第八章 量子力学中的近似方法

一、定态微扰论

??的作1、设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01及E02现在受到微扰H

用微扰公式?H?21?a,H11?H22?b,a,b都是实数，

?用，微扰矩阵元为H12求能量至二级修正值。

2、一个一维线性谐振子受一恒力作用，设力的方向沿x方向： （1）用微扰法求能量至二级修正；

（2）求能量的精确值，并与（1）所得结果比较。 3、设在H0表象中，H矩阵表示为

?E(0)0?1?(0)0E?2???ab??试用微扰论求能量的二级修正。

???b? (0)?E3??a4、设自由粒子在长度为L的一维区域中运动，波函数满足周期性边条件

LL?(?)??()

22波函数的形式可取为

0)?(??20)coskx,?(??LH1(x)2sinkxL?x2/a22?nk?Ln?0,1,2?

设粒子还受到一个“陷阱”的作用

??V0ea??L

试用简并微扰论计算能量一级修正。

5、一体系在无微扰时有两条能级，其中一条是二重简并的，在H0表象中

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?E(0)0?1?(0)E1?0?00??在计及微扰后，哈密顿量为

0???(0)0)0?E1?E(2 (0)?E2??

?E(0)0?1?(0)0E?1???ab??a???b?(0)?E2??

（1）用微扰论求H本征值，准到二级近似；

（2）把H严格对角化，求H的精确本征值，然后进行比较。 二． 变分法

1、试用变分法求一维谐振子的基态波函数和能量（试探波函数取e特定参数）。

2、设氢原子的基态试探波函数取为

??x2，?为

?(?,r)?Nea??2/?e2

??(r/a)2

N为归一化常数，?为变分参数，求基态能量，并与精确解比较。

3、粒子在一维势场中运动V(x)?0（当x???,V(x)?0)，试证明：至

少存在一个束缚态E?0,取试探波函数。

?(?,x)?三、量子跃迁

??14e??2x2/2

1、氢原子处于基态，受到脉冲电场作用

???(t)??0?(t)

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??0是常数

试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的几率以及仍停留在基态的几率。

2、具有电荷q的离子，在其平衡位置附近作一维简谐运动。在光的照射下发生

跃迁，入射光能量密度分布为?(?)，波长较长，求

（1）跃迁选择定则；

（2）设离原来处于基态，求跃迁到第一激发态的几率。

3、设把处于基态的氢原子放在平板电容器中，取平板法线方向为Z轴方向，电

场沿Z轴方向可视为均匀，设电容器突然充电，然后放电，电势随时间变化为

?0?(t)???t/???0et?0t?0 （?为常数）

求充分长的时间之后，氢原子跃迁到2S态及2p态的几率。

? 4、有一自旋?/2，磁矩?，电荷为零的粒子，置于磁场B中，开始时

??0t?0,B?B0?(0,0,B0)，?z的本征态(1)，粒子处于?即?z??1。t?0时，

????再加上沿x方向较弱的磁场B1?(B,0,0),从而B?B0?B1?(B1,0,B0)，求t?0时，粒子的自旋态，以及测得自旋“向上”(?z?1)的几率。

四、散射问题

1、用玻恩近似法，求在下列势中的散射微分截面 （1）V(r) （2）V(r)?V0e?ar2(a?0) (a?0)

?V0e?ar2、用分波法公式，证明光学定量

k Imf(0)??T

4?3、设势场V(r)?V0/r2,用分波法求l分波的相移。

4、质量为?的粒子束，被球壳?势场散射。

V(r)?V0?(r?a)

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在高能近似下，用玻恩近似法计算散射振幅和微分截面。

5、求各分波相移?l，并和刚球散射的结果比较。

6、求中子一中子低能(E?0)S波散射截面，设两中子间的作用为

?V0?1??2V??0?其中V0

r?ar?0

入射中子和靶中子都是未极化的。 ?0,?1,?2是两中子的pauli自旋算符，

7、实验发现，中子一质子低能S波散射的散射振幅和散射截面与中子一质子体

系的自旋状态有关。对于自旋单态和自旋三重态，散射振幅分别为

f1??2.37?10?12cmf2?0.538?10?12cm

（1）分别求自旋单态和三重态的总散射截面；

（2）如入射中子(n)和质子(p)都是未极化的，求总截面；

（3）如入射中子自旋“向上”，质子靶自旋“向下”，求总截面，以及散射后，

n、p自旋均转向相反方向的几率。

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