黄浦区

25．（本题满分14分）

如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2. （1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数； （3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.

25. 解：（1）过A作AH⊥BC于H，————————————————————（1分） 由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形.

在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=x?1，

所以22?y2?x?1，——————————————————————（1分） 则y?2?x2?2x?3?0?x?3?.———————————————（2分）

（2）取CD中点T，联结TE，————————————————————（1分） 则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD.

∴∠AET=∠B=70°. ———————————————————————（1分） 又AD=AE=1，

∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°. ——————————————————（1分） 由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，————————————（1分） 所以∠AEC=70°＋35°=105°. ——————————————————（1分）

（3）当∠AEC=90°时，

易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°， 则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，

得BH=1，于是BC=2. ——————————————————————（2分）

当∠CAE=90°时，

易知△CDA∽△BCA，又AC?BC2?AB2?x2?4，

ADCA?? 则

ACCB1x?42?x2?41?17?x?（舍负）—————（2分） x2 易知∠ACE<90°. 所以边BC的长为2或1?17.——————————————————（1分） 2

金山区

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分） 如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，sinB?3，P是线段BC上 5一点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线 CD相交于点E，设BP=x． （1）求证△ABP∽△ECP；

（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，

求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．

25．解：（1）在⊙P中，PA=PQ，∴∠PAQ ＝∠PQA，……………………………（1分）

图9

备用图

B P C B C

A Q E D A D ∵AD∥BC，∴∠PAQ ＝∠APB，∠PQA ＝∠QPC，∴∠APB ＝∠EPC，……（1分） ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B ＝∠C，…………………………（1分） ∴△APB∽△ECP．…………………………………………………………（1分） （2）作AM⊥BC，PN⊥AD，

∵AD∥BC，∴AM∥PN，∴四边形AMPN是平行四边形，

∴AM=PN，AN=MP．………………………………………………………（1分） 在Rt△AMB中，∠AMB=90°，AB=5，sinB=

3， 5∴AM=3，BM=4，∴PN=3，PM=AN=x-4，……………………………………（1分） ∵PN⊥AQ，∴AN=NQ，∴AQ= 2x-8，……………………………………（1分）

11 ?AQ?PN???2x?8??3，即y?3x?12，………………………（1分）

2213定义域是4?x?．………………………………………………………（1分）

2∴y?（3）解法一：由△QED 与△QAP相似，∠AQP＝∠EQD，

①如果∠PAQ＝∠DEQ，∵△APB∽△ECP，∴∠PAB＝∠DEQ，

又∵∠PAQ＝∠APB，∴∠PAB＝∠APB，∴BP=BA=5．………………………（2分） ②如果∠PAQ＝∠EDQ，∵∠PAQ＝∠APB，∠EDQ＝∠C，∠B＝∠C，

∴∠B＝∠APB，∴ AB=AP，∵AM⊥BC，∴ BM=MP=4，∴ BP=8．………（2分） 综上所述BP的长为5或者8．………………………………………………（1分） 解法二：由△QAP与△QED相似，∠AQP＝∠EQD， 在Rt△APN中，AP?PQ?3??x?4??22x2?8x?25，

∵QD∥PC，∴

EQEP?， QDPCAPEQAPEP?，∴， ?PBQDPBPC∵△APB∽△ECP，∴

AQEQAQAP2x?8??①如果，∴，即?2QPQDQPPBx?8x?25x2?8x?25，

x解得x?5………………………………………………………………………（2分） ②如果

2x?8AQDQAQPB???，∴，即2QPQEQPAPx?8x?25xx?8x?252，