中北大学2014届毕业论文
是一个连续函数，它能较好地克服硬阈值函数带来的“人为”噪声。但软阈值函数减小了绝对值大的小波系数，造成一定高频信息的损失，从而导致了图像边缘的模糊[14,15]。
总的来说，硬阈值函数可以很好地保留图像边缘等局部特征，但是图像会出现伪吉布斯效应等视觉失真现象；软阈值函数处理结果则相对平滑得多，但是软阈值函数可能造成图像的边缘模糊等失真现象，这将给重构信号带来不可避免的误差。软阈值处理在恢复图像质量和光滑性方面要优于硬阈值。
现在有很多种方法对阈值函数进行了改进，使得改进后的阈值函数不但同软阈值函数一样是连续的，而且是高阶可导的，非常便于处理。如下式：
wj,k???sgn(w)(w?)j,kj,k?wj,k?????expN?0??wj,k?? （2-6）
wj,k??上式是以直线y?x为渐近线的，也就是说这个新构造出的阈值函数是以
wj,k?wj,k为渐近线的，随着wj,k的增大，wj,k逐渐接近wj,k，克服了硬阈值不连
??续可导的缺点，也克服了软阈值函数中有恒定偏差的缺点。
从上式我们可以看出，当N?0时，式(2-6)为硬阈值函数，当N??时，上式为软阈值函数。由此可见，很多阈值函数都是介于软硬阈值函数之间灵活选择的，并且可以通过N的取值的变化得到实用的阈值函数。 2.4 本章小结
本章主要介绍了传统的图像去噪方法，包括时域和变换域的去噪方法。介绍了小波去噪的三种方法，模极大值法，去相关性法和阈值去噪法，并详细介绍小波去噪方法中的阈值去噪法。在阈值去噪法中，对阈值的选取及选取规则、阈值函数进行了论述，并对各自的优缺点进行了比较。
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3 稀疏表示的图像去噪
3.1 小波变换理论 3.1.1 多分辨分析
在实际应用中，我们所关心的是连续小波变换及其逆变换的离散形式，即尺度参数a和平移参数b的离散化。一般情况下，用框架理论可以研究连续小波变换的离散化问题。在这里我们介绍由Mallat和Meyer建立的多分辨分析的概念，它详细地阐述了多分辨率空间的数学性质[16,17]。
定义3.1 设Vj??2为?R?中的一串闭子空间序列，如果满足： Lj?z1) 单调性：Vj?Vj?1 ?j?Z；
2) 平移不变性：f?x??Vj?f?x?k??Vj ?j,k?Z； 3）伸缩性：f?x??Vj?f?2x??Vj?1 ?j?Z;
4) 逼近性：UVj?L(R),?Vj??0? ?j?Z；这里用X表示集合X的闭
2j???j????????包。
5）Riese基存在性：存在函数??x??V0，使得??(x?k)?k?Z构成V0的Riese基，即?，且存在常数A与B，满足0?A?B??，得对?(x?k)?k?Z)是线性无关。任意的f?x??V0，总存在序列?h(k)??l2，使得??x?满足：
?(x)??h(k)?(2x?k) （3-1）
k且
Af则称??x?为尺度函数，Vj22?k????c?22k?Bf （3-2）
2??2?R?的一个多分辨分析(MAR)。特别地，为Lj?Z??(x?k)?k?Z构成V0的一个标准正交基，则称??x?为正交尺度函数，相应地，称
?V?jj?Z为L2?R?的一个正交多分辨分析。
多分辨分析的空间关系可形象地用图3-1来说明，其中Vj??2??0?R?在和Lj?Z 13
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之间是相互嵌套的，即：
?0??????V1?V0?V?1?????L2(R) （3-3）
在多分辨分析中，Vj称为逼近空间。一般地，随着Vj的不同，尺度函数也不同，从而对应L2?R?的不同的多分辨分析。在实际中，较有用的一类尺度函数是具有紧支撑的函数。 3.1.2 离散小波变换
对于V0空间中的任意函数f(x)，总有以下展开式
（3-4）
其中
（3-5）
但由于实际中尺度函数和小波函数往往没有解析表达式，故上式通常难以直接计算，对于这一问题，Mallat基于多分辨分析的框架和双尺度方程提出了如下的离散小波变换(DWT)公式：
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相应的重构公式为
这就是所谓的Mallat塔式分解和重构算法[18]。该算法相当于FFT在Fourier分析中的地位，其优点是可以直接给出函数的分解系数而无须写出基函数。这对数字信号的分解与重构来说，可以方便地用计算机来实现，而且实用性很强。同时，它将小波分析与滤波器紧密地联系起来，即双尺度方程中的系数h(k)和g(k)分别起着低通滤波器和高通滤波器的作用，通常称之为尺度滤波器和小波滤波器
[19]
。由此还可以推导出小波基与共轭镜像滤波器之间的等价性，这些滤波器组
可以实现一种快速正交小波变换。即对长度为Ⅳ的离散信号，该变换所需要的运算次数仅为O(n)。J下是由于小波具有这种特殊的性质，才使得它从一丌始就受到工程技术人员的青睐，从而极大地促进了小波理论和应用的发展。
如果引入无穷矩阵Hj,k?h(l?2k),Gj,k?g(l?2k) l,k?Z，则Mallat塔式分解算法还可以写成以下矩阵形式：
相应的重构算法为
??且当H,G满足：HH?GG?I时可以实现精确重构，其中“?”代表共轭
转置。
在Mallat分解算法(3-9)、(3-10)中，由于变换矩阵H、G是通过MRA导出的，所以称为小波滤波器。因此，在Mallat分解算法(3-9)、(3-10)中，如果我们能从其他途径找到小波滤波器H，G，又能找到一组初始系数Cj，就可以直接
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