△BE＝3－x，CF＝2x－4， △

BE3?x＝＝2， CF2x?41122，2x＝， 55△x＝

△FP2＝

1122，EP2＝， 55△P2(

1122，－)， 55过P1作P1G△x轴于G，P1H△y轴于H， 同理求得P1(－1，－2)，

△当BC△PC时，△PBC为直角三角形，如图(2)b 过P4作P4H△y轴于H， 则△BOC△△CHP4， △

CHP4HPC5＝4＝， ?5OBOCBC3545，P4H＝， 55△CH＝△P4(4535，－－4)； 55同理P3(－4535，－4)； 55综上所述：点P的坐标为：(－1，－2)或(－4)；

112245354535，－)或(，－－4)或(－，555555(3)如图(3)，连接AP，△OB＝OA，BE＝EP， △OE＝

1AP， 2△当AP最大时，OE的值最大，

△当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值＝5＋5，

5?5 2△OE的最大值为故答案为：5?5． 210．(2017江苏盐城，27，14分)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝A，与y轴交于点C，抛物线y＝(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；

1x＋2与x轴交于点212

x＋bx＋c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． 2①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求

S1的最大值； S2②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)根据题意得到A(－4，0)，C(0，2)代入y＝－

12

x＋bx＋c，于是得到结论； 2(2)①如图，令y＝0，解方程得到x1＝－4，x2＝1，求得B(1，0)，过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；

②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P(－

35，0)，得到PA＝PC＝PB＝，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，22情况一：如图，∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC＋∠CDG，情况二，∠FDC＝2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．

【解析】解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)，

∵抛物线y＝－

12

x＋bx＋c经过A、C两点， 2ì1?0=-?164b+c∴í， 2?2=c?ì3?b=-∴í2， ??c=2∴y＝－

123x－x＋2； 22(2)①如图，令y＝0， ∴－

123x－x＋2＝0， 22∴x1＝－4，x2＝1， ∴B(1，0)，

过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N， ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE， ∴

S1DEDM＝＝， S2BEBN设D(a，－

123a－a＋2)， 22∴M(a，

1a＋2)， 2∵B(1.0)， ∴N(1，

5)， 2∴

S1DM＝＝S2BN-12a-2a142＝-(a＋2)2＋； 5552∴当a＝2时，

S14的最大值是； S25②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，

∴AC＝25，BC＝5，AB＝5， ∴AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P， ∴P(－

3，0)， 25， 2∴PA＝PC＝PB＝

∴∠CPO＝2∠BAC， ∴tan∠CPO＝tan(2∠BAC)＝

4， 3过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G， 情况一：如图，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC＋∠CDG， ∴∠CDG＝∠BAC， ∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝

1， 2即

RC1＝ DR2123a－a＋2)， 22123a－a， 22令D(a，－

∴DR＝－a，RC＝－