2.94 11.36 中国 石化 0 111.53 江西 铜业 0 23.45 长江 电力 29.80 169.49 0 19.15 由可知，这100亿社保资金的投资分配情况，而且所投资的每支股票都没有超过其流通市值的上限.结合所建的均值—方差模型，这样的投资组合下，已经保证其投资组合
2的风险达到最小值为?ij?0.0026，其收益率E(r)?3.7141%.以下的条形统计图更能直观
地反应分配情况.(见，100亿社保基金在各种股票上的投资分配情况统计条形图)
图5 100亿社保基金在各种股票上的投资分配情况统计条形图
5、模型的评价
? 模型的优点
? 本文建立的Markowitz均值—方差组合模型具有开创意义，奠定了现代金融学，投资
? ? ? ? ?
学乃至财务管理学的理论基础.
用LINGO求解模型后，对参数进行了灵敏度分析，增强了模型的可行性. 整个模型结构紧凑，简单明了，通俗易懂. 模型的缺点
Markowitz的均值—方差组合模型理论较为复杂，有时不便于操作.
此模型中，假设市场是无摩擦的，这样的处理不太符合现实生活.将在模型改进中，考虑了有交易费用的投资组合模型.
6、模型的改进与推广
? 模型的改进
建立一个真正能够解决收益与风险之间矛盾的投资组合模型，主要存在两方面的原因：一方面是由于股票方面的统计数据不足，参数的确定因资料的缺少而难以考虑周到；另一方面模型的本身也存在着缺陷.下面分别对两方面进行改进.
⑴收益率的改进
在上文建立的模型中，对于每种股票每个月的收益率只是简单的确定为：
ri,j?pi,j?pi,j?1pi,j?1.
在现实生活中，有时会出现股票分割、股息发放、送红股及配股等情况.基于这样的情况出现，对收益率公式的确定也要进行适当地改进，先分别予以讨论.
① 股票分割(又称拆股)
将单支股票分成若干股.若在计算收益率的期间内发生股票分割的情况，且假定股票分割的比例为n，即每股拆细为n股，则收益率计算公式为
②送现金股息
若在计算收益率期间，发生发放现金股息的情况，且每股股息为Dj元，则收益率公式为
③送红股
若在计算收益率期间，发生送红股情况，且假定送股比例为n，即每股送n股红股，则收益率公式为
④发行新股(即配股)
若在计算收益率期间发生配股的情况，且配股比例为n，配股价格为每股S元，则收益率的计算公式为
⑤若同时发生送股、配股、送现金股息的情况
配股价为S，配股比例为n1，送股比例为n2，股息为D，则收益率计算公式为
ri,j?pi,j?(pi,j?1?n1?S)/(n1?n2?1)?D(pi,j?1?n1?S)/(n1?n2?1).
⑵考虑带交易费用的“M-V”模型的改进
在本文建立的模型中，是考虑市场无摩擦的，而在现实生活中，必须考虑交易费用等因素，则频繁的组合调整必将引起巨大的成本.则我们在此基础上，提出了带交易费用
的投资组合模型M-V-C，并且利用割平面方法思想来求解模型.
考虑带交易费用的投资组合模型M-V-C如下：
maxE(r)??(E(ri)?ci)wi,i?1ns..t
???i?1j?1nnnijwiwj?M, (7.1)
?wi?1i?1,0?wi?ai.这是一个带二次约束的线性最优化问题，对这类问题没有特殊的算法，当然能用非
线性优化方法来处理，但可能导致无效解，所以提出了割平面算法来解决(M-V-C)投资组合模型.
设g(w)?M????ijwiwj，则g(w)是Rn上的凹函数.
i?1j?1nnn?令G??w:g(w)?0?,及T??w:?wi?1,0?wi?ai,i?1,?i?1?,n? ?Step1.解线性优化问题：
(MVC0)maxE(r)??(ri?ci)wii?1n
s..tw?T (7.2)
设w0是其最优解，若w0在集合G??w:g(w)?0?中，终止，已得投资组合模型(MVC)的最优解，否则；令k?0转Step2.
Step2.解线性优化问题：
?MVCK?
maxf(w)??(ri?ci)wii?1ns..t?h(w,wh)?gh(wh)??g(wh)T(w?wh)?0, gh?0,1,w?T,k(7.3)
Step3.设wk?1是其最优解.若wk?1?G，终止，否则，令k?k?1转Step2.
记Sk为Step2.中第k次迭代的可行集，这些集合是下降的，即：
定理：设g是紧凸集T?Rn的闭凹函数，且对每一个w?T，次梯度?g(w)非空，即存在K使得
进一步，(MVC)的可行集G非空且包含于T.设：