（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。 （2）求概率P{max(X1,X2,?,X5)?15}.

（3）求概率P{min(X1,X2,?,X5)?10}.

23.设X1,X2,?,Xn是来自泊松分布P(?)的一个样本，X，S分别为样本均值

2EX ,D(X) , ES和样本方差，求.

4.设总体X~B(1,p)，X1,X2,?,Xn是来自X的样本。

（1）求(X1,X2,?,Xn)的分布律；

????（2）求的分布律；

2X~N(?,?),X1,?,X10是来自X的样本。 5.设总体

（1）写出X1,?,X10的联合概率密度（2）写出X的概率密度。

i?1?Xni参数点估计与区间估计习题

一、判断题

1．设X~N(?,1)，X1,X2,X3来自于总体的样本，

的无偏估计。（ ）

2???111X1?X2?X3444是?22. 样本均值的平方X不是总体期望平方?的无偏估计.（ ）

3．在给定的置信度1??下，被估参数的置信区间不一定惟一. （ ）

4. 区间估计的置信度1??的提高会降低区间估计的精确度. （ ） 二、选择题

2(X,X,?,X)N(?,?)(?已知)的一个样本，X为样本均值，则12n1.设为总体在总体方差?的下列估计量中，为无偏估计量的是（ ）。

1n1n222?1??(Xi?X)?2?(Xi?X)2?ni?1n?1i?1A ； B ；

1n1n22???(Xi??)?4?(Xi??)2?ni?1n?1i?1C ； D .

1nX??Xi2X,X,?,Xni?1n相互独立且同分布，2.设随机变量12，S?1n(Xi?X)2?2D(X)??n?1i?1i，则S（ ）。

232 A 是?的无偏估计 C 是?的一致估计

B是?的最大似然估计 D与X相互独立

22?,?N(?,?)3. 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知，现从中随机

抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置

信度为0.90的置信区间是（ ）。

1111(20?t0.05(16),20?t0.05(16))(20?t0.1(16),20?t0.1(16))4444A B 1111(20?t0.05(15),20?t0.05(15))(20?t0.1(15),20?t0.1(15))C 4444 D

22

4.若总体X~N(?,?)，其中?已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1??变小，则?的置信区间（ ）。

A.长度变大 B.长度变小 C. 长度不变 D.长度不一定不变

三、填空题

????1．设1与2是未知参数?的两个 估计，且对任意的?满足????D(?1)?D(?2)，则称?1比?2有效。

2X~N(?,?)（单位：小时）2.设某种清漆干燥时间，取n?9的样本，得样本2均值和方差分别为X?6,S?0.33，则?的置信度为95%的单侧置信区间上限为： .

23. 设某种保险丝熔化时间X~N(?,?)（单位：秒），取n?16的样本，得样

2X?15,S?0.36，本均值和方差分别为则?的置信度为95%的单侧置信区间

上限为 .

4. 设X的分布律为

X 1 2 3

P ? 2?(1??) (1??)

22已知一个样本值(x1,x2,x3)?(1,2,1)，则参数的极大似然估计值为 .

22X~N(?,?)?,?5. 设总体，为未知参数，则?的置信度为1－?的置信区间为 .

6.设总体X的方差为1，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得均值为5，则X的期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .

2X~N(?,0.9)，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值7.由来自正态总体

X?5，则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为 .

2X~N(?,?)，?2已知，要使?的置信度为1??(0???1)且置信区8.设总体

间的长度不大于l，则样本容量n? 。

9. 若X是离散型随机变量，分布律是P{X?x}?P(x;?)，（?是待估计参数），则似然函数 ，X是连续型随机变量，概率密度是f(x;?)，则似然函数是 。

10.设总体X~N??,1?，X1,X2,...,Xn是总体X的一个样本，则当c1,c2,?,cn满足_____________时，i?1是?的一个无偏估计量。

11.设总体X~N??,1?，X1,X2是总体X的一个样本，在下列三个无偏估计量：

? 1??211311? 2?X1?X2,?? 3?X1?X2X1?X2,?334422中最有效的无偏估计

?ciXin量是_______________。

2?2?X~N?,??1n?12．设总体,,?，是的样本，则当已知时，求?的置信区间所使用的估计量为?= ；?服从 分布；

2

当?未知时，求?的置信区间所使用的估计量?= ，

???服从 分布．

2?2

X~N?,?13．设总体,1,?，?n是来自?的一个样本，求?的置信区间

所使用的估计量为?= ；?服从 分布． 2X~N?,?14.总体，X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，当?为已知时,?的置信度为1???0???1?的双侧置信区间为____________________，单侧置信下限为_____________。而当?为未知时，?的置信度为

????1???0???1?的双侧置信区间为_________________________，单侧置信上限为__________________.

四、计算题

1.设总体X的概率密度为

?(??1)x?0?x?1f(x)??其他?0

其中未知参数???1，X1,X2,?Xn是取自总体的简单随机样本，用矩法估计和极大似然估计法求?的估计量。 2．设总体X的概率分布列为：

X 0 1 2 3 P p2 2 p(1-p) p2 1-2p

其中p(0?p?1/2) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3

求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 . 3.

已

知

随

机

变

量

X的密度函数为

?(??1)(x?5)?f(x)???05?x?6其他(??0)，

其中?均为未知参数，求?的矩估计量与极大似然估计量.

1??xX~f(x)?e2?4． 设总体

??0,x?(??,??)（? 未知）且(X1,X2,?,Xn)为

来自X的一个样本，求：?的 (1 ) 矩估计量 ； (2 ) 极大似然估计量.

2X~N(?,?)，(X1,X2,?,Xn)为总体X的一个样本. 求常数 k 5．设总体,

使

k?Xi?Xi?1n为? 的无偏估计量.

6.假设0.50,1.25,0.80,2.00是总体X的简单随机样本值，已知Y?lnX服从正态分布N(?,1)。

（1）求X的数学期望EX（记EX为b）； （2）求?的置信度为0.95的置信区间；

（3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。

?6x?(??x)0?x??f(x)???3?其他?07.设总体X的概率密度为： ，设X1,X2,?Xn是取

自总体的简单随机样本。 （1）求的?估计量；

??（2）?的方差D(?)。

8.设某种元件的使用寿命X的概率密度为

?2e?2(x??),x??f(x;?)??x?? ?0,

xx,?,xn其中??0为未知参数。由设1,2是X的一组样本观测值，求参数?的最大似然估计值。

9.设总体X的概率密度为