第21讲 数与式中的思想方法

一、学习目标

1．获得知识技能和一些数学学习的基本思想；

2．建立数学思想，掌握思想方法，可以在解题时，寻求出已知和未知的联系，提高分析问题的能力，从而形成解决问题的能力.

考情分析

数学的学习核心是思想方法的学习，数学题海浩瀚无边，问题又可变式发散，所以习题就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是中考考查的重点.

二、基础知识·轻松学

1.整体思想运算简

就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．

【精讲】整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式中，整体思想有很好的应用．

2.分类讨论难化易

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．

【精讲】分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类.例如:

?a(a?0)?求a时,就分三种情况讨论: a??0(a?0).

??a(a?0)?3.数形结合相宜彰

数和形是初中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形的直观加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置问题的坐标化，数量关系图形化.

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【精讲】数与式部分,数形结合表现最多的是数轴与实数的对应关系,利用数轴来描述实数的有关概念和运算,把数与形结合起来,从而把隐蔽的问题明朗化,抽象的问题直观化,复杂的问题简单化,达到快速,形象,有效的解决问题的目的.例如:在数轴上比较实数的大小,先把它们表示在数轴上,利用数轴上右边的数总比左边的大来比较.

4.化归思想巧转化

所谓化归思想，就是指对于那些数学问题难以求解时，我们可以根据问题的性质、条件和关系，采取适当的方法把较困难的问题转化为较简单的或早已熟悉的问题来进行解答.

【精讲】实数的运算中,加法与减法,乘法与除法,乘方与开方都互为逆运算,因此可以将减法运算转化成加法运算,将除法运算转化成乘法运算.所有的这些都体现了将新问题转化归结为已经解决的问题的思想方法.例如:单项式乘以单项式可以转化成为实数的乘法和同底数幂的乘法运算,多项式乘以多项式可以转化成单项式乘以单项式.

三、重难疑点·轻松破

1. 整体思想运算简

此方法最典型的应用于代数式的求值问题,关键是已知与求解的相互转化利用. 例1 已知代数式3x2－4x+6的值为9，则x?24x?6的值为 ( ) 3A．18 B．12 C．9 D．7 答案:选D.

解析:因为3x2－4x+6=9,所以3x2－4x=3,x-故选A.

点评:如果利用3x2－4x=3,解一元二次方程,得到x的值，再代入求值，不仅运算麻烦，运算量大，而且因为方程有两个解，需要分别代入.利用整体代入，简单、迅速、准确.

例 2 已知实数x,y满足：

2444x?1,代入x2?x?6,得x2?x?6=7,

33311x?8xy?y??2，求的值. xy3x?4xy?3y解析1：如果还按照上述消元的思想来解，要用字母y来表示x，运算就比较大.对待求分式运用分式的基本性质可得：

11?(?)?8x?8xy?yxy=，这样我们就可以直接利用已知条件求值.

3x?4xy?3y?11??3??x?y???4?? 2

11?(?)?8?2?8xy?5. 所以原式==

?6?4?11??3??x?y???4??解析2：由已知

11??2知道：x?0,y?0， xy于是对在等式两边同时乘以xy处分母得：x?y??2xy，再整体代入待求分式即易获

解.所以原式=

?2xy?8xy?10xy=?5.?6xy?4xy?2xy

点评: 解析是把结论化成已知，然后再把已知整体代入，而解析2刚好相反，但他们都用到了整体的思想.比较起来，解析2还是比较简单.

变式1

（1）如果x?x?1?0，那么代数式x?2x?7的值为（ ） A、6

B、8

C、－6

D、－8

232xy?(x?y)23?23?2（2）已知x?，y?，求代数式的值． 2xy?(x?y)3?23?22.分类讨论难化易

在数与式部分，分类讨论主要体现在去掉绝对值符号，化简二次根式，代入求值等方面. 例3 若ab≠0，则

a|b|?的取值是（ ） |a|bA．0，1，2 B．0，2，-2 C．1，2，-2 D．以上均不对 答案：选B．

解析：由于ab≠0，所以我们用分类思想，分ab＞0，ab＜0两种情况． （1）当ab＞0时，只有a＞0，b＞0或a＜0，b＜0两种情况． ①当a＞0，b＞0时，

a|b|??1?1?2. |a|ba|b|???1?1??2． |a|b②当a＜0，b＜0时，

（2）当ab＜0时，有a＞0，b＜0或a＜0，b＞0两种情况．

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①当a＞0，b＜0 时，

a|b|??1?1?0 |a|b②当a＜0，b＞0时，

a|b|???1?1?0． |a|b综上所得可能取的值为0，2，-2．

点评：本题看上去好象很是简单，不过是一道小小的选择题，可要想正确求解，则必须咬住规定进行分类求解，才能避免错误.

分类必须遵循以下原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）不重复，不 遗漏．

11xx2?2x?1例4 化简 (? )?22xx?1(x?1)?(x?1)解析：由已知得：x≠0，-1.

x(x?1)211xx2?2x?11故(?=， )??xx?1(x?1)2?(x?1)2x(x?1)4x当x＞－1且x≠0时，x+1＞0，

2可知(x?1)=x+1，

故原式=

1x(x?1)1??

x(x?1)4x4x

当x＜－1时，x+1＜0，

2可知(x?1)=－（x+1），

1?x(x?1)111xx2?2x?1???故(?=. )?224x4xxx?1(x?1)?(x?1)x(x?1)点评：本题主要考查分式、根式的化简求值，利用a2?a??要特别注意分式有意义的条件进行讨论，保证分式有意义．

变式2

（1）已知|x|＝3，|y|＝3，且xy＜0，则x＋y的值等于（ ）． A．5或－5 B．1或－1 C．5或1 D．－5或－1 （2）化简，若x?y?z?0,xyz?0，求

?a?02.化简(x?1) ?a?0xyz??的值. y?zz?xx?y 4