则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )

A．18个 B．15个 C．12个 D．9个

解析：选B 依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112.共计3＋6＋3＋3＝15个“六合数”．

5.[考点三]如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．

1 2 3 解析：按区域1与3是否同色分类． ①区域1与3同色：先涂区域1与3，有4种方法， 再涂区域2,4,5(还有3种颜色)，有3×2×1＝6种方法． 所以区域1与3涂同色时，共有4×6＝24种方法．

②区域1与3不同色：先涂区域1与3，有4×3＝12种方法， 第二步，涂区域2有2种涂色方法， 第三步，涂区域4只有一种方法， 第四步，涂区域5有3种方法． 所以这时共有12×2×1×3＝72种方法．

故由分类加法计数原理，不同的涂色方法的种数为 24＋72＝96. 答案：96

6．[考点三]有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答)．

解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：

第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；

第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；

第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方

4 5

法；

第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法． 根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法． 答案：8

突破点(二) 排列、组合问题

基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．排列与排列数

(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn.

2．组合与组合数

(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n

m

个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cn.

3．排列数、组合数的公式及性质 排列数 组合数 AmnmCn＝m Am公式 mAn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！ ?n－m?！＝n?n－1?…?n－m＋1?＝m！n！ m！?n－m?！性质 nAn＝n！； C0n＝1 mCn＝Cnn－－m0！＝1 n，m∈N*且m≤n _； m1＝Cm Cn＋Cmnn＋1备注 4．排列与组合的比较 名称 相同点 不同点 排列 组合 都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，元素无重复 排列与顺序有关 两个排列相同，当且仅当这两个排列的元

组合与顺序无关 两个组合相同，当且仅当这两个组合素及其排列顺序完全相同 的元素完全相同 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

排列问题

解决排列问题的主要方法

(1)解决“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．

(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．

(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．

(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”． [例1] (1)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A．324 B．648 C．328

D．360

(2)市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数为( )

A．48 B．54 C．72

D．84

(3)用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．

[解析] (1)首先应考虑是否含“0”．当含有0，且0排在个位时，有A29＝9×8＝72个三

12＝4×8×7位偶数，当0排在十位时，有A1当不含0时，有A1A84A8＝4×8＝32个三位偶数．4·

＝224个三位偶数．由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．

(2)先把3名乘客进行全排列，有A33＝6种排法，排好后，有4个空，再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空中，有A24＝12种排法，则共有6×12＝72种候车方式．

1(3)首先排两个奇数1,3，有A22种排法，再在2,4中取一个数放在1,3排列之间，有C2种

排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A2即满足条件2种排法，

12

的四位数的个数为A22C2A2＝8.

[答案] (1)C (2)C (3)8

组合问题

组合问题的常见题型及解题思路

(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等． (2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题．

[例2] (1)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( )

A．85 B．86 C．91

D．90

(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是( )

A．60 B．63 C．65

D．66

(3)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．

[解析] (1)法一 (直接法)：由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不

2213入选的方法种数为：C13C4＋C3C4＋C3＝31；

2213

第2类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：C14C3＋C4C3＋C4＝34； 2＋C1C1＋C2＝21. 第3类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：C3434

所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.

法二 (间接法)：从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有C49－

44

C4男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C4所5－C4＝120种；7－C4＝34种．

以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120－34＝86.

(2)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使取出的4个不同的

4数的和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有C45＋C4＋2C25C4＝66种不同的取法．

2

(3)第一类，含有1张红色卡片，不同的取法有C14C12＝264(种)．第二类，不含有红色卡3

片，不同的取法有C312－3C4＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法共有

264＋208＝472(种)．

[答案 (1)B (2)D (3)472 [方法技巧]

有限制条件的组合问题的解法

组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．