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随机前沿模型（SFA）原理和软件实现
一、SFA原理
在经济学中，常常需要估计生产函数或者成本函数。生产函数f(x)的定义为：在给定投入x情况下的最大产出。但现实中的产商可能达不到最大产出的前沿，为了，假设产商i的产量为：
yi?f(xi,?)?i （1） 其中，?为待估参数；?i为产商i的水平，满足0??i?1。如果?i=1，则产商i正好处于效率前沿。同时，考虑生产函数还会受到随机冲击，故将方程（1）改写成：
yi?f(xi,?)?ievi （2）
其中，evi?0为随机冲击。方程（2）意味着生产函数的前沿f(xi,?)ev是
i随机的，故此类模型称为“随机前沿模型”（stochastic frontier model）。随机前沿模型最早由Aigner, Lovell and Schmidt(1977)提出，并在实证领域运用广泛，Kumbhakar and Lovell(2000)为该领域的研究写了一本著作，有兴趣的同学可以去参考。
假设f(xi,?)?e?x1i??xki?（柯布道格拉斯生产函数，共有K个投入品），则
o1k对方程（2）取对数可得：
lnyi=?0+?k?1?klnxki?ln?i??i （3）
K由于0??i?1，故ln?i?0。定义ui=-ln?i?0，则方程3可以写成：
lnyi=?0+?k?1?klnxki??i-ui
K其中，ui?0为“无效率”项，反映产商i距离效率前沿面的距离。混合扰动项
?i??i??i分布不对称，使用OLS估计不能估计无效率项ui。为了估计无效率项ui，
?i的分布作出假设，并进行更有效率的MLE（最大似然估计）估计。 必须对?i、一般，无效率项的分布假设有如下几种： (1) 半正态分布 (2) 截断正态分布 (3) 指数分布
在一般的论文中，使用的最多的是半正态分布
随机前沿模型可以很容易地用于估计成本函数，经过与生产函数的随机前沿模型类似的推导可得：
lnci=?0+?ylnyi??k?1?klnPki??i+ui
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其中，ci为产商i的成本，yi为产出，Pki为要素K的价格，ui为无效率项，?i为成本函数的随机冲击。注意混合误差项的形式（符号）。
ui=0意味着产商达到最低成本的效率前沿； 对于成本函数，反之，如果ui?0，
则产商需付出更高的成本。
ui是否存在的检验
使用随机前沿模型的前提是无效率项ui存在，此假定可以通过检验“H0: ?u2=0 vs H1: ?u2>0”来判断是否成立。
使用单边的广义似然比检验。
二、软件实现
Frontier4.1软件是由Tim Coelli开发的一款专门用于完成随机前沿分析的软件，它可以用最大似然估计随机前沿成本模型和随机前沿生产模型，下面简单介绍一下该软件的使用方法，更加详细的说明可以参考英文指导《A Guide to FRONTIER Version 4.1: A Computer Program for Stochastic Frontier Production and Cost Function Estimation》
Eg1.DTA用于输入数据，是一个纯文本文件，数据文件的格式必须是3+K[+p]列。
第一列是评价体系的序号； 第二列是时期t； 第三列是因变量；
第四列之后是K个自变量；
[+p]仅当选择TE EFFECTS MODEL模型输入。
EG1.INS设置命令
1 1=ERROR COMPONENTS MODEL, 2=TE EFFECTS MODEL 选择模型
eg1.dta DATA FILE NAME 数据文件
eg1.out OUTPUT FILE NAME 结果存储文件
2 1=PRODUCTION FUNCTION, 2=COST FUNCTION 选择生产模型（1）还是成本模型（2）
n LOGGED DEPENDENT VARIABLE (Y/N) 变量是不是已经进行了对数运算
25 NUMBER OF CROSS-SECTIONS 评价体系数目
1 NUMBER OF TIME PERIODS
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时期数目
25 NUMBER OF OBSERVATIONS IN TOTAL 总记录数目
2 NUMBER OF REGRESSOR VARIABLES (Xs) 自变量个数
Y MU (Y/N) [OR DELTA0 (Y/N) IF USING TE EFFECTS MODEL]
假设U的分布。Y表示截断分布，N表示半正态分布
n ETA (Y/N) [OR NUMBER OF TE EFFECTS REGRESSORS (Zs)]
y 表示时变模型，n表示非时变模型。
n STARTING VALUES (Y/N) 选择n
其他设置保持不变