参考公式：回归方程，其中=．参考数据：，
．
【考点】线性回归方程． 【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；
（2）利用回归方程计算x=8时的估计值，计算误差得出结论；
（3）求出利润的解析式，根据二次函数的性质得出利润取最值时的x． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知=8， =
，
=
=40．
=10， =
∴y关于x的回归直线方程是=﹣3.2x+40．
=﹣3.2×8+40=14.4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=8时，﹣y=14.4﹣14=0.4＜0.5．
∴可认为所得到的回归直线方程是理想的．
（Ⅲ）依题意得，利润L=（x﹣2.5）?（﹣3.2x+40）=﹣3.2x2+48x﹣100（2.5＜x＜12.5）． 当
时，L取得最大值．
即该产品的单价定为7.5元时，利润最大．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上． （Ⅰ）求证：BC⊥A1B； （Ⅱ）若P是线段AC上一点，的值．
，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为
，求
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．
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【分析】（I）由AD⊥平面A1BC得BC⊥AD，由AA1⊥平面ABC得BC⊥AA1，故BC⊥平面A1AB，所以BC⊥A1B；
（II）设PC=x，用x表示出棱锥A1﹣BPC的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值．
【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC?平面A1BC， ∴AD⊥BC．
∵AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴AA1⊥BC．
又∵AA1∩AD=A，AA1?平面AA1B，AD?平面AA1B， ∴BC⊥平面AA1B，∵A1B?平面AA1B， ∴BC⊥A1B．
（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E． 由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB， ∵AB=BC=2，∴，． ∴
，
∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上， ∴AD⊥A1B．∴BD=∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴∴∴解得：∴
， ．∴
．
．
=
．
=1，又∵AA1⊥AB，
，
20．F为椭圆C：x2+已知O为坐标原点，
=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣
的直线l与C交与A、B两点，四边形OAPB为平行四边形． （Ⅰ）证明：点P在椭圆C上； （Ⅱ）求四边形OAPB的面积．
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【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由已知F（0，1），直线l的方程为
，代入
，得
，由平行四边形性质得
（Ⅱ）由已知求出|AB|和原点O到直线l：的面积．
，由此能证明点P在椭圆C上． 的距离，由此能求出四边形OAPB
【解答】证明：（Ⅰ）∵O为坐标原点，F为椭圆C：x2+
=1在y轴正半轴上的焦点，
∴F（0，1），直线l的方程为，代入
并化简得，…2分
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）， ∵四边形OAPB为平行四边形，∴，…3分 可得（x3，y3）=（x1，y1）+（x2，y2） ∴
，
，故
…5分
经验证点P的坐标故点P在椭圆C上．…6分 解：（Ⅱ）∵
满足方程，
…8分
原点O到直线l：∴四边形OAPB的面积：
的距离…10分
．…12分．
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21．已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）求a的值及函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若不等式xf（x）＞3lnx+（k﹣3）x在x≥3时恒成立，证明：k＜e3﹣1．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求a的值及函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若不等式xf（x）＞3lnx+（k﹣3）x在x≥3时恒成立，利用参数分离法，求函数的最值即可证明：k＜e3﹣1． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知f′（x）=ex﹣a，…1分，
∵A（0，1）且曲线y=f（x）在点A处的切线平行于x轴， ∴f′（0）=e0﹣a=0，∴a=1…3分 此时，f′（x）=ex﹣1． 令f′（x）=0得x=0．
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表
（﹣∞，
x 0 （0，+∞）
0）
f′（x） 0 + ﹣ f（x）=ex﹣x 单调递减 极小值1 单调递增 ∴f（x）有极小值1，无极大值…5分 （Ⅱ）证明：由xf（x）＞3lnx+（k﹣3）x得令
，
…6分
…7分，
…8分，
∵x≥3＞e，∴lnx＞lne=1．∴
又∵ex﹣1＞0，∴g'（x）＞0．
∴g（x）在[3，+∞）上为增函数…10分 ∴
．
…11分
∴k＜e3﹣ln3＜e3﹣1…12分．
[选修4-1：几何证明选讲] 22．PC切圆O于点C，如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N．求证： （1）△CMN为等腰三角形； （2）PB?CM=PC?BN．
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