【例 27】 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等

距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是________．

【例 28】 棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方

体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?

【例 29】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们

拼成一个4?4?4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？

【例 30】 一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长

是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个．求原来长方体的体积与表面积．

【例 31】 将一个棱长为整数分米的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方

体．在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一个面涂红色的有 块，原来长方体的体积是 立方分米．

【例 32】 右图是由27块小正方体构成的 3?3?3的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小

正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？

4-4-1 长方体与正方体 题库 page 9 of 26

【例 33】 有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有

的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？

【例 34】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个

连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？

【例 35】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面

涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？

【例 36】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要

求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？

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【巩固】把正方体的六个表面都划分成4个相等的正方形．用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方

形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？

【例 37】 一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米

的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积.

【例 38】 如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个

截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长．

【例 39】 有一个棱长为5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这

个立体图形的内、外表面的总面积．

【例 40】 左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面．请在右下方的展开图中画出四

边形APQC的四条边．

DAHEPFQBCDCGBFHE GA 4-4-1 长方体与正方体 题库 page 11 of 26

【例 41】 如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371

个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？

板块二 长方体与正方体的体积

立体图形的体积计算常用公式： 立体图形 长方体 V?a3示例 V?abhV?体积公式 Sh 相关要素 三要素：a、b、h 二要素：S、h 正方体 V?Sh 一要素：a 二要素：S、h 不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法 ③先补后去法 ④实际操作法 ⑤画图建模法

【例 42】 (第四届《小数报》数学竞赛决赛)一根长方体木料，体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少?

【例 43】 (第六届“华杯赛”决赛口试)某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条

(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?

高宽长

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