人教版新课标普通高中◎数学④ 必修

πcos(π?α)=sinα， sin(?α)=cosα． 22提出问题

能否用已有公式得出π+α的正弦、余弦与2α的正弦、余弦之间的关系式？

师生互动：教师点拨学生将π+α转化为π? 2(π?α)，从而利用公式四和公式五达到我们的2π目的．因为π+α可以转化为π? (?α)，所以求22π2+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接

着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六：

sin (π+α)=cosα， 2cos(π+α)=-sinα． 2提出问题

你能概括一下公式五、六吗？

师生互动：结合上一堂课研究公式一～四

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的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括．

讨论结果：π±α的正弦(余弦)函数值，分2别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限．

利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．

公式一～六都叫做诱导公式． 三、拓展创新，应用提高

例1 利用公式求下列三角函数值：

π16π（1）cos225°；（2）sin11；（3）sin()；?33（4）cos(-2 040°)．

解

：

（

1

22）

；

32cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=?πππ（2）sin11=sin(4π?)=-sin=?333；

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（3）

3π16πππsin(?16)=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=； 23333（4）cos(-2 040°)=cos2

040°=cos(6×360°-120°)

=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=?1． 2点评：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：

上述步骤体现了由未知转化为已知的化归的思想方法．

例2 化简 解

cos(180???)gsin(??360?).sin(???1800)gcos(?180???)

：

sin(???180?)?sin[?(??180?)]??sin(??180?)??(?sin?)?sin?cos(?180???)?cos[?(180???)]?cos(180???)??cos?.

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所以，

?cos?gsin??1. 原式?sin?g(?cos?)例3 证明：（1）sin(32π-α)=-cosα；（2）cos(32π-α)=-sinα． 证

明

：

（

1

）

πsin(32π-α)=sin[π+(π-α)]=-sin(-α)=-cosα； 22 （2）

πcos(32π-α)=cos[π+(π-α)]=-cos(-α)=-sinα． 22点评：由公式五及六推得32π±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到2k2?1π(k∈Z)的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用．

例4 化简

π11πsin(2π?a)cos(π?a)cos(?a)cos(?a)22.9πcos(π?a)sin(3π?a)sin(?π?a)sin(?a)2π(?sina)(?cosa)(?sina)cos[5π?(?a)]2π(?cosa)sin(π?a)[?sin(π?a)]sin[4??(?a)]2

解：原式=

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