九年级下数学

（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；

②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=即可得；

HD=（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，再证△HPG≌△DPF可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°， ∴∠GPH=∠FPD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠PDF=∠ADP=45°， ∴△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP=∠PDF=45°， 在△HPG和△DPF中， ∵

，

DP．

DP，

DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH

∴△HPG≌△DPF（ASA）， ∴PG=PF； ②结论：DG+DF=

DP，

由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，

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∴HD=DP，HG=DF，

∴HD=HG+DG=DF+DG， ∴DG+DF=

（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=

DP，

DP；

如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，

∵PF⊥PG，

∴∠GPF=∠HPD=90°， ∴∠GPH=∠FPD，

∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°， ∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°， 在△HPG和△DPF中， ∵

DP，

∴△HPG≌△DPF， ∴HG=DF，

∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF， ∴DG﹣DF=

DP．

【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．

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