2010年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准

说明：

1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 C 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9． 2 ． 10．56． 11．236a．． 12．log1.10.9(填b也算对)．13．

33（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．(1,3)． 15．3．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演

算步骤．

16．（本小题满分12分）

(本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等知识，考查化归转化的数学思想和运算求角能力) 解：由已知可知

f?x??m?n?cos2x?3sinx?cosx

?1?cos2x3??1??sin2x?sin?2x??? . ……………3分 226?2? （1）f?x?的最小正周期是?. …………4分 由 2k???2?2x??6?2k???2( k?Z)，

解得 k???3?x?k???6(k?Z).

所以f?x?的单调递增区间是 ?k??（2）∵ f?A?????3,k????6?? (k?Z). …………7分

??111? ， 即sin?2A????，

6?222?∴ sin?2A???????0， 6?∵ ?ABC是锐角三角形. ∴0?A?∴

?2，

?6?2A??6?7?， 65?. …………9分 12∴ 2A??6??，∴A? 而 sin5?????6?2????， ………11分 ?sin????sin?cos?cos?sin?124646464??11b?c?sinA??22 ∴S??6?2??6?21? . …………12分 4217. (本小题满分12分)

(本题主要考查频率分布表、直方图、分层抽样、分布列、期望等统计概率知识，考查

学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)

频率 解：（1）①处填20，②处填0.35； 507个画师中年龄在?30,35?的人数为

组距0.35?507?177人……………3分

补全频率分布直方图如图所示.

…………6分

（2）用分层抽样的方法，从中选 取20人,则其中“年龄低于30岁”

20 25 30 35 40 45 年龄 岁

的有5人，“年龄不低于30岁”

的有15人。 ……7分 故ξ的可能取值为0，1，2；

2C1542 P(??0)?2?C207611C15C530 P(??1)??276C20C524 …………………10分 P(??1)?2?C2076所以ξ的分布列为

ξ P 0 1 2 42 7630 764 76 …………11分 所以： E??0?

423041?1??2?? …………12分 767676218. (本小题满分14分)

(本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

解: （1）(解法一)：由题意可知 83??2?2??AD ，

解得 AD?23 ， …………1分 在?AOP中，AP?22?22?2?2?2?cos120O?23， …………2分 ∴ AD?AP， 又 ∵G是DP的中点，

∴ AG?DP. ① …………3分 ∵ AB为圆O的直径， ∴ AP?BP.

由已知知 DA?底面ABP， ∴ DA?BP，

∴ BP?平面DAP . …………5分 ∴ BP?AG. ②

∴ 由①②可知：AG?平面DPB，

A G y O P x

B z D Q ． C ∴ AG?BD. …………7分 （2） 由（1）知：AG?平面DPB ， ∴AG?BG，AG?PG，

∴?PGB是二面角P?AG?B的平面角 . …………10分

PG?12PD?12?2AP?6, BP?OP?2, ?BPG?90?. ∴ BG?PG2?BP2?10.

cos?PGB?PG615BG?10?5 . ………14分 (解法二)：建立如图所示的直角坐标系， 由题意可知83??2?2??AD. 解得AD?23. 则A?0,0,0?，B?0,4,0?，D?0,0,23?，P?3,3,0? ，

∵G是DP的中点， ∴ 可求得G??33??,,?. …………4分 ?223??（1）BP??3,?1,0?，BD??0,?4,23?，

∴ AG???3?,3,3??. ?22?? ∵ AG?BD??33??????0,?4,2??2,2,3?3?0， ? ∴ AG?BD. …………8分 （2）由（1）知,BP??3,?1,0?， AG???3??2,32,3???， ?PG???33??35???,?,3??22?， BG????,?,3??22? . ?∵AG?PG?0，AG?BP?0.

∴BP是平面APG的法向量. 设n??x,y,1?是平面ABG的法向量，

…………10分