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www.jyeoo.com 重合A、D、F、E四点所构成的图形为一条线段．当∠BAC≠60°时，由（1）AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四点所构成的图形是菱形． 解答： （1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形， ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°． ∴∠CBA=∠FBE． ∴△ABC≌△EBF． ∴EF=AC． 又∵△ADC为等边三角形， ∴CD=AD=AC． ∴EF=AD． 同理可得AE=DF． ∴四边形AEFD是平行四边形． （2）解：构成的图形有四类，一类是菱形，一类是线段，一类是正方形，一类是三角形． 当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）； 当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）； 当图形为正方形时，∠BAC=150°； 当图形为三角形时，E，F，D三点共线． 点评： 本题的关键是通过三角形的全等来得出线段的相等，要先确定所要证得线段所在的三角形，然后看证明三角形全等的条件是否充足，缺少条件的要根据已知先求出了． 16．（2008?山西）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明； （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由； （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．

考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定． 专题： 证明题；压轴题． 分析： （1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边． （2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可． 解答： 解：（1）（选证一）△BDE≌△FEC． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60度． ∵CD=CE， ∴△EDC是等边三角形． ∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60° ∴∠BDE=∠FEC=120度． 又∵EF=AE， ∴BD=FE． ∴△BDE≌△FEC． ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com （选证二）△BCE≌△FDC． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60度． 又∵CD=CE， ∴△EDC是等边三角形． ∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE． ∵EF=AE， ∴EF+DE=AE+CE． ∴FD=AC=BC． ∴△BCE≌△FDC． （选证三）△ABE≌△ACF． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60度． ∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形． ∴∠AEF=∠CED=60度． ∵EF=AE，△AEF是等边三角形． ∴AE=AF，∠EAF=60度． ∴△ABE≌△ACF． （2）四边形ABDF是平行四边形． 理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形． ∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度． ∴AB∥DF，BD∥AF． ∴四边形ABDF是平行四边形． （3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形． ∴EF∥AB，EF≠AB． ∴四边形ABEF是梯形． 过E作EG⊥AB于G，则EG=． ∴S四边形ABEF=EG?（AB+EF）=（6+4）=10． 点评： 此题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，及梯形面积的求解，用到的知识点比较多，较复杂． 17．（2008?资阳）如图，在△ABC中，∠A，∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F． （1）点D是△ABC的 心；

（2）求证：四边形DECF为菱形．

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www.jyeoo.com 考点： 菱形的判定；平行线的性质；角平分线的性质． 专题： 综合题． 分析： （1）由AD、BD分别是∠A、∠B的平分线，可知点D是△ABC的内心； （2）连接CD，根据平行线的性质，角平分线的性质证明?DECF为菱形． 解答： 解：（1）点D是△ABC的内心．（2分） （2）证法一：连接CD，（3分） ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF为平行四边形，（4分） 又∵点D是△ABC的内心， ∴CD平分∠ACB，即∠FCD=∠ECD，（5分） 又∠FDC=∠ECD， ∴∠FCD=∠FDC ∴FC=FD，（6分） ∴?DECF为菱形．（7分） 证法二： 过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．（3分） ∵AD，BD分别平分∠CAB，∠ABC， ∴DI=DG，DG=DH． ∴DH=DI．（4分） ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF为平行四边形，（5分） ∴S□DECF=CE?DH=CF?DI， ∴CE=CF．（6分） ∴?DECF为菱形．（7分） 点评： 解答此题需要熟知以下概念： （1）三角形的内心：三角形三个内角平分线的交点叫三角形的内心； （2）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形； （3）菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 18．（2008?哈尔滨）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．

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www.jyeoo.com （1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE=PD+

PQ；

（2）若BC=6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长．

考点： 二次函数综合题；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 专题： 代数几何综合题；压轴题． 分析： （1）过点E作EM⊥QP垂足为M；在Rt△EQP中，易得∠EBD=∠EDB=30°；进而可得PE=PQ，且BE=DE．故可证得BE=PD+PQ． （2）点P从点E出发沿射线ED运动，所以分当点P在线段ED上时与当点P在线段ED的延长线上时两种情况讨论，根据所作的辅助线，可得y与x的关系； （3）连接PC交BD于点N，可得∠QPC=90°，进而可得△PNG∽△QPC；可得解答： （1）证明：∵∠A=90°∠ABE=30°， ∴∠AEB=60°． ∵EB=ED， ∴∠EBD=∠EDB=30°． ∵PQ∥BD， ∴∠EQP=∠EBD． ∠EPQ=∠EDB． ∴∠EPQ=∠EQP=30°， ∴EQ=EP． 过点E作EM⊥QP垂足为M．则PQ=2PM． ∵∠EPM=30°，∴PM=∵BE=DE=PD+PE， ∴BE=PD+ （2）解：由题意知AE=BE， ∴DE=BE=2AE． ∵AD=BC=6， ∴2AE=DE=BE=4． 当点P在线段ED上时（如图1）， 过点Q做QH⊥AD于点H，则QH=PQ=x． PQ． PE，PE=PQ． ；解可得PG的长． ?2010-2014 菁优网