第6讲 函数的奇偶性与周期性
课时达标
一、选择题
1．下列函数是奇函数的是( ) A．f(x)＝x|x| C．f(x)＝2＋2
x－xB．f(x)＝lg x D．f(x)＝x－1
3
A 解析 对于B项，f(x)＝lg x的定义域是x>0，所以不是奇函数；对于C项，f(－x)＝2－x＋2＝f(x)，f(x)是偶函数；对于D项，f(x)＝x－1的定义域为R，但图象不过原点，所以f(x)是非奇非偶函数．只有A项满足定义域关于原点对称，并且f(－x)＝－f(x)，是奇函数．
2．已知f(x)＝3ax＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝( ) 1A. 7C．1
B．－1 D．7
2
x3
1
A 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝.又因为f(x)
71
为偶函数，所以b＝0，所以a＋b＝.故选A.
7
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x，则
2
f(2 019)＝( )
A．－2 C．－98
B．2 D．98
A 解析 因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 019)＝
f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，
即f(2 019)＝－2.
4．(2019·沈阳测试)设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则( ) A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数 B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数 C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数 D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数
?1??1?B 解析 因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f??＝f?－?，则(m－?2??2?
1)ln 3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x)，因为当x∈(0,1)时，y＝1－x是减函数，故f(x)在(0,1)上是减函数．故选B.
5．(2019·广州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，
1
2
2
1x且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2＋，则f(log220)＝( )
5
A．1 C．－1
4B. 54D．－ 5
C 解析 因为x∈R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数．因为f(x)＝f(x＋4)，5?5?4????所以函数的周期为4.故f(log220)＝f(log220－4)＝f?log2?＝－f?－log2?＝－f?log2?＝4?4?5????41???41?－?2log2＋?＝－?＋?＝－1.故选C.
55???55?
16．(2019·成都八中月考)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－2，则使f(x)＞f(2x－1)成
1＋x立的x的取值范围是( )
?1?A.?，1? ?3??11?C.?－，? ?33?
1??B.?－∞，?∪(1，＋∞) 3??
1??1??D.?－∞，?∪?，＋∞? 3??3??
A 解析 由题意知f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，当x≥0时，易得函数f(x)11
＝ln(1＋x)－2是增函数，所以不等式f(x)＞f(2x－1)等价于|2x－1|＜|x|，解得＜x1＋x3
?1?＜1，则x的取值范围是?，1?.
?3?
二、填空题
??2＋a，x＞0，
7．已知奇函数f(x)＝?－x?4－2，x＜0，?
x
则实数a＝________.
1
解析 因为函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则f(－1)＝－f(1)，所以4－2＝－(2＋a)，解得a＝－4.
答案 －4
1
8．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m) 解析 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．所以不等式f(1－m) 等价于f(|1－m|) ??－2≤m≤2，1 得－1≤m<. 2 2 解 1??答案 ?－1，? 2?? 9．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述： ①8是函数f(x)的一个周期； ②f(x)的图象关于直线x＝2对称； ③f(x)是偶函数． 其中正确的序号是________． 解析 由f(x)＋f(x＋2)＝0得f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，由f(4－x)＝f(x)得f(x)的图象关于直线x＝2对称；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数 f(x)为偶函数． 答案 ①②③ 三、解答题 10．(2019·临川一中期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝ x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x－1)＞－2. 解析 (1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝ (－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以 2 ?x，x＞0， f(－x)＝f(x)．所以函数f(x)的解析式为f(x)＝?0，x＝0， ? －x，x＜0. (2)因为f(4)＝ 2 2 4＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x－1)＞－2可化为f(|x－ 2 1|)＞f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x－1|＜4，解得－5＜x＜5，即不等式的解集为(－5，5)． 2 11．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝x. 4＋1(1)求f(1)和f(－1)的值； (2)求f(x)在[－1,1]上的解析式． 解析 (1)因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，所以 xf(1)＝0，f(－1)＝0. (2)由题意知f(0)＝0.当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．由f(x)是奇函数得f(x)＝－f(－2－x2x)＝－＝－x. 4－x＋14＋1 3 x??2综上，在[－1,1]上，f(x)＝?－，x∈－1，0 4＋1??0，x∈{－1，0，1}. xx2 ，x∈0，1，x4＋1 x， 12．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解析 (1)因为对于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数，证明如下： f(x)定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1， 1 有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0. 2令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|) 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以0<|x－1|<16，解得－15 13．[选做题](2019·常德模拟)设f(x)是偶函数，且当x＞0时，f(x)是单调函数，则满足f(2x)＝f? A．8 C．4 B 解析 因为f(x)是偶函数，f(2x)＝f?在(0，＋∞)上为单调函数，所以|2x|＝? 2 2 ?x＋1?的所有x之和为( ) ??x＋4? B．－8 D．－4 ?x＋1?，??x＋1??.又因为f(x) 所以f(|2x|)＝f???x＋4?? ?x＋4????? ?x＋1?，即2x＝x＋1或2x＝－x＋1，整理得2x2＋?x＋4x＋4?x＋4? 2 7x－1＝0或2x＋9x＋1＝0.设方程2x＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x＋9x＋1＝0的7?9?两根为x3，x4，则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋?－?＝－8. 2?2? 4 5