1． 设A、B、C是三个随机事件，用A、B、C表示这三个随机事件中不多于两个事

件发生. 2． 某人连续三次购买体育彩票，设A1，A2，

A3分别表示其第一、二、三次所买的彩票中

A奖的事件，又设B??不止一次中奖?，用A1、A2、3表示B.

3．设A、B是随机事件，P?A??0.7，P?A?B??0.3，求PAB．

??P(BA)4. 设随机事件A,B互不相容，且P(A)?0.3，P(B)?0.6，求.

C是三个随机事件，5. 设A、B、且

P?A??P?B??P?C??P?AC??0．试求A、B、C这三个随机事件中至少有一个发生的概率.

6. 设事件A,B都不发生的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.8，求A,B中至少有一个不发

生的概率.

7. 设P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(B|A)?0.8，求A,B至少发生一个的概率.

111P?AB??P?BC??5，6，8，

8. 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，求A,B至少有一个不发

生的概率. 9. 设A,B为两随机事件，已知P(A)?0.7?0.3?P(B),P(A?B)?0.8，求

P(AA?B).

P(AA?B)10. 已知P(A)?0.7,P(B)?0.4,P(AB)?0.8,求.

11. 设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7，求

（1） 若A,B互不相容，P(B)的概率; （2） 若A,B相互独立，P(B)的概率.

12. 设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且

P(A)?P(B)?0.5，P(C)?0.2，求事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概

率.

13. 设事件A、B、C同时发生必导致事件D发生，

证明：P(A)?P(B)?P(C)?2?P(D)

14. 有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，求所取的3条线段能

拼成三角形的概率.

15. 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，求其中有一颗为1点的概率.

16. 在1~1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除

的概率.

17. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放

回，甲先取，求乙取得黄球的概率.

18. 袋中有4个白球，7个黑球，从中不放回地取球，每次取一个球．求第二次取出白球的

概率.

19. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 求第二次才取到正品的概率为

19. 一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。不放回抽取，每次任取一个，共取两次， (1 ) 求：第二次才取到新球的概率;

(2 ) 发现其中之一是新球，求：另一个也是新球的概率.

20. 一座20层的高楼的底层电梯上了10位乘客，乘客从第2层起开始离开电梯，每一名乘客在各层离开电梯是等可能的，求没有两位乘客在同一层离开的概率．

21. 甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为

0.4,0.3,0.5，（1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2

位不及格，求其中一位是同学乙的概率.

22. 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个

球，发现它们是同一颜色的，求这颜色是黑色的概率.

23. 将5个颜色分别为黑、红、黄、蓝、白的球分别放入5个颜色也分别为黑、红、黄、蓝、

白的盒子中，每一个盒子中只放一个球．求球与盒子的颜色都不一致的概率． 24. 在区间（0, 1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率.

25. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果

不是三等品，求它是二等品的概率.

26. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；

一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率. 27.装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的

箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率.

28. 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.05，而B被误收作A的概率为0.02．信息A与信息B传送的频繁程度为3:2．若接收站

接收的信息是A，问原发信息也是A的概率是多少？

29. 已知男人中有5.4%是色盲患者，女人中有0.27%是色盲患者．并且某学校学生中男、女

生的比例为2∶1，现从这批学生中随机地选出一人，发现此人是色盲患者，试问此人是男生的概率为多少？

30. 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.

1130. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码．已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为5、3、

14． ⑴ 求密码能被破译的概率．⑵ 已知密码已经被破译，求破译密码的人恰是甲、

乙、丙三人中的一个人的概率．

?，B??两颗骰子出现的点数之和为7?． A?? 第一颗骰子出现4点31. 掷2颗均匀的骰子，令：

⑴ 试求P?A?，P?B?，P?AB?；⑵ 判断随机事件A与B是否相互独立？

32. 设在一次试验中，事件A发生的概率为. 现进行n次独立试验，求A至少发生一次

的概率及事件A至多发生一次的概率. 33. 在一个繁忙的交通路口，单独一辆汽车发生意外事故的概率是很小的，设p＝0.0001. 如果某段时间内有1000辆汽车通过这个路口，问这段时间内，该路口至少发生1起意外事故的概率是多少？

随机变量及其分布习题

1、 判断下列函数是否为分布函数

p，

2、 在打电话中一次通话的时间布 函数为

（单位：分钟）是一个随机变量，经调查认为

的分

当你走进公用电话亭时，某人恰好在你前面开始打电话，你等待时间不超过3分钟的概率是多少？等待时间超过5分钟的概率是多少？

3、 袋中装有5张CD，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3张，求取出CD的最大号的分布律及其分布函数． 4、 某车间有８台

千瓦的车床，每台车床由于工艺上的原因，需要停车．设各车床停

车

是相互独立的，每台车床平均每小时停车１２分钟，求在某一指定的时刻车间恰有两台车床停车的概率．

5、 一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为8

次呼叫的概率；（２）每分钟呼叫次数大于１０的概率． 6、 掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为面

都出现时为止所需投掷次数，求

的分布律．

，若以

表示直至掷到正、反

的泊松分布，求：（1）每分钟恰有

７、一辆汽车沿一条街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与

其它信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求8、对同一目标进行射击，设每次射击的命中率为所需的射击次数，求

的分布律．

，以表示

，射击到击中目标为止，令表示

的分布律；并求至少进行2次射击才能击中目标的概率．

９、 试确定常数，使成为某个随机变量X的分布律，并求：

；．

10. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字．从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数． 11、在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律．

12、从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取．设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等．在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律． （1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品． 13、 设随机变量

，已知

，求

与

的值．

14、 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数． 15、 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数

的泊松分布，

问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？

16、 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率． 17、设随机变量

具有分布密度

（1）试确定常数

；（２）求

；（3）求

的分布函数．

18、设随机变量X的密度函数为

，

0， 其他， 试求：（1）常数

；（2）X的分布函数．

，求：（1）系数

（2）；

；

19、设随机变量X的密度函数为（3）X的分布函数．

20、证明：函数

（为正的常数）

为某个随机变量X的密度函数． 21、求出与密度函数

对应的分布函数

的表达式．

上服从均匀分布，求方程

有实根的概率．

22、设随机变量X在

23、 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为

;

0， 其他.

求：(1) X的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率． 24、设随机变量X的分布函数为

求X的密度函数，并计算

和

．

，求(1) 常数

；(2)

25、设随机变量X的分布函数为

；(3) 随机变量X的密度函数．

26、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从的指数分布，其密度

函数为 ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开．

（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；

（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率． 27、设X服从

，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）；（3）

28、设X服从

；（3）

；（4）

；（5）

.

；（2）

.

，求该厂；（2）

，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）

；（4）

；（5）

；（6）

29、某厂生产的滚珠直径服从正态分布滚珠的合格率．

，合格品的规格规定为

30、某人上班所需的时间（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天

7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率． 31、已知随机变量的分布列为

，

（1）求

＝2－的分布列； （2）求

＝3＋

2

分布列.

32、 设离散型随机变量X的分布律为 X -1 P 2/10 0 1/10 1 1/10 2 3/10 5/2 3/10

求（1）Y=X-1，（2）

33、设X~N(0,1),求 34、设随机变量

的概率密度

在区间

的概率密度；（2）求

的分布律

服从均匀分布.（1）求

的概率密度．

多维随机变量及其分布习题

一、选择题

1．X,Y相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是( )．

(A) (X,Y)

(B) XY

(C) X+Y

(D) X－Y

11,P{X?1}?P{Y?1}?,22则（ ）．

12 (D) P{X?Y}?1

2．设X,Y独立同分布,(A) X=Y

P{X??1}?P{Y?1}?(B) P{X?Y}?0 (C)

P{X?Y}?3．设F1(x)与F2(x)分别是随机变量X与Y的分布函数，为使aF1(x)?bF2(x)是

某个随机变量的分布函数,则a,b的值可取为( )． (A)a?32,b??55 2213,b?a??,b?33 (C) 22 13a?,b??22

(B)

a? (D)

?1Xi~?1???44．设随机变量的分布=( )．

0121?1?(i?1,2)且{X1X2?0}?1,?4?则P{X1?X2} (A) 0

1(B) 4

1(C) 2

(D) 1

5．下列叙述中错误的是( )． (A)联合分布决定边缘分布 (D)边缘分布之积即为联合分布 6．设随机变量(X,Y)的联合分布为: 则a,b应满足( )．

(A) a?b?1

13a?,b??22

a?X Y 1 1 1/6 2 1/9 3 1/18 (B)边缘分布不能决定联合分布

(C)两个随机变量各自的联合分布不同，但边缘分布可能相同

(B) a?b?1 (C) a?b?23 (D)

7．接上题，若X,Y相互独立，则（ ）．

21,b?99 (A) 21a??,b?33

(B)

a?1211,b?a?,b?99 (C) 33 (D)

8．同时掷两颗质体均匀的骰子，以X,Y分别表示第1颗和第2颗骰子出现的点数，则( )． (A) (C)

P{X?i,Y?j}?P{X?Y}?12

11,i,j?1,2,?6P{X?Y}?3636 (B)

1P{X?Y}?2 (D)

?6x2y,0?x?1,0?y?1f(x,y)??其他?0，9． 设(X,Y)的联合概率密度函数为，则错误的

是( )．

(A)P{X?0}?1 (B) P{X?0}?1

(C) X,Y不独立

(D)随机点(X,Y)落在D?{(x,y):0?x?1,0?y?1}的概率为1

10．接上题，设G为一平面区域，则下列结论中错误的是( )．

(A)(C)

P{(X,Y)?G}???f(x,y)dxdyG

(B)

P{(X,Y)?G}???6x2ydxdyG

x2P{(X,Y)?G}??10?06xydxdy(D)

P{(X?Y)}?x?y??f(x,y)dxdy

?h(x,y)?0,(x,y)?Df(x,y)??其他? 0,11．设(X,Y)的联合概率密度为，若

G?{x,y):y?2x}为一平面区域,则下列叙述错误的是( )．

(A)

P{X,Y)?G???f(x,y)dxdyG (B)

P{Y?2X?0}?1???f(x,y)dxdyG

P{Y?2X}? (C)

P{Y?2X?0}???h(x,y)dxdyG (D)

G?D??h(x,y)dxdy

12． 设(X,Y)服从平面区域G上的均匀分布,若D也是平面上某个区域,并以SG与

SD分别表示区域G和D的面积,则下列叙述中错误的是( )．

SDP{(x,y)?D}?SG (A)P{(X,Y)?D}?1?(C)

(D)

(B)P{(X,Y)?G}?0

SG?DSG

P{(X,Y)?D}?SDSG

13．设系统?是由两个相互独立的子系统?1与?2连接而成的;连接方式分别为：

（1）串联；（2）并联；（3）备用(当系统?1损坏时,系统?2开始工作，令X1,X2分别表示?1和?2的寿命，令X1,X2,X3分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是( )． (A) Y1?X1?X2 (C) Y3?X1?X2

(B) Y2?max{X1,X2}

(D) Y1?min{X1,X2}

14．设二维随机变量(X,Y)在矩形G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上服从均匀分

?0,X?Y?0,X?2YU??;V??.1,X?Y1,X?2Y??布．记则P{U?V}?( )．

(A) 0

1(B)4

1(C)2

3(D)4 22N(?,?,?,?,?),则以下错误的是( )． 121215．设(X,Y)服从二维正态分布

2X~N(?,?11) (A)

2X~N(?,?12) (B)

(C)若??0,则X,Y独立．

22S~N(?,?),T~N(?,?)则(S,T)不一定服从二维正态分1122(D)若随机变量

布

22X~N(?,?),Y~N(?,?1122)，且X,Y相互独立,则( )． 16．若

2X?Y~N(???,(???)) 1212(A)

(B)

2X?Y~N(?1??2,?12??2)

22X?2Y~N(??2?,??4?) 1212(C)

22X?Y~N(2?1??2,2?12??2)

(D)

22Z?X?Y,则Z17．设X,Y相互独立，且都服从标准正态分布N（0，1），令

服从的分布是（ ）．

(A)N（0，2）分布 (B)单位圆上的均匀分布

1 (C)参数为2的指数分布 (D)N (0,1) 分布

18．设随机变量

X1,X2,X3,X4独

D?立

X1X2X3X4同分布，

P{Xi?0}?0.6,P{Xi?1}?0.4(i?1,2,3,4)．记( )．

,则P{D?0}?(A) 0．134 4 (B) 0．731 2 (C) 0．865 6 (D) 0．383 0

19． 已知X~N(?3,1),Y~N(2,1)且X,Y相互独立,记Z?X?2Y?7,则Z~( )． (A) N(0,5) (B) N(0,12) (C) N(0,54) (D) N(?1,2)

???Csin(x?y),0?x,y?,~f(x,y)??4?其他?0,20．已知(X,Y)则C的值为( )．

12 (A) 2 (B) 2 (C)

2?1 (D)

2?1

?21?x?xy,0?x?1,0?y?2(X,Y)~f(x,y)??3?其他?0,21． 设,则P{X?Y?1}=( )．

657171(A) 72 (B) 72 (C) 72 (D) 72

?Ae?(2x?3y),x,y?0f(x,y)??其他?0,22．为使为二维随机向量(X,Y)的联合密度，则A必

为( )．

(A) 0 (B) 6 (C) 10 (D) 16

23．若两个随机变量X,Y相互独立，则它们的连续函数g(X)和h(Y)所确定的随

机变量( )．

(A)不一定相互独立 (B)一定不独立

(C)也是相互独立 (D)绝大多数情况下相独立 24．在长为a的线段上随机地选取两点，则被分成的三条短线能够组成三角形的

概率为( )．

1111 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 25．设X服从0—1分布,p?0.6,Y服从??2的泊松分布，且X,Y独立，则X?Y( )．

(A)服从泊松分布 (B)仍是离散型随机变量 (C)为二维随机向量度 (D)取值为0的概率为0

26．设相互独立的随机变量X,Y均服从[0,1]上的均匀分布,令Z?X?Y,则( )． (A) Z也服从[0,1]上的均匀分布 (B)P{X?Y}?0 (C) Z服从[0,2]上的均匀分布 (D)Z~N(0,1)

27．设X,Y独立,且X服从[0,2]上的均匀分布,Y服从??2的指数分布,则

P{X?Y}?( )．

11?41?431(1?e?4)e??e4 (D)2 (A) 4 (B) 4 (C) 4?32?xy,0?x?2,0?y?1(X,Y)~f(x,y)??2?其他?0,28． 设,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)

为顶点的三角形内取值的概率为( )．

(A) 0．4 (B) 0．5 (C) 0．6

(D) 0．8

29．随机变量X,Y独立，且分别服从参数为?1和?2的指数分布，则

P{X??1,Y??2}?( )．

?1?2?1 (A) e (B) e (C) 1?e (D)

?1?11?e?2

?[(x?5)(X,Y)~f(x,y)?Ae30．设

2?8(x?5)(y?3)?25(y?3)2]，则A为( )．

?3 (A) 3 (B) ? (C)

2? (D)

?2

31．设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点，他的秘书到达办公室的

时间均匀分布在7点到9点．设二人到达的时间相互独立，则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( )．

1111 (A) 48 (B) 2 (C) 12 (D) 24

232． 设X1,X2,?,Xn相独立且同服从N(?,?),则( )．

(A)

X1?X2???Xn (B)

1?2(X1?X2???Xn)~N(?,)nn 2222X?3~N(2??3,4??3)X?X~N(0,???) 11212 (C) (D) ?g(x,y)?0,(X,Y)~f(x,y)??? 0,33． 设

(x ,y)?G其他,D为一平面区域,记G,D的

面积为SG,SD,,则P{(x,y)?D}=( )．

SD?GSD (A) SG (B) SG (C)

??f(x,y)dxdyD (D)

??g(x,y)dxdyD

二、计算题

1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品．从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量X，Y如下：

?1,第1次抽到正品;?1,第2次抽到正品;X??Y???0,第1次抽到次品。?0,第2次抽到次品。

试就下面两种情况求(X,Y)的联合概率分布和边缘概率分布．

（1） 第1次抽取后放回； （2） 第1次抽取后不放回．

2． 已知10件产品中有5件一级品，2件废品．现从这批产品中任意抽取3件，记其中的一级品数与废品数分别为X，Y，求(X,Y)的联合概率分布和边缘概率分布．

3． 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为

?Ae?(x?2y),x?0,y?0;f(x,y)??其?0,

试求：（1）常数A；

（2）(X,Y)关于X，Y的边缘概率密度； （3）P(0?X?2,0?Y?3)； （4）P(X?2Y?1)； （5）P(X?Y)．

4．设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为

?21?x?xy,0?x?1,0?y?2;f(x,y)??3?0,其他?

试求：（1）(X,Y)关于X，Y的边缘概率密度；

11??P?X?|Y??22?． （2）? 5．设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为

?e?y,x?0,y?xf(x,y)??其他 ?0,试求：（1）(X,Y)关于X，Y的边缘概率密度； （2）P?X?2,Y?4?．

6．某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午12点至下午1点在办公室会面，并约定先到者等20分钟后即可离去，试求二人能会面的概率．

7．设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为

?4xy,0?x?1,0?y?1f(x,y)??其他?0,

求(X,Y)的联合分布函数．

8． 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为

?Ae?y,?1,0?x?1fY(y)??fX(x)??其?0,?0,

y?0y?0

求：（1）常数A；

（2）随机变量Z?2X?Y的概率密度函数．

9． 设(X,Y)的联合分布函数为

yF(x,y)?A(B?arctanx)(C?arctan)34

求： （1）常数A,B,C；

（2）(X,Y)的联合概率密度；

（3）(X,Y)的边缘分布函数和边缘概率密度；

（4）P(X?3)，P(Y?4)，P(X?3,Y?4)； （5）判断X与Y的独立性．

10． 设某仪器由两个部件构成，用X,Y分布表示两个部件的寿命（单位：小时），已知(X,Y)的联合分布函数为

?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0F(x,y)??0,其?

试求：（1）求(X,Y)的两个边缘分布函数；

（2）求(X,Y)联合概率密度与边缘概率密度； （3）X与Y是否独立；

（4）两个部件寿命都超过100小时的概率．

11． 设X与Y相互独立，且X服从??3的指数分布，Y服从??4的指数分布，试求：

（1）(X,Y)联合概率密度与边缘概率密度； （2）P(X?1,Y?1)；

（3）(X,Y)在D??(x,y)x?0,y?0,3x?4y?3?取值的概率．

12． 对随机变量X，Y有

P(X?0,Y?0)?3P(X?0)?P(Y?0)?47， 7

求P{max(X,Y)?0}，P{min(X,Y)?0}．

13． (X,Y)的联合概率密度为

?3x,0?x?1,0?y?xf(x,y)??其他?0,

求Z?X?Y概率密度函数．

14．设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布．Y

?1y?e2,y?0fY(y)??2?0,y?0.?的概率密度为

（1）求X和Y的联合密度．（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率．

15．设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

?t??te,f(t)????0t?0t?0

并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率

密度．

16．设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布．随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率．

17． 设随机变量（X，Y）的分布律为

X Y 0 1 2 3 0 0 0．01 0．01 0．01 1 0．01 0．02 0．03 0．02 2 0．03 0．04 0．05 0．04 3 0．05 0．05 0．05 0．06 4 0．07 0．06 0．05 0．06 5 0．09 0．08 0．06 0．05 2（1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0} （2）求V=max (X, Y )的分布律 （3）求U = min (X, Y )的分布律 18．设随机变量（X，Y）的概率密度为

?(x?y)?,?bef(x,y)???,?00?x?1,0?y???其它

（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y) （3）求函数U=max (X, Y)的分布函数．

19．设X与Y相互独立，且X服从均匀分布U[?a,a]，Y服从正态分布

N(b,?2)．求Z?X?Y的概率密度．

随机变量的数字特征

1、设离散型随机变量X的分布列为：

XP?2020.40.30.3

试求E(X)和E(3X?5)。

2、某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数X的分布列为：

XP0123450.100.330.310.130.090.04

试求顾客在商店中平均购买服装的件数。

3、某地区一个月内发生重大交通事故数X服从如下分布列：

XP0123450.3010.3620.2160.0870.0260.00660.002试求该地区发生重大交通事故的月平均数

4、一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中5桶被海水污染了，若从中随机抽取8桶，记X为桶中被污染的桶数，试求X的分布列，并求E(X)。

5、用天平称某种物体的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组砝码：（甲）1，2，2，5，10（g）；（乙）1，2，3，4，10（g）；（丙）1，1，2，5，10（g），称重时只能使用一组砝码。问当物体的质量为1 g，2 g，?，9 g，10 g的概率是相同的，用哪一组砝码称重所使用的平均砝码数最少？

6、假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格。装配仪器时，从这批元件中任取一只，如果是不合格品，则扔掉重新任取一只，如仍是不合格品，则再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望和方差。

7、对一批产品进行检查，如查到第a件全部合格，就认为这批产品合格；若在前 a件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格。设产品的数量很大，可以认为每次查到不合格品的概率都是p。问每批产品平均要检查多少件？

8、某厂推土机发生故障后的维修时间T是一个随机变量（单位：h）,其概率密度函数为：

?0.02e?0.02tt?0p(t)??0t?0 ?试求平均维修时间

9、某新产品在未来市场上的占有率X是仅在区间(0,1)上取值的随机变量，它的概率密度函数为

试求平均市场占有率。

10、设随机变量X的密度函数为：

?e?xp(x)???0试求E(2X?5)

?4(1?x)30?x?1p(x)??其他 ?0x?0x?0

11、设随机变量X的分布函数如下，试求E(X)，D(X)

?xe?x?0?2??1F(x)??0?x?1?2x?1??2?1?ex?1??2

12、某工程队完成某项工程的时间X（单位：月）是一个随机变量，它的分布列为：

XP101112130.40.30.20.1（1） 试求该工程队完成此项工程的平均月数；

（2） 设该工程队所获利润为Y?50(13?X)，单位为万元，试求工程队的平均

利润;

（3） 若该工程对调整安排，完成该项工程的时间X1（单位：月）的分布列为：

X101112P0.50.40.1则其平均利润可增加多少？

13、设随机变量X的密度函数为：

x?1cos?p(x)??22??0

0?x??其他

?2

对X独立重复观察4次，Y表示观察值大于3的次数，试求Y的数学期望。

14、设随机变量X的密度函数为：

?32?x0?x?2p(x)??8?其他?0

12试求X的数学期望。

15、设X为仅取非负整数的离散型随机变量，若其数学期望存在，证明：

16、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，若其数学期望存在，证明：

k?1E(X)??P(X?k)??0??

17、设随机变量X满足E(X)?D(X)??，已知E[(X?1)(X?2)]?1试求?。

218、已知E(X)??2,E(X)?5,试求D(1?3X)

0??E(X)??[1?F(x)]dx??F(x)dx19、设随机变量X的概率密度函数如下，试求D(3X?2)

?1?x?1?x?0?p(x)??1?x0?x?1?0其他?

20、设连续型随机变量X仅在区间[a,b]上取值，试证

b?a2a?E(X)?b,D(X)?()2

21、掷一颗均匀的骰子2次，其最小点数记为X，求E(X) 22、设随机变量(X,Y)的联合分布律为：

YX012?00.100.250.1510.150.200.15 Z?sin[(X?Y)]2试求的数学期望。

23、随机变量(X,Y)服从以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上的均匀分

布，

试求E(X?Y)、Cov(X,Y)和D(X?Y)。

24、设X,Y独立同分布，都服从标准正态分布，求E[max(X,Y)]。

25、设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且都服从(0,?)上的均匀分布，记

Y?max{X1,X2,?,Xn}，Z?min{X1,X2,?,Xn}

试求E(Y),E(Z)。

26、设随机变量U服从(?2,2)上的均匀分布，定义X和Y如下

??1U??1??1U?1X??Y??1U??1??1U?1

试求D(X?Y)

27、设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为：

XY?10122

00.070.180.1510.080.320.20 试求X和Y的协方差。

2X,YN(?,?)，试证： 28、设随机变量独立同分布，都服从正态分布

29、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

?1y?x,0?x?1p(x,y)??其他?0

试求E(X),E(Y),Cov(X,Y)，并判断X,Y是否相互独立？是否不相关？

30、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

?3x0?y?x?1p(x,y)??其他?0

?2E[max(X,Y)]???? 试求X与Y的相关系数。

31、已知随机变量X与Y的相关系数为?， 且X1?aX?bY1?cY?d， 求X1与Y1的相关系数。其中a,b,c,d均为非零常数。

2X,XN(?,?)，且1232、设随机变量独立同分布，都服从正态分布

Y?aX1?bX2Z?aX1?bX2，求Y与Z的相关系数。其中a,b均为非零常数。

33、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

?62xy?(x?)0?x?1,0?y?2p(x,y)??72?0其他?试求X与Y的协方差及相关系数。

34、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

?1x2?y2?1?p(x,y)???22??0x?y?1

试判断X与Y是否相关？是否相互独立？

35、某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X（单位：吨）服从(300,500)上的均匀分布，每售出1吨该原料，公式可获利1.5（千

元）；若积压1吨，则公司损失0.5（千元）。问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？

36、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

?1?(x?y)0?x?1,0?y?2p(x,y)??3?其他?0

试求D(2X?3Y?8)。

37、盒中有k号的球k只，k?1,2,?,n从中任取一球，求所得球的号码的数学期望。

38、设随机变量X的概率密度函数如下，试求E(X),D(X)

0?x?1?x?p(x)??2?x1?x?2?0其他?39、有n把钥匙，其中有一把能打开门上的锁，设抽取钥匙是等可能性的，若把每把钥匙试开一次后除去，求试开次数X的数学期望。

40、已知随机变量X的概率密度函数为：

0?x?2?ax?p(x)??cx?b2?x?4?0其他?

3E(X)?2,P(1?X?3)?4，求 且

（1）a,b,c的值

X（2）令Y?e，求E(Y)

41、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

（1）问X,Y是否相互独立； （2）E(XY)。

?2?x?y0?x?1,0?y?2p(x,y)??其他?0

42、设随机变量服从参数为X?的指数分布，计算P(X?D(X))

?1X?0?Y??0X?0??1X?0[?1,2]?X43、设随机变量服从区间上的均匀分布，随机变量

计算D(Y)

44、设随机变量X与Y的相关系数为0.5，E(X)?E(Y)?0,E(X2)?E(Y2)?2，

2E((X?Y)) 计算

45、将一枚硬币重复掷n次，以X与Y分别表示正面向上与反面向上的次数，

计算X与Y的相关系数

111P(A)?,P(BA)?,P(AB)?432，令 46、设A,B为两个随机事件，且发生 1B发生 ? Y??不发生 不发生 0B?

求（1）二维随机变量(X,Y)的联合分布律；（2）X与Y的相关系数?XY

?1AX???0A1f(x)?2?(1?x)， X47、设随机变量具有密度函数

求E[g(X)]，其中。

48、设随机变量X的密度函数为

?x2/2?? Axe, x?0f(x)???? 0, x?0

?0 x?0?g(x)??x 0?x?1?1 x?1?求A及D(X)。

49、设圆的直径X在[1,3]上服从均匀分布，求圆面积的数学期望和方差。 50、设随机变量(X,Y)具有概率密度：

求Cov(X,Y),?XY?1?(x?y) 0?x?2,0?y?2f(x,y)??8??0 其它

，

D(X?Y)。

大数定律与中心极限定理习题

1. 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100g,标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过10.20kg的概率？ 2.计算机在进行数学计算时,遵从四舍五入原则.为简单计,现在对小数点后面第一位进行舍入运算,则可以认为误差X服从[?0.5,0.5]上的均匀分布,若在一项计算

[?33,]2020上的概率？

中进行了100次数字计算,求平均误差落在区间

3.某公司有200名员工参加一种资格证书考试,按往年经验,该考试通过率为0.8,试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率？

4.某市保险公司开办一年人身保险业务,被保险人每年需交付保险费160元,若一年内发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔金.已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005,现有5000人参加此项保险,问保险公司一年内从此项业务中所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率是多少?

5.在每次试验中,事件A发生的概率为0.5,利用切比雪夫不等式估计,在1000次独立重复试验中, 事件A发生的次数在400~600之间的概率？

6.一个供电网共有10000盏功率相同的灯,夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7,假设各盏灯开,关彼此独立. 求夜晚同时开着的灯数在6800到7200之间的概率？

1,7.设在某中重复独立试验中,每次试验事件A发生的概率为4问能以0.9997的概1率保证在1000次试验中A发生的频率与4相差多少?此时A发生的次数在哪个

范围之内?

8.已知生男孩的概率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？ 9.某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6，假定在这一段时间，各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）？

10.假设某交换台有n台分机，k条外线，每台分机呼叫外线的概率为p. （1） 设n=200，p=0.12，k=30，求各分机要外线时都能接通的概率？

（2） 设n=200，p=0.12，问为使各分机要外线时都能接通的概率不小于0.95，至少需要设多少条外线？

（3）设p=0.12，k=30，问最多可以安装多少台分机？

11.从某厂生产的一批同型号的电子元件中，抽样395件，次品率p未知，要通过次品的相对频率来估计，估计的可靠性大于95%，（1）求绝对误差?；（2）如果样品中有十分之一是次品，应对p作怎样的估计？

12.设某保险公司的老年人寿保险一年有1万人参加，每人每年交40元，若老人死亡，公司付给家属2000元。设老人死亡率为0.017，试求保险公司在这次保险中亏本的概率？

13.某工厂生产的灯泡，合格品率为96%，某天生产了1000个灯泡，问以怎样的范围估计这1000个灯泡中有多少个合格品？估计的可靠度大于95%？ 14.

随

机

变

量

X1,X2,?,X100相互独立同分布，

E(Xi)?1,D(Xi)?16,i?1,2,?,100,

1100X?Xi.?P{X?1?1},100i?1求其中

15.设某种电子器件的使用寿命服从参数??0.1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等，已知每个器件为a元，那么在年计划中一年至少需要多少元才能有95%的概率保证够用（假定一年有

306个工作日，每个工作日为8小时）。

16.独立地测量一个物理量，每次测量产生的随机误差都服从(?1,1)上的均匀分布。（1）如果取n次测量的算术平均值作为测量结果，求它与真值的差小于一个小的正数?的概率；（2）计算当

n?36,??16时概率的近似值；（3）要使上述概率

大于0.95，应进行多少次测量？

17.某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02，假设各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障的台数不少于2的概率？ 18.设?1,?2,?,?100为独立同分布的随机变量，若E(?i)?1,D(?i)?2.4,

(i?1,2,?,100)，则

P{??i?90}?i?1100 .

119掷.均匀硬币4000次，求正面出现频率在2，方差不超过0.01的概率？

20.某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限定理计算：

（1）同时用电户数在9030户以上的概率？

（2）若每户用电200w，问电站至少应具有多大的发电量，才能以95%的概率保证供电？

样本及抽样分布习题

一 选择题

22X,X,?,XN(?,?)(?,?12n1. 设是来自正态总体均未知）的样本，则（ ）是统计量．

X122 A.X1 B. ? C.X?? D. ?X1

2. 设样本X1,X2,?,X9来自总体X~N(1,9),则（ ）

X?1~N(0,1)9A. B. X?1~N(0,1) X?1X?1~N(0,1)~N(0,1)C. 3 D. 3

23、设X1,X2,?,Xn是来自总体X~N(?,?)的样本，则 ( )

2X~N(?,?) C.A. B.??2?2X~N(,2)X~N(?,2)n nn D.

?2X~N(?,n)4、设样本X1,X2,?,Xn来自总体X~N(0,1)的样本，则（ ）

A. X~N(0,1) B. nX~N(0,1)

X~t(n?1)iC. i?1 D. S

2X,X,?,XX~N(0,1)?125. 设是来自总体的样本，则服从(n?1)的是（ ）

?Xnn2~?2(n)2A. B.S C. (n?1)X D. (n?1)S n(X??)Y?2X,X,?,XX~N?,?12S6. 设是来自总体的一个样本，则服从（ ）分布.

22 A. N(0,1) B. ?(n?1) C. t(n?1) D. ?(n)

?Xi?12i22??7. 设X1,X2,?,Xn为来自总体X~N(0,1)的简单随机样本，则（ ）

22nX~N(0,1)nS~?(n) A. B. (n?1)X12(n?1)X~t(n)SC. D. ?Xi?2n~F(1,n?1)2i 2X~N(?,?11)的容量为m的样本的样本均值，Y是来自总8．设X是来自总体2体Y~N(?2,?2)的容量为n的样本的样本均值，两个总体相互独立，则下列结

论正确的是（ ）．

22?1?2?1?22X?Y~N(?1??2,?)X?Y~N(?1??2,?2)mn B. mn A.

22?1?2?1?22X?Y~N(?1??2,?)X?Y~N(?1??2,?2)mn D. mn． C.

X??P{??0.025}?2X~N(?,?),X,X,?,X?/n12n来自总体X的样本,则9.设总体是

（ ）．

A．0.95 B.0.025 C.0.975 （D）0.05．

1n????i2?,????~N?,?ni?1，n是来自正态总体10.设12的一个样本，1n2Sn??(?i??)2ni?1，则下列结论中，错误的是（ ）

???2D??E???n A. B. ???(n?1)S22~N(0,1)~x(n)2?n?C. D.

二 填空题

1.对于容量为5的样本观察值15,25,30,40,50，其样本均值为 ;样本方差为 .

2.若总体X~N(0,1)，X1,X2,?,X6是来自X的样本，统计量

2Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，?cYc?则当 时，服从分布，自由度为 . 22X~N(?,?),Y~?(1)，且X与Y相互独立,X是来自总体X的容量为n3.设X??的样本均值，Y是来自总体Y的容量为n的样本均值，则?Y/n2X~N(?,?),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，则4．设总体

~ .

E(X)? ，D(X)? .

2X~?(n),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本,E(X)? . 5．设总体

2X~N(1,2),X1,X2,?,Xn为样本，则样本均值X服从的分布为6.总体

1n(Xi?1)2? ， 4i?1服从的分布为 .

2X12???X10Y?222X~N(0,2),X,X,?,X2(X???X)服12n11157.总体为样本，则随机变量从的分布为 。

8.设X1,X2,?,X5是总体X~N(0,1)的样本，则当k? 时.

9.已知样本X1,X2,?,X16取自正态分布总体X~N(0,1),X为样本均值, 已知P{X??}?0.01,则?? .

10. 设X,Y相互独立，且都服从分布N?0,9?，X1,X2,?,X9和Y1,Y2,?,Y9分

X1?X2???X9别为两总体的两样本,则

Y12?Y22???Y92服从 分布。

三 解答题

21.在总体X~N(52,6.3)中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。

2.在总体X~N(12,4)中随机抽一容量为5的样本X1,X2,?,X5

（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。 （2）求概率P{max(X1,X2,?,X5)?15}.

（3）求概率P{min(X1,X2,?,X5)?10}.

23.设X1,X2,?,Xn是来自泊松分布P(?)的一个样本，X，S分别为样本均值

2EX ,D(X) , ES和样本方差，求.

4.设总体X~B(1,p)，X1,X2,?,Xn是来自X的样本。

（1）求(X1,X2,?,Xn)的分布律；

????（2）求的分布律；

2X~N(?,?),X1,?,X10是来自X的样本。 5.设总体

（1）写出X1,?,X10的联合概率密度（2）写出X的概率密度。

i?1?Xni参数点估计与区间估计习题

一、判断题

1．设X~N(?,1)，X1,X2,X3来自于总体的样本，

的无偏估计。（ ）

2???111X1?X2?X3444是?22. 样本均值的平方X不是总体期望平方?的无偏估计.（ ）

3．在给定的置信度1??下，被估参数的置信区间不一定惟一. （ ）

4. 区间估计的置信度1??的提高会降低区间估计的精确度. （ ） 二、选择题

2(X,X,?,X)N(?,?)(?已知)的一个样本，X为样本均值，则12n1.设为总体在总体方差?的下列估计量中，为无偏估计量的是（ ）。

1n1n222?1??(Xi?X)?2?(Xi?X)2?ni?1n?1i?1A ； B ；

1n1n22???(Xi??)?4?(Xi??)2?ni?1n?1i?1C ； D .

1nX??Xi2X,X,?,Xni?1n相互独立且同分布，2.设随机变量12，S?1n(Xi?X)2?2D(X)??n?1i?1i，则S（ ）。

232 A 是?的无偏估计 C 是?的一致估计

B是?的最大似然估计 D与X相互独立

22?,?N(?,?)3. 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知，现从中随机

抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置

信度为0.90的置信区间是（ ）。

1111(20?t0.05(16),20?t0.05(16))(20?t0.1(16),20?t0.1(16))4444A B 1111(20?t0.05(15),20?t0.05(15))(20?t0.1(15),20?t0.1(15))C 4444 D

22

4.若总体X~N(?,?)，其中?已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1??变小，则?的置信区间（ ）。

A.长度变大 B.长度变小 C. 长度不变 D.长度不一定不变

三、填空题

????1．设1与2是未知参数?的两个 估计，且对任意的?满足????D(?1)?D(?2)，则称?1比?2有效。

2X~N(?,?)（单位：小时）2.设某种清漆干燥时间，取n?9的样本，得样本2均值和方差分别为X?6,S?0.33，则?的置信度为95%的单侧置信区间上限为： .

23. 设某种保险丝熔化时间X~N(?,?)（单位：秒），取n?16的样本，得样

2X?15,S?0.36，本均值和方差分别为则?的置信度为95%的单侧置信区间

上限为 .

4. 设X的分布律为

X 1 2 3

P ? 2?(1??) (1??)

22已知一个样本值(x1,x2,x3)?(1,2,1)，则参数的极大似然估计值为 .

22X~N(?,?)?,?5. 设总体，为未知参数，则?的置信度为1－?的置信区间为 .

6.设总体X的方差为1，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得均值为5，则X的期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .

2X~N(?,0.9)，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值7.由来自正态总体

X?5，则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为 .

2X~N(?,?)，?2已知，要使?的置信度为1??(0???1)且置信区8.设总体

间的长度不大于l，则样本容量n? 。

9. 若X是离散型随机变量，分布律是P{X?x}?P(x;?)，（?是待估计参数），则似然函数 ，X是连续型随机变量，概率密度是f(x;?)，则似然函数是 。

10.设总体X~N??,1?，X1,X2,...,Xn是总体X的一个样本，则当c1,c2,?,cn满足_____________时，i?1是?的一个无偏估计量。

11.设总体X~N??,1?，X1,X2是总体X的一个样本，在下列三个无偏估计量：

? 1??211311? 2?X1?X2,?? 3?X1?X2X1?X2,?334422中最有效的无偏估计

?ciXin量是_______________。

2?2?X~N?,??1n?12．设总体,,?，是的样本，则当已知时，求?的置信区间所使用的估计量为?= ；?服从 分布；

2

当?未知时，求?的置信区间所使用的估计量?= ，

???服从 分布．

2?2

X~N?,?13．设总体,1,?，?n是来自?的一个样本，求?的置信区间

所使用的估计量为?= ；?服从 分布． 2X~N?,?14.总体，X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，当?为已知时,?的置信度为1???0???1?的双侧置信区间为____________________，单侧置信下限为_____________。而当?为未知时，?的置信度为

????1???0???1?的双侧置信区间为_________________________，单侧置信上限为__________________.

四、计算题

1.设总体X的概率密度为

?(??1)x?0?x?1f(x)??其他?0

其中未知参数???1，X1,X2,?Xn是取自总体的简单随机样本，用矩法估计和极大似然估计法求?的估计量。 2．设总体X的概率分布列为：

X 0 1 2 3 P p2 2 p(1-p) p2 1-2p

其中p(0?p?1/2) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3

求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 . 3.

已

知

随

机

变

量

X的密度函数为

?(??1)(x?5)?f(x)???05?x?6其他(??0)，

其中?均为未知参数，求?的矩估计量与极大似然估计量.

1??xX~f(x)?e2?4． 设总体

??0,x?(??,??)（? 未知）且(X1,X2,?,Xn)为

来自X的一个样本，求：?的 (1 ) 矩估计量 ； (2 ) 极大似然估计量.

2X~N(?,?)，(X1,X2,?,Xn)为总体X的一个样本. 求常数 k 5．设总体,

使

k?Xi?Xi?1n为? 的无偏估计量.

6.假设0.50,1.25,0.80,2.00是总体X的简单随机样本值，已知Y?lnX服从正态分布N(?,1)。

（1）求X的数学期望EX（记EX为b）； （2）求?的置信度为0.95的置信区间；

（3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。

?6x?(??x)0?x??f(x)???3?其他?07.设总体X的概率密度为： ，设X1,X2,?Xn是取

自总体的简单随机样本。 （1）求的?估计量；

??（2）?的方差D(?)。

8.设某种元件的使用寿命X的概率密度为

?2e?2(x??),x??f(x;?)??x?? ?0,

xx,?,xn其中??0为未知参数。由设1,2是X的一组样本观测值，求参数?的最大似然估计值。

9.设总体X的概率密度为

???axa?1e??xx?0f(x)??,(??0,a?0)?0x?0?

据来自总体X的简单随机样本(X1,X2,?,Xn)，求未知参数?的最大似然估计量。

22X~N(?,?)?,?10.设总体,是未知参数, X1,X2,?,Xn是来自X的一个样本,

x1,x2,?,xn是观察值,试求?,?2的极大似然估计量.

a?1?x?f(x)??e?,x?0??0,x?0? 11.设总体X的概率密度函数为 X1,X2是样本，(1)求参

??数?的极大似然估计?，(2)?是否为无偏估计。

12、设总体X的概率密度函数为

?e?(x??),x??f(x)??其他?0,

?为未知参数，X1,X2,?,Xn是来自X的样本。 ??（1）求?的矩估计量?1，并验证?1是?的无偏估计量。 ??（2）求?的极大似然估计?2，并验证?2不是?的无偏估计量。 13.设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本, X的概率密度为

?1? x????, x??f?x???e?? 0, x??, 其中??0,?为未知参数, 求?,?的矩估计量。?

2214.A，B两机器生产的铜管内径分别服从N(?1,?1)及N(?2,?2).随机地从A，B生产的铜管中分别取出18根和13根 ，测得其样本方差分别为：

2222s1?0.34(mm2),s2?0.29(mm2)，且两样本相互独立，试求方差比?1/?2的置信度为0.9的置信区间。

15.某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从N(?,?)，现从某天的产品中随机

2抽取 6 件, 测得直径为15.1, 14.8, 15.2, 14.9, 14.6, 15.1 (1) 若??0.06，求?的置信区间；

2(2) 若

?2未知,求?的置信区间；

(3) 求标准差

?的置信区间.

（注：置信度均为0.95）

16．设X1,...,Xn是来自泊松分布P(?)的样本，试求?的无偏估计量．

222X,...,XY,...,YN(?,?)N(?,?)的样本，其中1n1m1217．设;是分别来自总体和

??1?0,?2?0?c、d已知. 求常数，使?cX?dY为?的无偏估计量，并使其

方差最小.

18．使用同一台仪器对某个零件的长度作了12次独立的测量，结果如下(单位:mm):

232.50, 232.48, 232.15, 232.53, 232.45, 232.30, 232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30

试用矩估计法估计测量值的真值与方差(设仪器没有系统误差).

19．设X~B?N,p?,0?p?1,N为正整数，X1,?Xn为其子样，求N及p的矩估计量.

k?1P{X?k}?(1?p)p,k?1,2,? X 20．设总体服从几何分布，它的分布律为

X1,?,Xn是来自总体X的一个样本，求p的矩估计量与极大似然估计量. 21．设X1,?,Xn是来自总体X~U(a,b)的一个样本，求未知参数a、b的矩估

计量与极大似然估计量.

22.设X服从指数分布，其概率密度为

??e??x,x?0f(x;?)???0,x?0

，是来自总体的一个样本，求未知参数的矩估计量与极大似X,?,X(??0)?nX然估计量. 123.某批钢球的重量X~N(?,4),从中抽取了一个容量为n?16的样本且测得

x?22.5,s?3.98（单位:g），试在置信度1???0.95下，求出?的置信区间. 24.从某种炮弹中随机地取9发作试验,测得炮口速度的样本标准差s?11(米/秒).

N(?,?2)X设炮口速度服从,求这种炮弹的炮口速度的标准差和方差的置信区间(取??0.05).

25.设有一组来自正态总体

N(?,?2)的样本观测值：

0.497、0.506、0.518、0.524、0.488、0.510、0.510、0.515、0.512

2（1） 已知??0.01，求?的置信区间；（2）?未知，求?的置信区间(置信度取0.95)；

（3） 求?的置信区间(置信度取0.95).

26. 设某批电子管的使用寿命服从正态分布, 从中抽出容量为10的样本, 测得使用寿命的标准差s?45(小时).求这批电子管使用寿命的均方差的置信水平为95%的单侧置信下限.

227.从正态总体N(3.4,?)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多少？

228. 假定每次试验时，事件A出现的概率p相同(但未知). 如果在60次独立试验中，事件A出现了15次，试求p的置信水平为95%的置信区间.

29. 设总体X~N(?1,64)与Y~N(?2,36)相互独立,从X中抽取n1?75的样本,得x=82；从Y中抽取n2?50的样本,得y?76. 试求?1??2的置信水平为95%的置信区间.

22Y~N(?,?)相互独立，从X中抽取n1?25的样本，X~N(?,?)221130.设总体与

?12222?n?16s?63.96s?49.05Y2212得；从中抽取的样本，得，试求两总体方差比的

置信水平为90%的置信区间.

五、证明题

1．设总体X服从参数为?的泊松分布，X1,X2,?,Xn是样本，X,S分别是样

2c(0?c?1)cX?(1?c)S本均值和样本方差。证明：对于任意常数，是?的无偏

估计量。

2?)?0?2?D(????2.设是参数为的无偏估计量，且，证明：不是?的无偏估计量.

nnX1,X2,...,Xn是来总体X的样本，记 3．设?W??aiXiai?0,?ai?1?i?1i?1?证明:W总是总体均值EX的无偏估计量，且D(W)?D(X).

22N(?,?)X,X,...,Xn为来自正态总体4．设12的样本，其中??0已知，试证明

1nX??Xini?1是未知参数?的一个无偏和一致估计量.

假 设 检 验 习 题

一、填空

2X?N(?,?)，X1,X2，?，Xn是来自总体的样本，则检验假设H0：1、设总体

???0，当?2为已知时的统计量是 ；H0为真时服从

2

分布；当?未知时的统计量是 ；H0为真时服从

分布。

2、当H0为真时拒绝H0，这一类错误称为___________ _，用?表示犯这一类错误的概率，?又称为_________ 水平。当H0为假时接受H0，这一类错误称为_____________，用?表示犯这一类错误的概率，当n一定时，?，?间关系是_______________ 。

2X?N(?,?)，?，?2均未知，X1,X2，?，Xn是来自X的样本，假设3、设

222H:???H0:?2??010， 所使用的统计量是 ．若给定显

著性水平?，则拒绝域为 。 二、选择

22X,X,?,X?X~N(?,?)S12n1、设总体，为未知参数，样本的方差为，对

假设检验H0:??2,H1:??2，水平为?的拒绝域是 .

2222???(n?1)???)； 1??/21??(n?1（A）； （B）

2222???(n)???1??/21??(n). （C）； （D）

2、在假设检验中,作出拒绝假设H0的决策时,则可能（ ）错误. A. 犯第一类 B. 犯第二类 C.犯第一类,也可能犯第二类 D. 不犯

3、对正态总体的数学期望?进行假设检验，如果在显著性水平0.05下接受

H0:???0，那么在显著性水平0.01下，下列结论中正确的是（ ） （A）必接受H0 （B）可能接受，也可能拒绝H0 （C）必拒绝H0 （D）不接受，也不拒绝H0

H1为备择假设的假设检验中，4、在H0为原假设，若显著性水平为?，则（ ） （A）（C）

P接受H0H0成立??P接受H1H0成立???? （B）

P接受H1H1成立????

?? （D）

P接受H0H1成立????22N?,?SX5、设和是来自正态总体的样本均值和样本方差，样本容量为n，

??X??0Sn?t0.05?n?1?为（ ）

（A）H0:???0的拒绝域 （B）H0:???0的接受域 （C）?的一个置信区间 （D）?的一个置信区间

222X~N?,?6、设总体，其中参数?，?未知，?X1,X2,?,Xn?是取自总体X22H:?????0???1?00的简单随机样本，对于给定的显著性水平，检验假设，2H1:?2??0时，选取的检验统计量服从（ ）

??22???n?1?（A） （B）?n? （C）N?0,1? （D）F?n?1,n?

x1,x2,?,xn为来自总体X样本观测值，记x为样

22H:??2;H1:??2本均值，s为样本方差，对假设检验0应取检验统计量?为

7、设总体

X~N(?,?2),?未知，

(n?1)s2(n?1)s2(n?1)s2(n?1)s2 （A）8 （B）6 （C）4 （D）2 8、在假设检验中，H0表示原假设，H1表示备择假设，则犯第一类错误的情况为

HHHH（A）1真，接受1 （B）1不真，接受1

HHHH（C）1真，拒绝1 （D）1不真，拒绝1

22x,x,?,xn为来自总体X样本观测值，记x为X~N(?,?),?9、设总体未知，12H:???0;H1:???0样本均值，s为样本标准差，对假设检验0，取检验统

t?计量

x??sn，则在显著性水平?下拒绝域为

（B）

（A） (C)

{|t|?t?/2(n?1)}{|t|?t?/2(n?1)}

{t?t?/2(n?1)} （D）

{t??t?(n?1)}

22X,X,?,XnX~N(?,?)?10、设总体，已知，12为来自总体X的样本，

H:???0;H1:???1??0检验假设0，则当检验水平为?时犯第二类错误的概

率为

??0??1???0??1????z???z??/n?/2????/n???00?? ??（A） (B)

??1??0??0??1????z1????z??/n???/n????0? (D) ?0 (C)

三、计算

????

1、 化肥厂用自动打包机包装化肥．某日测得9包化肥的质量（kg）如下：

49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4

已知每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50 kg?（?＝0.05）

2N(54,0.75)．在某2、已知在正常生产情况下某种汽车零件的质量服从正态分布

日生产的零件中抽取10件，测得质量（g）如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3．

如果标准差不变，该日生产的零件质量的均值是否有显著差异？（?＝0.05） 3、打包机装糖入包，每包标准重为100斤，每天开工后，要检验所装糖包的总体期望值是否合乎标准(100斤). 某日开工后，测得九包糖重如下(单位：斤)：

99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5

如果打包机装糖的包重服从正态分布，问该天打包机工作是否正常（?＝0.05）？

2N(?,?)，4、已知某一试验，其温度服从正态分布现在测量了温度的5个值为：

1250 1265 1245 1260 1275

问是否可以认为?＝1277（?＝0.05）？

5、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.40，0.052 )，现在测定了5炉铁水，其含碳量为

4.34 4.40 4.42 4.30 4.35

如果估计方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量为4.40（?＝0.05）？

6、进行5次试验，测得锰的熔化点（℃）如下：

1269 1271 1256 1265 1254

已知锰的熔化点服从正态分布，是否可以认为锰的熔化点显著高于1250℃？（?＝0.01）

7、要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为??100小时的正态分布，试在显著性水平??0.05下判断这批元件是否合格？设总体均值为?，即需检验：

H0:??1000;H1:??1000.

8、某种动物的体重服从正态分布N(?,9)，今抽取9个动物考察，测得平均体重为51.3公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤。（??0.05） 9．设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为x?11.2cm，已知标准差?0?2.6cm，问该批木材的平均小头直径能否认为是在12cm以上？（??0.05）

10、正常人的脉搏平均72次每分钟，现在测得10例酏剂中毒患者的脉搏，算得平均次数为67.4次，均方差为5.929。已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中毒患者与正常人脉搏有无显著差异。（t0.025(9)?2.2622）

211、某种零件的长度服从正态分布，方差??1.21，随机抽取6件，记录其长度

（毫米）． 32.46 , 31.54 , 30.10 , 29.76 , 31.67 , 31.23，问：当显著性水平??0.01时，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米．

12、从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得平均值x?11958，样本均方差S?316．设发热量服从正态分布，问是否可认为该试验物发热量的期望值为12100？(??0.05)

22X~N?,?13、由经验知某零件质量，??15，??0.05，技术革新后，抽

??了6个样品测得质量为（单位：g）：14.7, 15.1, 14.8, 15.0, 15.2, 14.6，已知方差不变，问平均质量是否仍为15g？???0.05?

14、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，（1）是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？(2) 是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为16？

15、某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为12690C 12710C 12630C 12650C

2N(?,?)，以??5% 的水平作如下检验： 设数据服从正态分布

2(1) 这些结果是否符合于公布的数字12600C？(2) 测定值的标准差是否不超过20C？

16、机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克. 某天开工后，为了检验机器是否正常工作，

22X?499,S?16.03从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得. 问这天自动包装

机工作是否正常（??0.05）？

2222H:??500,H:??500H:??10,H:??100101即检验（1） ； （2）.

?t0.025(8)?2.306,t0.025(9)?2.262?0.0252(8)?17.535,?0.0252(9)?19.023???t(8)?1.8595,t(9)?1.8331?2(8)?15.507,?2(9)?16.919??0.050.050.05?0.05?

217、用老的铸造法铸造的零件的强度平均值是0.528N/mm，标准差是

0.016N/mm2.为了降低成本，改变了铸造方法，抽取了9个样品，测其强度

(N/mm2)为：

0.519 0.530 0.527 0.541 0.532 0.523 0.525 0.511 0.541 假设强度服从正态分布，试判断强度的均值和标准差是否发生了改变。 18、两台车床生产同一种滚珠(滚珠直径按正态分布)，从中分别抽取6个和9个产品，试比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否相等（?＝0.10）？ 甲车床：34.5 38.2 34.2 34.1 35.1 33.8

乙车床：34.5 42.3 41.7 43.1 42.4 42.2 41.8 43.0 42.9.

2N(?,?)，要求电阻的标准差不得超过0.00419、某种导线的电阻服从正态分布

欧姆. 今从新生产的一批导线中抽取10根，测其电阻，得s*＝0.006欧姆. 对于

?＝0.05，能否认为这批导线电阻的标准差显著偏大？

20、某车间生产钢丝，其折断力服从正态分布。今从产品中随机抽出10根检查 折断力,得数据如下（单位：斤）：578，572，570，568，572，570，570，572，596，582

问是否可以相信该车间的钢丝的折断力的方差为64（??0.05）？

2N(?,4)。21、某包装机包装物品重量服从正态分布现在随机抽取16个包装袋，2算得平均包装袋重为x?900，样本均方差为S?2，试检查今天包装机所包物

22?(15)?6.262，?（15）?27.488）??0.050.9750.025品重量的方差是否有变化？（）（。

222、已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(?,0.048). 某日抽取5个样

品，测得其纤度为:1.31，1.55，1.34，1.40，1.45,问这天的纤度的总体方差是否正常？试用??10%作假设检验.

23、有容量为100的样本，其x?.2.7，而i?12H: ??2.5。 0假设

（x?x）?225?2i100。试以??0.01检验

224、某炼铁厂铁水含炭量X~N?,0.1，现对设备进行了维修，然后抽测了522s?0.228X炉铁水，测得含炭量的样本方差. 问是否可以认为设备维修后的2铁水含炭量的方差仍旧是0.1？???0.05?。

??25、某工厂生产一种螺钉，标准要求长度是68mm，实际生产的产品其长度服从

2N(?,3.6)，考虑假设检验问题 正态分布

H0:??68;H1:??68

X?68?1X?68?1记X为样本均值，按下列方式进行假设：当时，拒绝假设H0；当

时，接受假设H0。当样本容量n?64时，求：

?,（1） 犯第一类错误的概率?； （2）犯第二类错误的概率（设??70）.