第一章 静 电 场
§1.1 静电的基本现象和基本规律
计 算 题 ：
1、 真空中两个点电荷q1=1.0×10-10C，q2=1.0×10-11C，相距100mm，求q1受的力。
解：F?q1q2?10?9.0?10N(排斥力) 24??0r12、 真空中两个点电荷q与Q，相距5.0mm,吸引力为40达因。已知q=1.2×10-6C,求Q。
解：1达因=克·厘米/秒=10-5牛顿
4??0r2FqQF??Q???93?10?13C 24??0rq13、 为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时
的相互作用力和相距一千米时的相互作用力。
q1q2?9.0?109N(当r?1m)相当于90万吨物体的重量解：F? ??34??0r29.0?10N(当r?1000m)相当于900kg物体的重量?14、 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电
子绕核作圆周运动，轨道半径是r=5.29×10-11m。已知质子质量M=1.67×10-27kg，电子质量m=9.11×10-31kg。电荷分别为e=±1.6×10-19 C,万有引力常数G=6.67×10-11N·m2/kg2。（1）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。
e2?8(1)Fe??8.22?10N(吸引力)4??0r21(2)Fg?G解：
m1m2?3.63?10?47N(吸引力)?Fe/Fg?2.26?10392re2?2.19?106m/s4??0mr1
v21e2(3)m??v?2r4??0r由此可知,在原子范围内,与库仑力相比,万有引力完全可以略去不计5、 卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到10-15米时，它们之间的排斥力仍遵守
库仑定律。金的原子核中有79个质子，氦的原子核（即α粒子）中有2个质子。已知每个质子带电e=1.6×10-19 C，α粒子的质量为6.68×10-27 kg.。当α粒子与金核相距为6.9×10-15m时（设这时它们仍都可当作点电荷）。求（1）α粒子所受的力；（2）α粒子的加速度。
1
(1)F?解：
q1q22?7.64?10N(排斥力)24??0r 1F?1.14?1029m/sm(2)a?6、 铁原子核里两质子间相距4.0×10-15m,每个质子带电e=1.6×10-19 C。（1）求它们之间的库
仑力；（2）比较这力与所受重力的大小。
e2(1)Fe??14.4N(排斥力)24??0r解：
1(2)Fg?GmM?1.64?10?26N?Fe/Fg?8.8?10262R
7、 两个点电荷带电2q 和q，相距l，第三个点电荷放在何处所受的合力为零？
解：设所放的点电荷电量为Q。若Q与q同号，则三者互相排斥，不可能达到平衡；故Q只能与q异号。当Q在2q和q联线之外的任何地方，也不可能达到平衡。由此可知，只有Q与q异号，且处于两点荷之间的联线上，才有可能达到平衡。设Q到q的距离为x.
2Qq1Qq1x F???0 4??0x24??0(l?x)2q Q 2q x?(2?1)l8、 三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此三角形的中
心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？
解：设所放电荷为Q，Q应与顶点上电荷q异号。中心Q所受合力总是为零，只需考虑q受力平衡。
q a q q
q2qQ10F?2cos30??0?Q??q/3 224??0a4??0(a/3)1平衡与三角形边长无关，是不稳定平衡。
9、 电量都是Q的两个点电荷相距为l，联线中点为O；有另
一点电荷q，在联线的中垂面上距O为r处。（1）求q所受的力；（2）若q开始时是静止的，然后让它自己运动，它将如何运动？分别就q与Q同号和异号两种情况加以讨论。 解：
q r Q l/2 O l/2 Q ?Qq(1) F?214??0(l/2)2?r2??Qqrr?22r2??0(l/2)2?r2(l/2)?rr??3
2(2)q与Q同号时，F背离O点，q将沿两Q的中垂线加速地趋向无穷远处。
2
q与Q异号时，F指向O点，q将以O为中心作周期性振动，振幅为r . <讨论>：设q 是质量为m的粒子，粒子的加速度为
??2??drFQqra?2??m2??0m(l/2)2?r232dt
2?dr4Qq?4Qq当r??l时2?rqQ异号,为简谐运动方程???dt??0ml3??0ml3?? 因此，在r< 时两线夹角为2θ。设小球的半径都可以略去不计，求每个小球上的电量。 解：小球静止时，作用其上的库仑力和重力在垂直于悬线方向上的分量必定相等。 Fecos??Fgsin?Fe?Fgtan? l θ θ l 14??0 q2?mgtan?(2lsin?)2q??2lsin?4??0mgtan?--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- §1.2 电场 电场强度 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 计算题： 1、 在地球表面上某处电子受到的电场力与它本身的重量相等，求该处的电场强度（已知电 子质量m=9.1×10-31kg,电荷为-e=-1.610-19C）. F?eE?mg解： E? mg?5.6?10?11N/Ce2、 电子所带的电荷量（基本电荷-e）最先是由密立根通过油滴实验测出的。密立根设计的 实验装置如图所示。一个很小的带电油滴在电场E内。调节E，使作用在油滴上的电场力与油滴的重量平衡。如果油滴的半径为1.64×10-4cm,在平衡时，E=1.92×105N/C。求油滴上的电荷（已知油的密度为0.851g/cm3） 3 4F?qE?mg?(??R3)g3解： 43(??R)g3q??8.03?10?19CEqE mg 3、 在早期（1911年）的一连串实验中，密立根在不同时刻观察单个油滴上呈现的电荷，其 测量结果（绝对值）如下： 6.568×10-19 库仑 13.13×10-19 库仑 19.71×10-19 库仑 8.204×10-19 库仑 16.48×10-19 库仑 22.89×10-19 库仑 11.50×10-19 库仑 18.08×10-19 库仑 26.13×10-19 库仑 根据这些数据，可以推得基本电荷e的数值为多少？ 解：油滴所带电荷为基本电荷的整数倍。则各实验数据可表示为kie。取各项之差点儿 (k2?k1)e?1.636?10?19C(k3?k2)e?3.296?10?19C(k4?k3)e?1.630?10?19C(k5?k4)e?3.350?10?19C(k6?k5)e?1.60?10?19C(k7?k6)e?3.18?10?19C(k8?k7)e?3.18?10?19C(k9?k8)e?3.24?10?19Ce?k的最小值接近1.60?10?19C,没有理由认为e?1.60?10?19C所以只能有k2?k1?k4?k3?k6?k5?1,k3?k2?k5?k4?k7?k6?k8?k?k9?k8?2e的数值有1.636,1.675,1.59,1.648,1.60,1.62,1.63,1.63(?10?19C),取平均值e?(1.629?0.046)?10?19C4、 根据经典理论，在正常状态下，氢原子中电子绕核作圆周运动，其轨道半径为5.29×10-11 米。已知质子电荷为e=1.60×10-19 库,求电子所在处原子核（即质子）的电场强度。 解： E? e11?5.14?10N/C 24??0r15、 两个点电荷，q1=+8微库仑，q2=-16微库仑（1微库仑=10-6库仑），相距20厘米。求离 它们都是20厘米处的电场强度。 E1 E q1 q2 E2 θ E θ E2 E1 4 E1?E2?q14??rq2201?1.8?106(N/C)?3.6?106(N/C) 4??0r22???解：E?E?E122E?E12?E2?2E1E2cos600?3.1?106(N/C)??arcsin(E11sin600)?arcsin()?300E2 与两电荷相距20cm的点在一个圆周上，各点E大小相等，方向在圆锥在上。 6、 如图所示，一电偶极子的电偶极矩P=ql.P点到偶极子中心O的距离为r ,r与l的夹角 为。在r>>l时，求P点的电场强度E在r=OP方向的分量Er和垂直于r方向上的分量Eθ。 解： Eθ E+ θ1 Er E??1q4??0r?21q?14??014??0E??4??0r?2??l4??0r2?()2?rlcos?2 qq1?l24??0r2?rlcos?2-q r?()?rlcos?2q1qr2?rlcos?E- r- θ2 r O θ r+ q P ???E?E??E?Er?E?r?E?r?E??E???E???其中—— q4??0q4??0(cos??cos??2qlcos?2pcos??)?? 4??0r34??0r3r?2r?2sin??sin??qlsin?psin??)??4??0r34??0r3r?2r?2(sin?lr?cos?sin?1?22cos?1?r?r? llsin?r?cos?22sin?2?os?2?r?r?7、 把电偶极矩P= ql的电偶极子放在点电荷Q的电场内，P的中心O到Q的距离为r(r>>l), 分别求：（1）P//QO和（2）P⊥QO时偶极子所受的力F和力矩L。 l5 解：（1）F?14??0(?qQqQ2pQ ?)?l2l24??0r3(r?)(r?)22Q r P O F的作用线过轴心O，力矩为零 F??F??Fx?0 （2） qQ形成一对力偶,对中点O有力矩224??0(r?l/4)Qp4??0r3Q r P O Fy?2F?cos??????Qp?rL?4??0r38、 附图中所示是一种电四极子，它由两个相同的电偶极子P=ql组成，这两偶极子在一直 线上，但方向相反，它们的负电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心为r 处， E?3Q(r??l)式中Q?2ql叫做它的电四极矩 44??0r+q –2q +q P r 解： ???1?q2qq?2q?r2?l2E??2???1???22?224??0??r?l?r?r?l??4??0r?r2(1?l)2? ??r2??2ql23Q2当r??l时E?3?(Q?2ql)2244??0rr4??0r9、附图中所示为另一种电四极子，设q 和l都已知，图中P点到电四极子中心O的距离 为 x.PO与正方形的一对边平行。求P点的电场强度E。当x>>l时，E=？ E?Ey?2E1y?2E2y?ql?11?? 解：????4??0??r2?rl?l2/2?32?r2?rl?l2/2?32???ql3l3ql2当r??l时,E??4??0r44??0r4+q -q O r P -q +q 10、均匀带电细棒（1）在通过自身端点的垂直面上和（2）在自身的延长线上的场强分布，设棒长为2l，带电总量为q . 解：（1）一端的垂直面上任一点A处 6 dE?dq4??0r2?(l?z)2 1r A r -l l-z +l 0 z dEz?dEcos? dEr?dEsin?11(?)?l228??0lrr?4l?l?q1Er??dEr??l4??0rr2?4l2Ez??dEz??lq（2）延长线上任一点B处 dEz? dq4??0(z?l)2?l?l1Ez??dEz??14??0z2?l2q 11、 两条平行的无限长直均匀带电线，相距为a ,电荷线密度分别为±ηe,（1）求这两 线构成的平面上任一点（设这点到其中一线的垂直距离为x）的场强；（2）求两线单位长度间的相互吸引力。 解：（1）根据场强叠加原理，任一点场强为两无限长直带电线产生场强的矢量和 当P点在两带电线之间E? +ηe, -ηe, ?e1a?e1(?)?2??0xa?x2??0x(a?x) 0 X 当P点在两带电线之外p ?a?e11E?e(?)?2??0xx?a2??0x(x?a)a ?e?e2dldF?dqE??edl?2??0a2??0a （2） ?dF?edl2??0a12、 如图所示，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q。（1）求轴线上离环中心 O为x处的场强E；（2）画出E—x 曲线；（3）轴线上什么地方场强最大？其值是多少？ 解：（1）由对称性可知，所求场强E的方向平行于圆环的轴线 27 dE?dq1q1?dl4??0x2?R28?2?0Rx2?R21?8?2?0Rx2?R2232 E?dEco?s??qx22?q22x8??0R(x?R)?2?R0dl?x?Rqxdl R O P x 4??0(x2?R2)32E （2）由场强表达式得到E-X曲线如图所示 （3）求极大值： dEqdxqR2?2x2??322dx4??0dx(x?R)24??0(x2?R2)52当r?R/2处E有极值Em?qR/24??0(R2/2?R2)320 R/√2 R x ?3q18??0R2 d2E3qx3R2?2x2d2E?2??当r?R/2时2?04??0(x2?R2)72dxdx?Em为极大值13、 半径为R的圆面上均匀带电，电荷面密度为σe，（1）求轴线上离圆心的坐标为x 处的场强；（2）在保持σe不变的情况下，当R→0和R→∞时结果各如何？（3）在保持总电荷Q=πR2σe不变的情况下，当R→0和R→∞时结果各如何？ 解：（1）由对称性可知，场强E沿轴线方向 利用上题结果 dq4??0(x2 ?e2?rdr?4??0(x2dE?E??dE?0Rx?r2)x?r)23232R ?xdr ?e2?0(x2?r2)32r O P x ?ex(1?)222?0x?R（2）保持σe不变时， R?0时,E?0;R??时,E??e 2?0（3）保持总电量不变时， 8 E??eQxx(1?)?(1?)222222?02??Rx?Rx?R 0Q4??0x2;R??时,E?0R?0时,E?14、 一均匀带电的正方形细框，边长为l，总电量为q ,求这正方形轴线上离中心为x 处的场强。 解：根据对称性，所求场强沿正方形的轴线方向 对于一段长为l的均匀带电直线，在中垂面上离中点为a处产生的电场强度为 ?E1?e4??0 ?2l?2ldxx2?a2x?a?ex2?a24??0al2?22l?2ldx(x2?a2)32 l O l l a r P ?a?e4??0?1?2?a??x2?a2???2l?el4??0aa?l/42l 正方形四边在考察点产生的场强为 qrr?4??0ar2?l2/4a4??0r2?l2/4r2?l2/2 ??qr当r??l时,E?4??0r3E?4E1co?s?4?el??15、 证明带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛物线。这抛物线在什么情况下退化为直线？ 解：（1）设带电粒子的初速度方向与电场方向夹角为θ，其运动方程为 x?v0cos?t1qE2t2m 消去时间t,粒子运动的轨迹方程y?v0sin?t?qEx2?抛物线??y?tg?x?22m(v0cos?)（2）当E为均匀电场且粒子的初速度为零时，或初速度平行于电场方向时，初速度 没有垂直于场强方向的分量，抛物线退化为直线。 x?v0t?y?01qE2t2m 16、 如图所示，示波管偏转电极的长度l=1.5cm,两极间电场是均匀的，E=1.2×104V/m(E 方向垂直于管轴)，一个电子以初速度v0=2.6×107m/s沿管轴注入。已知电子质量 9 m=9.1×10-31kg, 电荷为e=-1.6×10-19.C. （1） 求电子经过电极后所发生的偏转； （2） 若可以认为一出偏转电极的区域后，电场立即为零。设偏转电极的边缘到荧光屏 的距离D=10厘米，求电子打在荧光屏上产生的光点偏离中心O的距离。 解：（1）电子的运动方程得 dvx?0dtdvym?eE dtvx?v0mdyeEvy??tdtmP 偏转电极 ++++++++++ 电子V0 y′ y D O 荧光屏 ------------ l eE2eE?l?t?l?vxt?v0t?y? ?y?2m2m??v0抛物线的斜率为 (2 ) ??4???3.5?10m?0.35mm ?2dyeExdy??x?l??0.0462dxmv0dxy??y?ydy?4.6mm?y??5mmdx ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ §1.3 高斯定理 （1） 如果第二个点电荷放在高斯球面内； （2） 如果将原来的点电荷移离了高斯球面的球心，但仍在高斯球面内。 答：由于穿过高斯面的电通量仅与其内电量的代数和有关，与面内电荷的分布及面外电 荷无关，所以 （1）电通量??q1?0（2）电通量变为??不变； q1?q2?0；（3）电通量仍为??q1?0 4、（1）如果上题中高斯球面被一个体积减小一半的立方体表面所代替，而点电荷在立方体的 中心，则穿过该高斯面的电通量如何变化？（2）通过这立方体六个表面之一的电通量是多少？ 答：（1）立方形高斯面内电荷不变，因此电通量不变； （2）通过立方体六个表面之一的电通量为总通量的1/6。即??1q 6?010 1、 附图所示，在一个绝缘不带电的导体球的周围作一同心高斯面S。试定性地回答，在将一 正点荷q移至导体表面的过程中， S （1） A点的场强大小和方向怎样变化？ （2） B点的场强大小和方向怎样变化？ （3） 通过S面的电通量如何变化？ 答：由于电荷q的作用，导体上靠近A点的球面感应电荷-q′，远离A点的球面感应等量的+q′,其分布与过电荷q所在点和球心O的联线成轴对称，故±q′在A、B两点的场强E′沿AOB方向。 （1） E=E0+E′，q移到A点前，E0和E′同向，随着q的移近不断增大，总场强EA 也不断增大。q移过A点后，E0反向，且E0> E′，EA方向与前相反。随着q的远离A点，E0不断减小，±q′和E′增大，但因E′始终小于E0，所以EA不断减小。 （2） 由于q及±q′在B点的场强始终同向，且随着q移近导体球，二者都增大，所 以EB不断增大。 （3） q在S面外时，面内电荷代数和为零，故Φ=0；q在S面内时，Φ=q/ε0；当q在 S面上时，它已不能视为点电荷，因高斯面是无厚度的几何面，而实际电荷总有一定大小，此时Φ=△q/ε0，△q为带电体处于S面内的那部分电量。 2、 有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上，在此气球被吹大的过程中，下列各处的 场强怎样变化？ （1） 始终在气球内部的点；（2）始终在气球外部的点；（3）被气球表面掠过的点。 答：气球在膨胀过程中，电荷始终均匀分布在球面上，即电荷成球对称分布，故场强分 布也呈球对称。由高斯定理可知： 始终在气球内部的点，E=0，且不发生变化； 始终在气球外的点，场强相当于点电荷的场强，也不发生变化； 被气球表面掠过的点，当它们位于面外时，相当于点电荷的场强；当位于面内时，E=0，所以场强发生跃变。 3、 求均匀带正电的无限大平面薄板的场强时，高斯面为什么取成两底面与带电面平行且对称 的柱体的形状？具体地说， （1） 为什么柱体的两底面要对于带电面对称？不对称行不行？ （2） 柱体底面是否需要是圆的？面积取多大合适？ （3） 为了求距带电平面为x处的场强，柱面应取多长？ 答：（1）对称性分析可知，两侧距带电面等远的点，场强大小相等，方向与带电面垂直。 只有当高斯面的两底面对带电面对称时，才有E1=E2=E，从而求得E。如果两底在不对称，由于不知E1和E2的关系，不能求出场强。若已先证明场强处处相等，就不必要求两底面对称。 q A 导体球 B + 11 （2） 底面积在运算中被消去，所以不一定要求柱体底面是圆，面积大小也任意。 （3） 求距带电面x处的场强时，柱面的每一底应距带电面为x，柱体长为2x。同样，若已先证明场强处处相等，则柱面的长度可任取。 17、 求一对带等量异号或等量同号电荷的无限大平行平面板之间的场强时，能否只取一 个高斯面？ 答：如果先用高斯定理求出单个无限大均匀带电平面的场强，再利用叠加原理，可以得到两个无限大均匀带电平面间的场强。在这样的计算过程中，只取了一个高斯面。 18、 已知一高斯面上场强处处为零，在它所包围的空间内任一点都没有电荷吗？ 答：不一定。高斯面上E=0，S内电荷的代数和为零，有两种可能：一是面内无电荷，如高斯面取在带电导体内部；二是面内有电荷，只是正负电荷的电量相等，如导体空腔内有电荷q时，将高斯面取在导体中，S包围导体内表面的情况。 19、 要是库仑定律中的指数不恰好是2（譬如为3），高斯定理是否还成立？ 4??0r?? 穿过以q为中心的球面上的电通量为 ??E?dS?q，此时通量不仅与面内电荷 ??S?0r?有关，还与球面半径有关，高斯定理不再成立。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题： １、 设一半径为５厘米的圆形平面，放在场强为３００Ｎ／Ｃ的匀强电场中，试计算平面法 ００ 线与场强的夹角θ取下列数值时通过此平面的电通量。（１）θ＝０；（２）θ＝３０； ０００ （３）θ＝９０；（４）θ＝１２０；（５）θ＝１８０。 答：不成立。设库仑定律中指数为2+δ，E?1q 2????????E?dS???Ecos?dSSS解： ?1?0.75?N?m2/C2,?2?0.3753?;N?m2/C2,?3?0 .?4??0.375?;N?m2/C2?5??0.75?;N?m2/C2２、 均匀电场与半径为a的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。 解：通过半球面的电通量与通过半球面在 垂直于场强方向上的投影面积的电通量相等。 ????S??E?dS??E??ds???a2E S３、 如附图所示，在半径为Ｒ１和Ｒ２的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Ｑ１和Ｑ２， 求： （１）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布； （２）若Ｑ１＝－Ｑ２，情况如何？画出此情形的Ｅ－r曲线。 Q2 Q1 R1 O 12 R2 解：（１）应用高斯定理可求得三个区域内的场强为 ???Q1rE－r曲线E1?0(r 34??0r?Q?Q2?Ｅ E3?1r ( r> R2) 34??0r? ( 2 ) 若Ｑ１＝－Ｑ２，E1=E3=0, E2??Q1r 4??0r3r R1 R2 E－r曲线如图所示。 ４、 根据量子理论，氢原子中心是一个带正电子qe的原子核（可以看成是点电荷），外面是带 负电的电子云。在正常状态（核外电子处在Ｓ态）下，电子云的电荷密度分布是球对称的： ?e?r???qe?2r/a0 式中a0为一常数（它相当于经典原子模型中s电子圆形轨道e3?a0的半径，称为玻尔半径）。求原子内电场的分布。 解：电子云是球对称分布，核外电子的总电荷量为 qQ?????dV??e3V?a0??0e?2r/a04q?4?rdr??3ea02??0r2e?2r/a0dr??4qe2??qe 33a0?2/a0? 可见核外电荷的总电荷量等于电子的电荷量。 应用高斯定理：核外电荷产生的场强为 ??qe2E?dS?E?4?r??3??S??0a0?r0e?2ra0?4?r2dr2r2r??r4qe?1??ar2ea0?area0dr ??00?3?0?0a0?2?qr2r??(22?2?1)ea0?e?0a0a0?0? qe2r 原子核与核外电荷产生的总场强为 E总?E核?E外 2rq??221??a01?q??????e????22?a2arr2?4??0r24??0?r4??r?000????q?2r22r??a0 ??a2?a?1??e0?0?2r５、 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，Ｅ垂直于地面向下，大小约为１００Ｎ／Ｃ； 在离地面1.5千米高的地方，Ｅ也是垂直地面向下的，大小约为２５Ｎ／Ｃ。 （１） 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均密度； （２） 如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。 解：（１）以地心为心作球形高斯面，恰好包住地面，由对称性和高斯定理得 13 ??Q12E?dS?Ecos?dS?E?4?R?(Q1是S1包围电荷代数和)111????SS?0再以R?h为半径作同心球面 ??Q22E?dS?Ecos?dS?E?4?(R?h)?(Q2是S2包围电荷代数和)2??2??2S 相减4?R2(E1?E2)?h(2R?h)E2?(Q2?Q1)/?0Q2?Q1?4??0R2(E1?E2)???Q2?Q1?0(E1?E2)??4.4?10?13(C/m3)2h4?Rh?S??0（２） 以地球表面作高斯面 ??12E?dS?Ecos?dS??E?4?R?1??1??1SS?0???dS?S1?0?4?R2 ???0E??8.85?10?10C/m2６、 半径为Ｒ的无穷长直圆筒面上均匀带电，沿轴线单位长度的电量为λ.求场强分布，并画 出E－r曲线。 解：应用高斯定理，求得场强分布为 Ｅ＝０ r Ｅ ?E???r r>R 2??0r2r R E－r曲线如图所示。 ７、 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为Ｒ１和Ｒ２，筒面上都均匀带电。沿轴线单位长度 的电量分别为λ１和λ２， （１） 求各区域内的场强分布； （２） 若λ１＝－λ２，情况如何？画出此情形的E－r曲线。 解：（１）由高斯定理，求得场强分布为 r R1 ?E2?Ｅ ??r 2??0r2R1 R2 r r> R2 （２）若λ １ ????2?E3?1r 2??0r2２ ＝－λ，Ｅ１＝Ｅ３＝０，Ｅ２不变。此情形的E－r曲线如图所示。 ８、 半径为Ｒ的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷的体密度为ρ，求场强分布，并画出Ｅ— r曲线。 14 解：应用高斯定理，求得场强分布为 ???r 圆柱体内 E1?2?0Ｅ ??R2?圆柱体外 E2?r 22?0rE－r曲线如图所示 r R ９、 设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示 ??r???1??r/a???022 ， 式中r是到轴线的距离，ρ０是轴线上的密度值，a是常数，求场强的分布。 解：应用高斯定理，作同轴圆柱形闭合柱面为高斯面。 ??1E?dS?2?rLE???S?0?V??r?dV?2?L?0?V1??r/a?21??0?2dV ?1?0?V?1??r/a???0222?rLdr??0r2?r?2(1???)2?a?2?0a2?0rE?2?0(a2?r2)Ｅ方向沿矢径r方向。 １０、 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为±σ，求各区域的场强分布。 解：无限大均匀带电平面所产生的电场强度为 ??? E?n2?0根据场强的叠加原理，各区域场强分别为 E1 σ n E2 －σ ??????E1?(?n)?(?n)?02?02?0???????? En?(?n)?n2?2?02?0?0??????E3?n?n?02?02?0E3 可见两面外电场强度为零，两面间电场是均匀电场。平行板电容器充电后，略去边缘效应，其电场就是这样的分布。 １１、 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是σ，求各区域的场强分布。 ??? 解：与上题同理，无限大均匀带电平面所产生的电场强度为E?n2?0应用场强叠加原理，场强在各区域的分布为 15 ???????E1?(?n)?(?n)??n2?02?0?0???? E??n ?(?n)?022?02?0???????E3?n?n?n2?02?0?0σ n E1 E2 σ E3 可见两面间电场强度为零，两面外是均匀电场，电场强度大小相等，方向相反。 １２、 三个无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为σ１、σ２、σ３，求下列情况 各处的场强：（１）σ１＝σ２＝σ３＝σ；（２）σ１＝σ３＝σ；σ２＝－σ；（３）σ＝σ３＝－σ；σ２＝σ；（４）σ１＝σ；σ２＝σ３＝－σ。 ??? 解：无限大均匀带电平面所产生的电场强度为E?n2?0各区域场强为各带电面产生场强的叠加 Ｅ１ ?１ Ｅ２ ? 2?0?Ｅ３ ? 2?0?Ｅ４ 3? 2?0σ１ σ２ σ３ （１） 3? ?2?0（２） ? ?2?0（３） ? ?2?0（４） ? ?2?0 ? ?2?0??? ?2?0??? ?2?0??Ｅ１ Ｅ２ Ｅ３ Ｅ４ ? 2?03? 2?0? 2?0? 2?0? 2?0? 2?0１３、 一厚度为d的无限大平板，平板体内均匀带电，电荷的体密度为ρ，求板内、板外 场强的分布。 解：根据对称性，板内外的电场强度方向均垂直于板面，并对中心对称。 应用高斯定理可求得： ???板内（r ?0??d? 板外（r>d/2）E?r2?0r１４、 在半导体p-n结附近总是堆积着正、负电荷，在n区内有正电荷，P区内有负电荷， 两区电荷的代数和为零。把p-n结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，它们相互接触。取坐标x的原点在p、n区的交界面上，n区的范围是-xn≤x≤0,p区的范围是０≤x≤xP.设两区内电荷体密度分布都是均匀的： + n区 ?(x)?NDe， P区 ?(x)??NAe (突变结模型) + -xn + + + - - - - - - - - - O - - - - - - xp x 16 n区 p区 这里ＮＤ、ＮＡ是常数，且ＮＡxp=NDxn(两区电荷数量相等)。 试证明电场的分布为： n区 E(x)?NDe?0NAe(xn?x)， P区 E(x)??0(xp?x) 并画出ρ和Ｅ随x变化的曲线。 解：将带电层看成无数无限大均匀带电平面的叠加， 由叠加原理可知，在p-n结以外区域，E=0 （１） 对高斯面S1，应用高斯定理 ??1E?dS?ES?NpeS(xn?x)1?S?0S1 + + E1?1?0Npe(xn?x)-xn + + + （ 2 ）对高斯面S2，应用高斯定理 - - - - - - - - - O - - - - - - xp S2 x ??1E?dS?ES?NAeS(xp?x)2?Sn区 p区 ?0E1?1 ?0NAe(xp?x) （ 3 ）ρ和Ｅ随x变化的曲线如图所示。 ρ - -xn 0 xp x １５、 如果在上题中电荷的体分布为 p-n结外 ρ（x）=0 E -xn 0 xp x -xn≤x≤xp ρ（x）=-eax (线性缓变结模型) 这里a 是常数，xn= xp（为什么？），统一用xm/2 表示。试证明电场分布为 E(x)?ae2(xm?4x2)并画出ρ和Ｅ随x变化的曲线。 8?0解：正负电荷代数和仍为零，p-n结外E=0 作高斯面 ??1E?dS?ES??S2eaS2eaSxm22(?eax)Sdx?(x?x)?(?x)n?0??xn2?02?04xE?ea2(xm?4x2)8?017 ρ和Ｅ随x变化的曲线如图所示。 E ρ -xn 0 xp x -xn 0 xp x ---------------------------------------------------------------------- §1.4 电位及其梯度 思考题： １、 ?Q?假如电场力的功与路径有关，定义电位差的公式UPQ?U(P)?U(Q)??E?dl还有 P没有意义？从原则上说，这时还能不能引入电位差、电位的概念？ ?Q?答：如果电场力的功与路径有关，积分?E?dl在未指明积分路径以前就没有意义，路 P径不同，积分结果也不同，相同的位置，可以有无限多取值，所以UPQ?U(P)?U(Q)就没有确定的意义，即不能根据它引入电位、电位差的概念来描写电场的性质。 ２、 （1）在附图a所示的情形里，把一个正电荷从P点移动到Q，电场力的功APQ是 正还量负？它的电位能是增加还是减少？P、Q两点的电位哪里高？（2）若移动负电荷，情况怎样？（3）若电力线的方向如附图b所示，情况怎样？ 答：(1)正电荷在电场中任一点受电场力F= qE，方向与该点E方向相 同，在ＰＱ路径上取任一微元， dA>0 P→Q，电场力的功APQ >0， P APQ=q(UP-UQ)=Wp-WQ>0,所以电位能减少， q>o ,A>0,所以ＵＰ>UQ Q 图b P Q 图a （２）负电荷受力与电场方向相反，P→Q，电场力的功APQ<0，电位能增加，但仍有 ＵＰ>UQ （３）由于场强方向与前述相反，则所有结论与（１）（２）相反。 ３、 电场中两点电位的高低是否与试探电荷的正负有关？电位差的数值是否与试探电 荷的电量有关？ 答：电位高低是电场本身的性质，与试探电荷无关。电位差的数值也与试探电荷的电量无关。 ４、 沿着电力线移动负试探电荷时，它的电位能是增加还是减少？ 18 答：沿着电力线移动负试探电荷时，若dl与Ｅ同向，电场力作负功，电位能增加；反之电位能减少。 ５、 说明电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高。 答：在任何情况下，电力线的方向总是正电荷所受电场力的方向，将单位正电荷逆着电力线方向由一点移动到另一点时，必须外力克服电场力作功，电位能增加。电场中某点的电位，在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电位能，因此，电位永远逆着电力线方向升高。 ６、 （1）将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力作用下，这电子是向电场中高 电位处跑还是向低电位处跑？为什么？（2）说明无论对正负电荷来说，仅在电场力作用下移动时，电荷总是从电位能高处移向电位能低处。 答：（１）电子带负电，被电场加速，逆着电力线方向运动，而电场中各点的电位永远逆着电力线方向升高——电子向高电位处移动。 （２）若电子初速度为零，无论正负电荷，单在电场力作用下移动，电场力方向与位移方向总是一致的，电场力作正功，电位能减少，所以电荷总是从电位能高处向电位能低处移动。 ７、 可否规定地球的电位为+100伏，而不规定它为零？这样规定后，对测量电位、电 位差的数值有什么影响？ 答：可以。因为电位零点的选择是任意的，假如选取地球的电位是100V而不是0V，测量的电位等于以地为零电位的数值加上100V，而对电位差无影响。 ８、 若甲、乙两导体都带负电，但甲导体比乙导体电位高，当用细导线把二者连接起 来后，试分析电荷流动的情况。 答：在电场力作用下，电荷总是从电位能高处向电位能低处移动。负电荷由乙流向甲，直至电位相等。 ９、 在技术工作中有时把整机机壳作为电位零点。若机壳未接地，能不能说因为机壳 电位为零，人站在地上就可以任意接触机壳？若机壳接地则如何？ 答：把整机机壳作为零电位是对机上其他各点电位而言，并非是对地而言。若机壳未接地，它与地之间可能有一定的电位差，而人站在地上，与地等电位，这时人与机壳接触，就有一定电位差加在人体上。当电压较高时，可能造成危险，所以一般机壳都要接地，这样人与机壳等电位，人站在地上可以接触机壳。 １０、 （1）场强大的地方，是否电位就高？电位高的地方是否场强大？ （２） 带正电的物体的电位是否一定是正的？电位等于零的物体是否一定不带 电？ （３） 场强为零的地方，电位是否一定为零？电位为零的地方，场强是否一定为 零？ 19 （４） 场强大小相等的地方电位是否相等？等位面上场强的大小是否相等？ 以上各问题分别举例说明之。 答： （１） 不一定。E仅与电势的变化率有关，场强大仅说明U的变化率大，但U本身 并不一定很大。例如平行板电容器，B板附近的电场可以很强，但电位可以很低。同样电位高的地方，场强不一定大，因为电位高不一定电位的变化率大。如平行板电容器A板的电位远高于B板电位，但A板附近场强并不比B板附近场强大。 （２） 当选取无限远处电位为零或地球电位为零后，孤立的带正电的物体电位恒为 正，带负电的物体电位恒为负。但电位的正负与零电位的选取有关。假如有两个电位不同的带正电的物体，将相对于无限远电位高者取作零电位，则另一带电体就为负电位，由引可说明电位为零的物体不一定不带电。 （３） 不一定。场强为零仅说明U的变化率为零，但U本身并不一定为零。例如两 等量同号电荷的连线中点处，E=0而U≠0。U为零时，U的变化率不一定为零，因此E也不一定为零。例如两等量异号电荷的连线中点处，U=0而E≠0 （４） 场强相等的地方电位不一定相等。例如平行板电容器内部，E是均匀的，但 U并不相等。等位面上场强大小不一定相等。如带电导体表面是等位面，而表面附近的场强与面电荷密度及表面曲率有关。 １１、 两个不同电位的等位面是否可以相交？同一等位面是否可以与自身相交？ 答：在零电位选定之后，每一等位面上电位有一确定值，不同等位面U值不同，故不能相交。同一等位面可与自身相交。如带电导体内部场强为零，电位为一常量，在导体内任意作两个平面或曲面让它们相交，由于其上各点的电位都相同，等于导体的电位，这种情况就属于同一等位面自身相交。 习题： １、 在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为100MV（十亿伏特），通过的 电量约为30C。问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从0C加热到100C？ 解： 一次闪电消耗的能量为 W=QU=30×109=3×1010（J） 所求的水的质量为M=W/J=72（t） ２、 已知空气的击穿场强为2×10V/m,测得某次闪电的火花长100米，求发生这次闪 6 0 0 电时两端的电位差。 解：U=2×106×100=2×108（V） ３、 证明：在真空静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处 20 处相等；或者凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。 证明：在电场中作任意矩形闭合回路 abcd， 移动电荷q一周，电场力作功为 A?q(Eab?Ecd)l?0Eabd a c b ?Ecd场强大小处处相等-6 ４、 求与点电荷q=1.0×10C分别相距为a=1.0m和b=2.0m的两点间的电位差。 解：Uab?５、 11(?)?4.5?103(V) 4??0abq一点电荷q在离它10厘米处产生的电位为100V，求q 。 解：U?６、 q4??0r?q?U?4??0r?1.11?10?9C 求一对等量同号电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是q ,两者之间距离为2l. E?解： q4??0l2q4??0l?q4??0l2q?0 U?７、 2l. ?4??0l?2q4??0l求一对等量异号电荷联线中点的场强和电位，设电荷分别是±q ,两者之间距离为 E?解： q4??0lq4??0l2?q4??0lq2?2q4??0l2方向由?q指向?q U?８、 ?4??0l?0如图所示，AB=2l,OCD是以B为中心，l为半径的半圆，A点有正点电荷+q，B点 有负点电荷-q。 （１） 把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作了多少功？ （２） 把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远去，电场力对它作了多少功？ 解：电荷在电场中移动时，电场力作功等于电势能减少的值。 ?D??D?W??F?dl??E?dl?UD?UD??UDOO（1） ?q?q?q???????4??0(3l)4??0l?6??0l q C -q A O B D 21 （2） ??????W??F?dl??E?dl??(UD?U?)??UDDD?q?q?q???????4??0(3l)4??0l?6??0l ９、 两个点电荷的电量都是q，相距为l，求中垂面上到两者联线中点为x处的电位。 P q2??0?l?x????2?22解：根据电势的叠加原理 U?2q4??0r? x q q １０、 有两个异号点电荷me 和-e(n>1),相距为a , （１） 证明电位为零的等位面是一个球面； （２） 证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在-e点电荷的外边； （３） 这球的半径是多少？ 解：以-e为原点O，两电荷的联线为x轴，取坐标系如图所示。根据电势叠加原理，空间 任一点的电势为 U??e4??0x2?y2?z2?ne4??0(x?a)2?y2?z2令U?0,得到(x?a)2?y2?z2?n2(x2?y2?z2)(n2?1)(x2?y2?z2)?2ax?a2?02axa2x?y?z?2??0n?1n2?1ana(x?2)2?y2?z2?(2)2n?1n?1ana这是一个球面,球心在(?2,0,0)点,半径为R?2n?1n?1a因n?1,故?2?0即球心在?e的外边n?1222z y -e a ne x １１、 求电偶极子p=ql电位的直角坐标表达式，并用梯度求出场强的直角分量表达式。 解：（1）取坐标系如图所示，根据电势叠加原理 U?q?1?1?????4??0??r?r??????z p x O P(x,y,z) q?11???24??0?x2?y2??z?l/2?2x2?y2??z?l/2??y 22 ??11???2??x2?y2??z?l/2?222x?y??z?l/2????12?12当r>>l时， ???1l2/4?zl?l2/4?zl??????1?x2?y2?z2?????1?x2?y2?z2???x2?y2?z2?????????1l2/4?zll2/4?zl?zl?1??1??2??2222222(x?y?z)?(x?y2?z2)32x2?y2?z2?2(x?y?z)U?zlpz ?22232222324??0(x?y?z)4??0(x?y?z)qEx???Up3xz??x4??0(x2?y2?z2)52?y3yz 222524??0(x?y?z)p（2）由电势梯度求得场强为E???U?y?Up2z2?x2?y2Ez????z4??0(x2?y2?z2)52１２、 证明如图所示电四极子在它的轴线延长线上的电 Q位为U?(r?l)，并由梯度求场强。4??0r31+q –2q +q P r 其中Q?2ql2为电四极矩 解：取坐标系如图所示，根据电势的叠加原理 U??q??1?1?2??Q(r??l,Q?2ql2)34??0?r? ?r?lr?l?4??0r?U3QE????r4??0r4１３、 一电四极子如图所示，证明：当r>>l时，它在P（r,θ）点产生的电位为 2?co?s U??3qlsin(r??l)图中的极轴通过正方形中心O点，且与一边平行。 34??0rP(r, θ) +q -q l 解：（1）根据电势叠加原理 r U?q?1?11?1? ??????4??0?rrrr4??12?3l θ O l 极轴 l +q -q 23 l1?l?l?l?r1?r??cos(1350??)?r1????(sin??cos?)??2r2?r?r2?2?222l1?l?l?l?20r?r??2rcos(45??)?r1??(sin??cos?) ????2 2rr2???2?l1?l?l?l?r3?r??cos(450??)?r1????(si?n?co?s)??2r2rr2???2?22222l1?l?l?l?0r4?r??cos1(35??)?r1????(si?n?co?s)??2r2rr22????222 当r>>l时，(1?x)2?12?1?135x?x2?x3?(x2?1) 2816?122?11?1?l?l??1????(sin??cos?)?r1r?r??2?r??2?11?1?l?l??1????(sin??cos?)?r2r?r??2?r??2?11?1?l?l??1????(sin??cos?)?r3r?r??2?r???1?1l2l3l23l2??1??(sin??cos?)??sin?cos???r?4r22r8r24r2??1?1l2l3l23l2??1??(sin??cos?)??sin?cos???r?4r22r8r24r2??1?1l2l3l23l2??1??(sin??cos?)??sin?cos???r?4r22r8r24r2??1?1l2l3l23l2??1??(sin??cos?)??sin?cos???r?4r22r8r24r2??12?122?11?1?l?l??1????(sin??cos?)?r4r?r??2?r???12?q?1?11?1?1?l23ql2sin?co?s ?U? ???????3sin?co?s????23??4??0?r1r2?r3r4?r?r4??0r?（2）由电势梯度求场强 ??U?1?U?E???U??er??e?r?rr?? 3ql2??2??3sin?cos?e?(2cos??1)e?rr44??0r?? 此题也可以将平面电四极子当作两个电偶极子，由电偶极子产生的电势叠加求U及E。 １４、 求均匀带电圆环轴线上电位的分布，并画U—x 曲线。 解：（1）P点的电势及场强为 U??dq4??0x?R22?q4??0x?R ?qx22R O P x ??UE???U????x4??x2?R20??32（2）由电势表达式得 24 qxqdU???x?0时,U有极大值U?max3dx4??0R4??0?x2?R2?2 q(R2?2x2)d2UR???x?处是拐点5222dx224???x?R?0因此得U-x曲线为 U Q/4πε0R 拐点 x R/√2 R 2R １５、 求均匀带电圆面轴线上的电位分布，并画U—x 曲线。 解：（1）利用上题结果，求得电位及场强分布为 qx2?R2?|x|?22U?????(x?R?|x|)?()20022222?2??R004??0x?r4??0x?r ?????q?Uxx?xxE???U???(?)?(?)2222?x2??0R2x2?x0x?Rx?RRdqR?2?rdr （2）由电势表达式得 dU?x?(?1)22dx2?0x?R 22dU?R?2?0x2?R232dx2U q/2πε0R ??x U—X曲线如图所示 １６、 求两个均匀带电的同心球面在三个区域内的电位分布，并画U—r 曲线。 解：（1）已知均匀带电球面产生的电场中电位的分布为 U?U?Q4??0rQ4??0R(r?R)(r?R)Q2 Q1 O R1 R2 由电势叠加原理可知： U1?14??01(Q1Q2?)(r?R1)R1R2U Q1Q2U2?(?)(R1?r?R2)4??0rR2U3?Q1?Q2(r?R2)4??0r1r R1 R2 （2）U-r曲线如图所示 １７、 在上题中，保持内球上电量Q1不变，当外球电量Q2改变时，试讨论三个区域内的 25 电位有何变化？两球面之间的电位差有何变化？ 解：保持Q1不变，当外球电量Q2变化时，各区域电位随之变化 14??01Q1Q2??Q?)(r?R1)R1R2U1?(Q1Q2??Q电位差?U?U2R?U1R?1???保持不变 ??U2?(?)(R1?r?R2)4??0?R2R1?4??0rR2U3?Q1?Q2??Q(r?R2)4??0r1Q?11?１８、 求均匀带电球体的电位分布。并画U—x 曲线。 解：（1）由高斯定理可求得场强分布为 ?E1??E2?Q4??0RQ4??0r33?r(r?R) O R ?r(r?R)（2）由场强求得电势为 UP???r??E?dlr2 U1?(3?2)(r?R)8??0RRQU2?(r?R)4??0rQ （3）U—r曲线如图所示 3Q 8??0RQ4??0RU r R １９、 金原子核可当作均匀带电球，半径约为6.9×10米，电荷为Ze=79×1.6×10C, 求它表面上的电位。 解：U?Q4??0R(r?R)?1.64?107V -15-19 ２０、 （1）一质子（电荷为e=1.6×10C,质量为1.67×10kg）,以1.2×10m/s的初 速从很远的地方射向金原子核，求它能达到金原子核的最近距离。 （2）α粒子的电荷为2e，质量为6.7×10kg,以1.6×10m/s的初速度从很远的地方射向金原子核，求它能达到金原子核的最近距离。 解：由能量守恒定律得 -27 2 -19-272 12179e(Ze)2?79Ze2mv0??rmin? 224??0rmin4??0mv026 （1）rmin2?79Ze2?13??1.5?10m 24??0mv0（2） rmin2?79?2Ze2?14??4.2?10m 24??0mv0-11 2 1 、在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为5.29×10m,已知氢原子核（质子） 和电子带电各为±e。把氢原子中的电子从正常状态下离核的最近距离拉开到无穷远处所需的能量，叫做氢原子核的电离能。求此电离能是多少电子伏和多少焦耳。 解：设电子的质量为m，速度为v,氢原子基态的能量为 (?e)e11e222W?mv??mv?24??0a24??0av2e2 电子的运动方程为m?a4??0a2?W?e28??0a?e24??0a??e28??0a??2.18?10?18J??13.6eV 负号是因为，以电子和质子相距无穷远时为电势能的零点，要把基态氢原子的电子和质子分开到相距无穷远处，需要外力做功。这功的最小值便等于氢原子的电离能量E E=-W=-13.6eV 一摩尔氢原子的电离能量为 Emol=NAE=8.19eV=1.31×10(J) 2 2、 轻原子核（如氢及其同位素氘、氚的原子核）结合成为较重原子核的过程，叫做核 聚变。核聚变过程可以释放出大量能量。例如，四个氢原子核（质子）结合成一个氦原子核（α粒子）时，可释放出28MeV的能量。这类核聚变就是太阳发光、发热的能量来源。如果我们能在地球上实现核聚变，就可以得到非常丰富的能源。实现核聚变的困难在于原子核都带正电，互相排斥，在一般情况下不能互相靠近而发生结合。只有在温度非常高时，热运动的速度非常大，才能冲破库仑排斥力的壁垒，碰到一起发生结合。这叫做热核反应。根据统计物理学，绝对温度为T时，粒子的平均平动动能为 6 123mv?kT，k=1.38×10-23J/K.试计算： 22一个质子以怎样的动能（以eV表示）才能从很远的地方达到与另一个质 （１） 子接触的距离？ （２） 平均热运动动能达到此数值时，温度（以K表示）需为多少？ 27 解：（1）设两个质子迎头相碰，碰撞时两者中心距离为2r 12e21e2 2Ek?2mv??Ek??3.6?105eV 24??0(2r)24??0(2r)1231e2 (2) 2mv?2?kT?T??3?109K 223k4??0(2r) 实际上，由于量子力学的隧道效应，使质子不需要那么大的动能就可以穿过静电壁垒而达到互相接触，故发生热核聚变所需的温度可以低一些，据估算，10K即可。 ２３、在绝对温度为T时，微观粒子热运动能量具有KT的数量级。有时人们把能量KT折合成电子伏，就说温度T为若干电子伏。问： （１） T=1eV相当于多少开？ （２） T=50keV相当于多少开？ （３） 室温（T=300K）相当于多少 eV? 解： （1）T1eV? （2）T50eV （3）T300K 又如： 太阳表面温度约为6000K，T=0.52eV 热核反应时温度高达10K，T=8.6(keV) ２４、电量q均匀地分布在长为2l的细直线上，求下列各处的电位U： （１） 中垂面上离带电线段中心O为r处，并利用梯度求Er; （２） 延长线上离中心O为Z处，并利用梯度求EZ； （３） 通过一端的垂面上离该端点为r 处，并利用梯度求Er. 解：（１）中垂面上离中心为r1处， 8 8 1eV?1.16?104K k50eV??5.8?108K k300K?2??2.6?10eV 41.16?10K/eV28 U1???qdq4??0rln?q8??0l?ldxx2?r12q4??0llnl2?r12?lr1?ly l2?r12?ll?r?l221 8??0l??UE1x???1?0?x?UE1z???1z?0?z?U1y?U1yqE1y???????y?r14??0r1 l z O l x 1l2?r12（２）延长线上离中心为r2 处 U2??qdq4??0r?dx8??0l??lr2?xlqr?l??ln(2)8??0lr2?lE2x?U2?U2q1???????x?r24??0r22?l2?U2z?0?z?U2y????0?yy O x E2z???E2yz ( 3 )端垂面上离该端为r3处， U3??dq4??0rq8??0ll?l?l?q?ldx(l?x)?rdx223?l?q8??0llnr32?4l2?2lr3U(a,r3,0)?y O l z l x 8??0(a?x)2?r32 ?q8??0llna?l?(a?l)2?r32a?l?(a?l)2?r32E3x???E3y???E3z????U31q11|a?l?(?)22?a8??0lr3r3?4l?U3y?y?q4??0r311r32?4l2?U3z?0?z２５、如图所示，电量q均匀地分布在长为2l的细直线上， （１） 求空间任一点P（r,z）的电位U(0 r 29 P(r,z) z l l 解：(１)在图示坐标系中， U(r,z)?8??0l??lr2?z2z?l?r2?(z?l)2z?l?r2?(z?l)2qldzO ?q8??0lln （２）由电势梯度求场强 ??11???22222222?(z?l)r?(z?l)?r?(z?l)??(z?l)r?(z?l)?r?(z?l)? ?q??U11??Ez????22?z8??0l?r2?(z?l)2?r?(z?l)??qr?UEr????r8??0l （３）与上题比较： r＝r1,z=0时, 得中垂面上任一点的电位与场强 r=0,Z=r2时，得延长线上任一点的电位与场强 r＝r3,Z=|l|时，得端面上任一点的电位与场强 ２６、一无限长直线均匀带电，线电荷密度为η，求离这线分别为r1和r±两点的两点之间 的电位差。 解：?U??r2r1??r2?r2dr?E?dl??ln 2??0?r1r2??0r1２７、如附图所示，两条均匀带电的无限长平行直线（与图纸垂直），电荷的线密度分别为 ±η，相距为2a。求空间任一点P（x,y）的电位。 解：取Ｏ点为电势零点时，空间任一点的电势为两无限长带电线电势的叠加 U?U??U?a??a ??ln ?ln(2??0(x?a)2?y22??0(x?a)2?y2(x?a)?y??(x?a)?y?ln?ln222??0(x?a)2?y24??0(x?a)?y2222y P(x,y) -η O a a +η x 若以无穷远处为电势零点，一条无限长带电线所产生的电势是无穷大，但两条无限长带等量异号电荷的直线产生的电势是有限值，因为单位长度的电荷量大小相等而符号相反，结果电势在相加时，消去无穷大，而成为有限值。 ２８、证明在上题中电位为U的等位面是半径为r?2ka的圆筒面，筒的轴线与两直线共k2?1k2?12??U/?面，位置在x?2。Ｕ＝０的等位面是什么形状？ a处，其中k?e0k?1解：P点的电势为 30 y P(x,y,z) a O a -η η x ?(x?a)2?y2 U?ln4??0(x?a)2?y2 由于对称性，U与z无关。 e2??0U/??(x?a)2?y2???22??(x?a)?y?2??0U/?12 为方便，令k?ek2?122ka2，(x?2a)?y2?(2) k?1k?1 在三维空间，这是一个圆柱同，轴线在z-x平面内并与Z轴平行，位置在 k2?12ka。 x?2a处，其半径为r?2k?1k?1 U=0的等位面为X=0的Y-Z平面。 ２９、求两无限长共轴圆筒间的电势分布和两筒间的电位差（设?1???2），并画出Ｕ—r 曲线。 解：根据高斯定理可求得两筒间的电场强度为 E??12??0rU R2 ?两筒之间的电势分布为U??r1???RE?dl?1ln2 2??0rO R1 R2 r 两筒间的电势差为?U??R2R1???RE?dl?1ln22??0R1３０、求无限长直圆柱体的电位分布（以轴线为参考点，设它电位为零）。 解：由高斯定理可求得圆柱体内的场强分布为 E1??r(r?R)2?0 ?R2E2?(r?R)2?0r???2以轴线为电势零点,电势分布为U1??E1?dl??r(r?R)r14?0?0???R2R?R2R?U2??E2?dl??E1?dl?ln?(r?R)r1R2?0r4?00３１、求电荷密度为 ?1??r/a???022的无限长等离子体柱的电势分布（以轴线为参考点，设 它的电位为零） 解：由高斯定理可求得场强分布为 31 ??1E?dS?2?rLE???S?0?V?1??r/a???022dV E?a?0r2?0(a2?r2)2 以轴线为电势零点，其电位分布为 U??0r??0E?dl??r?a2?0ra2?0a dr?ln22222?02?0(a?r)a?r３２、一电子二极管由半径a=0.50mm的圆柱形阴极Ｋ和套在阴极外同轴圆筒形的阳极Ａ构成，阳极半径Ｒ＝0.45cm。阳极电位比阴极电位高３００Ｖ。设电子从阴极发射出来时速度很小，可忽略不计。求： （１） 电子从Ｋ向Ａ走过2.0mm时的速度； （２） 电子到达Ａ时的速度。 解：设离阴极K的轴线为r 处的电势为U，则 U?UK??ar??0?dr?aE?dl???lnr2??r2??0r0阳极A与阴极K之间的电势差为UA?UK??U?UK??UA?UK?ln(a/r)ln(a/R)?aln2??0R设电子质量为m,离K的轴线为r时的速度为v则由能量守恒定律得112mv2?(?e)U?mv0?(?e)UK?(?e)UA222e(U?UK)2e(UA?UK)ln(a/r)v??mmln(a/R)当r?2.0mm时,v?2e(UA?UK)ln(a/r)?8.2?106(m/s)mln(a/R)2e(UA?UK)?1.03?107(m/s)m 当r?R?4.5mm时, v?３３、如图所示，一对均匀、等量异号的平行带电平面。若其间距离d远小于带电平面的线度时，这对带电面可看成是无限大的。这样的模型可叫做电偶极层。求场强和电位沿垂直两平面的方向x 的分布，并画出Ｅ—x曲线和Ｕ—x曲线（取离两平面等距的Ｏ点为参考点，令该处的电位为零）。 -σ +σ 32 O d x 解：由高斯定理可求得电偶极层内部 E?? ?0电偶极层外部 E?0 以O点为电势的参考点 d??0???d(x??)UPO??E?dl??E?dl??2x?d/22?0dd??x0?(??x?) U??E?dl?22?d/2?0??d0?U??E?dl?d/22?0xd(x?.)2Ｅ－x曲线为 Ｕ－x曲线为 UＥ ３４、证明半导体突变型p-n结内的电位分布为 n区 U(x)??-d/2 O d/2 -d/2 O d/2 x x NDe?0NAe(xnx?12x), 212x) 2 p区 U(x)???0(xpx?这公式是以哪里作为电位参考点的？p-n结两侧的电位差是多少？ 解：n区 U(x)??E?dl??x0??0NDex?0(xn?x)dx??NDe?0(xnx?12x) 2 p区 U(x)??0x??0NAeNe1E?dl??(xp?x)dx??A(xpx?x2) x??020 以交界面处为电势的零点。P-n结两侧的电势差为 ?U?UP?Un??e2?022(NDxn?NAxP) 2xaex3xm３５、证明半导体线性缓变p-n结内的电位分布为U(x)?(?) 2?034 这公式是以哪里作为电位参考点的？p-n结两侧的电位差是多少？ 33 解：（１）U(x)??0x2??0aexaex3xm22E?dl??(xm?4x)dx?(?) x8?2?0340此电位是以Ｏ点为参考点的。 （２）p-n结两侧的电位差为 ?U??ae2xm 12?0３６、在示波管中，若已知的不是偏转电极间的场强Ｅ，而是两极板间的距离d=1.0cm和 电压１２０伏，其余尺寸相同。求偏转距离y和y′. 解：示波器内部E??U?1.2?104V/m d y?1at2?1eU(l)2?0.35mm 22mdv0 y??偏转电极 ++++++++++ 电子V0 P y′ y D O 荧光屏------------ l 1eUl2eUlD?l/2eUlD()???5mm 22mdv0mdv0v0mv0d （与§２习题１６结果相同） ３７、电视显象管的第二和第三阳极是两个直径相同的同轴金属圆筒。两电极间的电场即 为显象管中的主聚焦电场。图中所示为主聚焦电场中的等位面，数字表示电位值。试用直尺量出管轴上各等位面间的距离，并求出相应的电场强度。 解：用直尺量出管轴上各等位 0.03 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.95 0.97 面间的距离 ?U 根据 E? ?x 可求出各等位间的电场强度—— U2=+1V 中心轴 U1=0V 场强分布是非均匀电场，但具有对称性。从左至右各等位面间的场强分布为 （单位：伏／米） 4.44 9.09 22.22 33.33 50 66 50 33.33 22.22 9.09 4.44 ３８、带电粒子经过加速电压加速后，速度增大。已知电子的质量为m?9.11?10电荷绝对值为e?1.6?10?19?31kg, C 34 （１） 设电子质量与速度无关，把静止电子加速到光速c=3×108m/s要多高的电压？ （２） 对于高速运动的物体来说，上面的算法不对，因为根据相对论，物体的动能不是 121mv，而是mc2(?1)。按照这公式，静止电子经过上述电压加速后， 2221?v/c速度v是多少？它是光速c的百分之几？ （３） 按照相对论，要把电子从静止加速到光速，需要多高的电压？这可能吗？ 解：（１）根据能量守恒定律 112m0v2?(?e)U?m0v0?(?e)U022 令v0?0,v?c,m0v2所需电压为U?U0???2.56?105V2(?e) （２）对于高速运动的物体，根据能量守恒定律 112m0v2?(?e)U?m0v0?(?e)U022m0c2U?U0??2(?e) v221?2?3cv5??0.745?74.5?v?2.23?108(m/s) （３）根据 112m0v2?(?e)U?m0v0?(?e)U0 22 所需电压为 m0c21U?U0?(?1)22 (?e)1?v/c当v?c时,所需电压为无穷大 因此，根据狭义相对论，不可能把带电粒子加速到光速。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― §1.5 带电体系的静电能 思考题： 35 1n１、 为什么在点电荷组相互作用能的公式We??qiUi中有因子１／２，而点电荷在外 2i?1电场中的电位能公式Ｗ(P)＝qU(P)中没有这个因子？ 答：在计算点电荷组的相互作用能时，每一对点电荷之间的相互作用能计算了两两次，所以求和公式中有因子１／２。点电荷在外电场中的电位能公式没有重复计算。 ２、 在电偶极子的位能公式Ｗ＝－Ｐ·Ｅ中是否包括偶极子的正、负电荷间的相互作用 能？ 答：公式中的电场是外电场，因此此位能不包括偶极子正负电荷之间的相互作用能。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题： １、 计算三个放在等边三角形三个顶点的点电荷的相互作用能。设三角形的边长为l， q l q q 顶点上的点电荷都是q。 解：根据点电荷组的相互作用能公式 1n1qq3q2 We??qiUi?3q(?)?2i?124??0l4??0l4??0l２、 计算上题三角形中心的电荷q′= ?q3处在其余顶点上三个 q l 电荷产生的外电场中的电位能。 解：We?q??Ui?i?1n?q3q2 3??4??0l34??0(l/3)qq q ３、 求均匀带电球体的电位能，设球的半径为Ｒ，带电总量为q。 解： 根据静电能量公式 We?1?eUdV 2?V??q43?R3q3r2均匀带电球体内部任一点的电位为U?(?) 8??0RR313q2We???eUdV?2V20??0R４、 利用虚功概念计算电偶极子放在点电荷Ｑ的电场中时，偶极子所受的力和力矩。 36 解：（１）P//QO时 W//?qQ11(?)ll4??0r?r?22??pQpQ ?WF?????F???r2??0r32??0r3L?Q r P O ?W?0??qQ(4??01?l?r2????2?2 （２）Ｐ⊥QO时 W???1?l?r2????2?2Q r )?0P O F?? ?W?0?rQ r 1ll(r?co?s)2?(sin?)222?1ll(r?co?s)2?(sin?)222)当r与Ｐ成夹角θ时， W?qQ(4??0P θ O F??L??W|??0?r??2 Qp?W|??????24??0r2２ ０ ５、 利用虚功概念证明：均匀带电球壳在单位面积上受到的静电排斥力为σ／２ε。 解：均匀带电球壳的自能为 We?q28??0R ??q4?R2?Wq2?2F????4?R22?R8??0R2?0F?2单位面积所受的斥力为?22?04?R 第一章 结 束 37