12．（顺义18期末26）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点

D，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F． （1）求证：DE⊥AB； （2）若tan∠BDE=12, CF=3，求DF的长．

26． （1）

证明： 连接OD．………………………………………..1分

∵EF切⊙O于点D，

∴OD⊥EF．……………………………………….……..2分 又∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠OCD， ∴∠ABC=∠ODC， ∴AB∥OD，

∴DE⊥AB．…………………………………….………..3分

（2）

解：连接AD．…………………………….…………….…4分

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，…………………………………..…5分 ∴∠B+∠BDE=90°，∠B+∠1=90°，

∴∠BDE=∠1，

∵AB=AC，∴∠1=∠2． 又∵∠BDE =∠3，∴∠2=∠3．

∴△FCD∽△FDA…………………………………….6分 ∴

FCCD?， FDDA∵tan∠BDE=∴

11,∴tan∠2=, 22CD1FC1=，∴=， DA2FD2∵CF=3，∴FD=6．……………………………….…7分

13．（大兴18期末27）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作

AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB. 过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H.

（1）求证：∠BCG=∠EBG； （2）若sin?CAB?

27. 证明：（1）

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°.………………………………………………..1分 ∵CG⊥AB于点G， ∴∠ACB=∠ CGB =90°.

∴∠CAB=∠BCG. .………………………………………………..2分 ∵CE∥AB， ∴∠CAB=∠ACE. ∴∠BCG=∠ACE

5EC，求的值.

GB5又∵∠ACE=∠EBG

∴∠BCG=∠EBG. .………………………………………………..3分 （2）解：∵sin?CAB?1255

∴tan?CAB?，………………………………………………..4分

由（1）知，∠HBG =∠EBG =∠ACE =∠CAB ∴在Rt△HGB中，tan?HBG?由（1）知，∠BCG =∠CAB 在Rt△BCG中，tan?BCG?GB1?. CG2GH1?. GB2设GH=a，则GB=2a，CG=4a.CH=CG－HG=3a. ……………..6分 ∵EC∥AB，

∴∠ECH =∠BGH，∠CEH =∠GBH

∴△ECH∽△BGH．……………………………………………..7分 ∴ECGB?CHGH?3aa?3．…………………………………………8分

14．（门头沟18期末24）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD

为直径的⊙O与边AC相切于点 E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F． （1）求证：BD=BF； （2）若CF=2，tanB?

4，求⊙O的半径． 3

24．（本小题满分5分） （1）证明：连接OE，

∵AC与圆O相切， ∴OE⊥AC，…………….1分 ∵BC⊥AC， ∴OE∥BC， 又∵O为DB的中点，

∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线， ∴OE=BF， 又∵OE=BD，

∴BF=BD；……………………………………….2分 （2）设BC=3，tan?B? 又∵CF=2， ∴BF=3+2，

由（1）得：BD=BF， ∴BD=3+2， ∴OE=OB=

4可得：AB=5， 33x?23x?27x?2，AO=AB﹣OB=5x? ?222 ∵OE∥BF，

∴∠AOE=∠B， ……………………………………………………………………………………4分 ∴cos∠AOE=cosB，即 解得： x?则圆O的半径为

OE3x?223???， AO27x?258 33x?210??5………………………………………………………………………5分 22

15．（通州18期末22）如图，△ABC是等腰三角形，AB?AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，BE?1，求cosA的值．