f?x? ? 拐点（0，1） ? 拐点（,例16.求f?x???x?2?3上（下）凸区间及拐点. :解：一）D????,???； （二）f??x??535211327) ?

?x?2?3，

2f???x??109?x?2??13?109x?23；

（三）令f???x??0，无解；在x?2处二阶不可导点。 （四）列表判断：

x （??,2) 2 ?2,??? f???x? — 不存在 ? f?x? ? 拐点（2，0） ?

:利用函数的凸性也可以证明不等式

例5。证明：当x?0,y?0时，xlnx?ylny?(x?y)ln证明：若不等式两边同时除以2，即得：

xlnx?ylny2?(x?y)2lnx?y2x?y2.

.可见，如果设f?t??lnt，然后只须证明

f?t??lnt,t??0,???内是下凸的即可.

八．曲线的渐进线（只考察水平渐进线和垂直渐进线，不考察斜渐进线）。

先回顾一下渐进线的定义.若曲线C上的动点P沿曲线C无限地远离原点时，点p与某一条定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的一条渐进线. 渐进线的分类

（1）水平渐进线

若limf?x??c存在，则称直线y?c为曲线y?f?x?的一条水平渐进线；

x?? （2）垂直渐进线

若limf?x???则称直线x?x?x0x0为曲线y?f?x?的一条垂直渐进线；

（3）斜渐进线 若limf?x?xx???a存在，且lim?f?x??ax??b存在，则称直线y?ax?b为曲线

x??y?f?x?的一条斜渐进线.

注意：有时曲线会有两条斜渐进线，此时应分别考虑limf?x?及limf?x?的情况。

x???x??? 49

3例17．求曲线y?f?x??xx2?2x?3渐进线.

解：（一）因为limx??f?x???，所以无水平渐进线；

3 （二）y?xx2?2x?3在x1??3,x2?1处间断.

因为 limx3x??f?x??limx3x??3x2?2x?3??；且limx?1f?x??limx?1x2?2x?3??.

所以直线x??3及直线x?1均为垂直渐进线. 2（三）因为a?limf?x?

x??x?limxx??x2?2x?3?1，且b?lim?fx????x??ax??x3??lim?x??2x2?3xx????x2?2x?3??lim2??2?x??x?2x?3. 所以，直线y?ax?b?x?2为斜渐进线.

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