第一章 函数、极限、连续

首先请允许我做一个自我介绍.我叫周世国，郑州大学数学系副教授，从事大

学数学教学研究十三年，从事《高数》专升本教学五年。普通高校的专科生，最大的愿望就是希望通过“专升本”来提高自己的学历层次，弥补因高考的一次失误而不能进入本科层次深造的遗憾。由于全国各专科院校专业设置繁杂，没有统一标准，各省市设置的考试方案各不相同。河南省设置考试两门课程：一门是公共大学英语（150分）；一门是专业基础课程（150分）。《高数》是大学理工类专业的基础课程，也是河南省普通高校“专升本”理工类专业的必考课程。但该课程抽象性强，某些内容对于那些高中阶段数学基础薄弱的学生有一定难度。例如对某些概念理解不透，运算技巧掌握不好等。因此，很多同学都希望通过参加“《高数》专升本”培训班来大力提升自己的数学水平。在这里我恭喜大家明智地选择了耶鲁外语学校08《高数》专升本培训班，因为它是郑州最具实力和盛名的“《高数》专升本”培训班。耶鲁自举办《高数》专升本培训班以来，其学员高数科目100分以上的占到80%，历年来全省高数的最高分都出自耶鲁学员，达到140多分。耶鲁外语为什么能取得如此优异的成绩？我想可从以下两个方面找到原因： （一）耶鲁学校有一支教学经验丰富，教学态度认真负责的较为稳定的教师队 伍。这些老师对《高数》专升本考试的考试大纲、每章节重点、难点的分布，题型题量的布局，卷面分值的比例，出题思想及其动态等都了如执掌，做到知己知彼，百战不殆。

（二）耶鲁诚实办学的品牌效应，使越来越多的同学们毫不犹豫地作出了正确的 选择，并认真地贯彻老师的要求，使自己的《高数》水平有了质的提升。可以这样说：踏进耶鲁们，美梦定成真。老师的最大成就莫过于看到自己的学生有进步。记得去年我教的一个女孩叫梅婷，架着双拐来上课，后来考上了河南中医学院，还特发短信向我报喜。

《高数》专升本考试的题型、题量及考察的知识点，分值的分布相对固定，近几年的考卷具有明显的连续性和强烈的可参考性。下面我就把《高数》专升本大致的情况跟大家做一介绍。

《高数》专升本卷面总分值150分，其中一元《微积分》部分占90分左右，多元《微积分》部分（包括微分方程）占60分左右。出题的形式分为两大块，其中客观题90分，主观题60分。客观题这90分如再细分，包括15道填空题，每空2分，共30分；还有60分，又分为两种情况，要么全出单项选择题，共30个，每个2分；要么出单项选择题25个，每个2分，总计50分，再出是非判断题5个，总计10分。

另外还有60分的主观题部分，题型及分值分布又可细分为三部分。 第一部分：计算题40分，八道小题，每小题5分。

第一道题，求一元函数的极限，基本上考察的都是洛必达法则或等价无穷小替换的计算技巧。

第二道题，一元函数求导数，考察复合函数求导，隐函数求导，对数求导法，参数方程求导等。

第三道题，不定积分，绝大部分考察的是带根式的积分，即考察第二换元法的积分技巧。

第四道题，定积分，主要考察分部积分的技巧。

第五道题，多元函数求偏导数或全微分，重点考察多元的抽象的复合函数求偏导

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的链式法则或二元函数求全微分。

第六道题，二重积分的计算（有两套系统，重点放在直角坐标系下）

第七道题，幂级数，有两种可能的题型。一种是求幂级数的收敛半径与区间； 另一种是将简单函数展开为幂级数。

第八道题，微分方程，考察的重点是一阶线性非齐次微分方程。 第二部分：应用题14分，共两道小题，每小题7分。 第一道小题，求平面图形的面积或旋转体的体积。 第二道小题，二元函数求极值（绝大部分是经济方面的应用）或一元函数求最值。 第三部分：证明题6分。常见题型有三种：一是利用拉格朗日中值定理或单调性，最值证明函数不等式；第二种是利用定积分的换元积分法证明积分等式；第三种是利用零点定理证明方程有根。 下面详细介绍每章节的分值分布。 一元函数微积分

极限、连续部分，15分左右； 导数及其应用部分，15分左右；

中值定理及其应用部分，25分左右； 不定积分部分，13分左右； 定积分部分，22分左右；

向量代数及空间解析几何部分，6分左右。 多元函数微积分

多元函数微分学部分，20分左右； 二重积分部分，12分左右； 无穷级数部分，10分左右； 微分方程部分，12分左右。

下面详细介绍各章重点考核的知识点 第一章．一元函数极限、连续

1．定义域（有具体函数求定义域，也有抽象函数求定义域）； 2．求函数的表达式；

3．函数的特性（主要考察函数的奇偶性）； 4．反函数； 5．复合函数；

6．函数极限存在的充要条件（即左极限=右极限）； 7．极限的四则运算； 8．夹逼准则；

9．无穷小阶的比较；

10．有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小； 11．两个重要极限；

12．等价无穷小的替换； 13．函数的连续性；

14．函数在定点x0处的连续性（即既左连续，又右连续）； 15．复合函数的连续性； 16．间断点及其分类； 17．零点定理。

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二章 一元函数导数（或微分） 1．导数的定义；

2．导数的几何意义；

3．导数的四则运算法则； 4．反函数求导法则； 5．复合求导法则；

6．简单函数的高阶导数； 7．隐函数求导； 8．对数求导法； 9．幂指函数求导； 10．参数方程求导；

11．一元函数一阶微分形式的不变性。 第三章 中值定理及导数的应用

1．验证罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件及结论是否成立； 2．利用拉格朗日中值定理证明不等式（尤其是双向不等式）； 3．利用中值定理证明等式成立（或方程有根） 4．洛必达法则； 5．单调性 6．极值； 7．最值；

8．曲线的凹凸性及拐点；

9．曲线的渐进线（只考察水平渐进线和垂直渐进线，不考察斜渐进线）。 第四章 一元函数积分法 其中不定积分部分 1．原函数的概念；

2．不定积分的两个性质及一个推论； 3．分项积分法；

4．换元积分法；又可细分为凑微分法（重点）与变量代换法（主要是去根号）； 5．分部积分法。

有理函数积分、三角函数积分基本不考。即便考，用前面的方法也可解决。 定积分部分

1．定积分的七大性质；

2．积分上限函数及其导数； 3．定积分的换元法； 4．分部法；

5．对称区间上的定积分的性质； 6．无穷区间上的广义积分；

7．平面图形的面积及旋转体的体积。 第五章 向量代数与空间解析几何 1．向量的数量积与向量积； 2．向量的相交（这时要求夹角）、平行、垂直的判定方法； 3．两向量向量积的模的几何意义； 4．空间直线与平面之间的位置关系； 5．旋转曲面的方程特征；

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6．简单的二次曲面（只要求掌握柱面，球面，锥面及旋转曲面，复杂的不要求）。 第六章．多元函数微分法 1．二元函数极限、连续； 2．偏导数；

3．具体函数的二阶偏导数；

4．全微分（包括具体函数求全微分与抽象函数求全微分）； 5．隐函数求偏导；

6．二元函数连续、偏导、可微及偏导连续之间的关系； 7．二元函数的极值及一些条件极值。 第七章 二重积分

1．二重积分的七大性质；（重点考察??1d??A(D的面积和比较积分大小）；

D2．二重积分交换积分次序；

3．二重积分在两种坐标系下的计算方法； 4．二重积分在两种坐标系下的转换； 5．利用二重积分求平面图形的质量； 6．利用代入法计算第二型曲线积分。 第八章 无穷级数

1．无穷级数的五大性质； 2．级数收敛的必要条件； 3．正项级数的五大审敛法；

4．交错级数及其莱布尼兹判别法；

5．任意项级数的绝对收敛及条件收敛（必考）； 6．幂级数的收敛区间及收敛半径； 7．简单幂级数的和函数； 8．将函数展开成幂级数。 第九章 微分方程

1．微分方程的基本概念（解、通解、特解等）；

2．一阶微分方程（包括可分离的、齐次、一阶线性非齐次微分方程（重点））； 3．可降阶的二阶微分方程（了解即可）； 4．二阶线性微分方程的解的结构；

5．二阶线性常系数齐次微分方程的通解

6．反解微分方程（给出其通解或特解，反求方程是什么，有点难，到时举个例子就明白了）；

7．二阶线性常系数齐次微分方程的特解形式（往往不要求定出其中的系数）。 刚才我们把《高数》专升本考试的基本题型，各章节分数比例，及各章节要求掌握的知识点都作了大致的总结，希望同学们在下面学习时应严格按照我说的知识点去作题。这里我要特别强调一下，在《高数》专升本考生中有几个误区需要澄清：

第一个误区是：有些同学把《高数》专升本考试想象得过于困难，觉得只有大量作题，大搞题海战术，拿出二次高考的劲头才能取得好成绩。其实《高数》专升本考试的难度并不大，还达不到普通本科学期考试水平。况其题型题量相对固定，规律性很强，只要路子对头，真学实干，有针对性的训练，一定可以取得不错的成绩。我们郑州大学软件学院的专升本通过率甚至每年都达到了95%。我在这里

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