【详解】

（1）证明：连接OC，

∵OA=OC， ∴∠OCA=∠BAC，

?的中点， ∵点C是BD∴∠EAC=∠BAC， ∴∠EAC=∠OCA， ∴OC∥AE， ∵AE⊥EF，

∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠BCA=90°， ∴AC=AB2?BC2=4，

∵∠EAC=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°， ∴△AEC∽△ACB， ∴

AEAC?， ACABAC216∴AE=?．

AB5【点睛】

本题考查的是切线的判定、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．

2824．（1）y=﹣x2+2x+1；（2）当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，）或（1，﹣）．

33【解析】 【分析】

（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）设点M的坐标为（1，m），则CM=(1?0)2?(m?3)2，AC=10，AM=[1?(?1)]2?(m?0)2，分∠ACM=90°和∠CAM=90°两种情况，利用勾股定理可得出关于m的方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．

【详解】

（1）将A（﹣1，0）、C（0，1）代入y=﹣x2+bx+c中，

?1?b?c?0{得：， c?3解得：{b?2c?3，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+1． （2）∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+4， 设点M的坐标为（1，m），

则CM=(1?0)2?(m?3)2，AC=[0?(?1)]2?(3?0)2=10，AM=[1?(?1)]2?(m?0)2． 分两种情况考虑：

①当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣1）2， 8解得：m=，

38∴点M的坐标为（1，）；

3②当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣1）2=4+m2+10， 解得：m=﹣

2， 32）． 3∴点M的坐标为（1，﹣

28综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，）或（1，﹣）．

33【点睛】

本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的点的坐标特征以及勾股定理等知识点．

25．（1）购买A型学习用品400件，B型学习用品600件．（2）最多购买B型学习用品1件 【解析】 【分析】

（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，就有x+y=1000，20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论．

（2）设最多可以购买B型产品a件，则A型产品（1000﹣a）件，根据这批学习用品的钱不超过210元建立不等式求出其解即可． 【详解】

解：（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，由题意，得

?x?y?1000?x?400，解得：． ???20x?30y?26000?y?600答：购买A型学习用品400件，B型学习用品600件．

（2）设最多可以购买B型产品a件，则A型产品（1000﹣a）件，由题意，得 20（1000﹣a）+30a≤210， 解得：a≤1．

答：最多购买B型学习用品1件

26．（1）见解析；（2）①1；②：x=0或x=42﹣4或4＜x＜42； 【解析】 【分析】

（1）分别以M、N为圆心，以大于

1MN为半径作弧，两弧相交与两点，过两弧交点的直线就是MN的2垂直平分线；（2）①分为PM=PN，MP=MN，NP=NM三种情况进行判断即可；②如图1，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；如图4，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可． 【详解】

解：（1）如图所示：

（2）①如图所示：

故答案为1．

②如图1，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，

∴MC⊥OB， ∵∠AOB=45°，

∴△MCO是等腰直角三角形， ∴MC=OC=4， ∴OM?42，

当M与D重合时，即x?OM?DM?42?4时，同理可知：点P恰好有三个； 如图4，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆．

则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P； 点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；

∴当4?x?42时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个； 综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x?42?4或 4?x?42． 故答案为x=0或x?42?4或4?x?42．【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法．