3.数形结合相宜彰
数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体.实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中数形结合的重要基础.
例5 如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，其中AB＝BC，如果|a|＞|c|＞|b|，那么该数轴的原点O的位置应该在
A．点A的左边
Cc
B．点A与点B之间 D．点C的右边
C．点B与点C之间
ABb a答案：C．
解析：方法1：∵|a|＞|c|＞|b|，
∴点A到原点的距离最大，点C到原点的距离其次，点B到原点的距离最小， 又∵AB＝BC，
∴原点O的位置在点B与点C之间，且靠近点B的地方． 方法2：若原点在A点左侧，则|c|＞|b|＞|a|，因此排除A选项； 若原点在点A与点B之间，则|c|最大，因此排除B选项；
若原点在点B与点C之间，则|a|最大，此时，若原点靠近点B，则|c|＞|b|，因此C选项符合要求；
若原点在点C的右边，则|a|＞|b|＞|c|，因此排除D选项．
点评：一个数的绝对值的几何意义是指这个数在数轴上表示的点到原点的距离．一个数的绝对值越大，这个数到原点的距离越大，反之亦成立．解决这类问题，经常需要运用数形结合思想，画出数轴进行分析．
当点的位置（或图形位置）不确定时，经常需要运用分类讨论思想，对问题可能出现的情形逐一分析判断．
要注意数形结合和已知条件的灵活运用，忽视图形或AB＝BC这个条件，可能导致无法判断正确选项．
例6 如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b）、宽为（a+2b）的大正方形，则需要A类卡片、B类卡片、C类卡片共 张，并在下面的横线上画出拼出的图形：
5
解析：因为（a+3b）（a+2b）=a+12 a b+6b，所以需要A类卡片、B类卡片、C类卡片共12张，所示拼出的图形如图．
点评：此题是利用整式混合运算，结合着一直给出的图形求解，弄清题意是解本题的关键．
数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.
变式3
2（1）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则(a?b)?a的化简结果为 ．
22
（2）如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G正好是AF的中点．现要在一村庄建一个活动中心，使各村庄到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（ ）．
A．A处 B．C处 C．G处 D．E处
4.化归思想巧转化
用化归法解题，就是采取“迂回战术”，通过适当的变换，把原题化为一个（或几个）新问题，用已知方法处理新问题，从而使原问题得到解决.数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等.
例7 如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了 .
A 7米 B 8米 答案：56米.
6
解析：7×8=56（㎡）
所以那人从A走到B共走了56米.
点评：假设拖把的宽度是1米，某服务员拿着拖把沿着小路向前推，那人走遍小路相当于把整块场地拖完了，而拖1㎡的场地相当于那人向前走了1米，整块场地面积是7×8=56（㎡），所以那人从A走到B共走了56米，这样我们就把求线段长度问题化归成求面积问题了.
例8 化简：(3x+2)(x－1)+3(x－1)(x+1).
解析：(3x+2)(x－1)－3(x－1)(x+1)＝3x－3x+2x－2－3x－3x+3x+3＝－x+1. 点评：在整式运算中，多项式乘法是化归为多项式乘以单项式来完成的，多项式乘以单项式又化归为单项式乘以单项式来完成的，而单项式乘以单项式又化归为同底数幂的运算来完成的.本题在运用化归思想运算的过程中省略了一些步骤，不过一定要注意避免因为“－”号可能给化简带来的错误.
变式4 （1）若3x=4，9y=7，则3x-2y的值为（ ） A．
2
2
27?1?2（2）化简：[(x?2y)(x?2y)?(2x?y)?(3x?y)(2x?5y)]???x?．
?3?B．
C． ﹣3
D．
4 774四、课时作业·轻松练
A.基础题组
1.已知2a﹣3b2=5，则10﹣2a+3b2的值是 ．
2.已知当x=1时，2ax2+bx的值为3，则当x=2时，ax2+bx的值为 ． 3.已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b= ；a2+b2= ． 4.实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（ ）
A．
B．a﹣b＞0
C．ab＞0
D．a÷b＞0
5.如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
A．点A的左边
B．点A与点B之间
7
C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边 6.先化简数代入求值．
7.若（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）?（6，8）= ．
8.下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3?3个位置的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）
A．32 B．126 C．135 D．144
，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的
x x+1 x+2 x+7 x+8 x+9 x+14 x+15 x+16
9.若x?2y?9与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为（ ） A． 3
B． 9
C． 12 D． 27
B.提升题组
10.已知实数a满足a2+2a﹣15=0，求
23﹣
2÷的值．
11.已知m?m?1?0，那么代数式m?2m?2010的值是（ ）
Ａ.2010 Ｂ.－2010 Ｃ. 2009 Ｄ.－2009
12.有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
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