将以上二式代入方程（3.4），得

（3.8）

方程的通解为

（3.9）

其中，A1和A2是积分常数。上述积分不能得到准确解，只能用数值解法。现在定义一个β的误差函数

（3.10）

误差函数具有如下性质：点对称的函数，不同β的误差函数数的性质，当β→±∞时，有

，

，因此它是一个原

值参考表3.1。由式（3.10）和误差函

利用上式和初始条件，当t＝0时，x＜0，β＝－∞；x＞0，β＝＋∞。将它们代入式（3.9），得

解出积分常数

然后代入式（3.9），则

（3.11）

式（3.11）就是无限长扩散偶中的溶质浓度随扩散距离和时间的变化关系，见图3.2。下面针对误差函数解讨论几个问题。

① 曲线的特点：根据式（3.11）可以确定扩散开始以后焊接面处的浓度Cs，即当t＞0，x＝0时

表明界面浓度为扩散偶原始浓度的平均值，该值在扩散过程中一直保持不变。若扩散偶右边金属棒的原始浓度C1＝0，则式（3.11）简化为

（3.12）

而焊接面浓度Cs＝C2/2。

在任意时刻，浓度曲线都相对于x＝0，Cs＝（C1﹢C2）/2为中心对称。随着时间的延长，浓度曲线逐渐变得平缓，当t→∞时，扩散偶各点浓度均达到均匀浓度（C1﹢C2）/2。

② 扩散的抛物线规律：由式（3.11）和（3.12）看出，如果要求距焊接面为x处的浓度达到C，则所需要的扩散时间可由下式计算

（3.13）

式中，K是与晶体结构有关的常数。此关系式表明，原子的扩散距离与时间呈抛物线关系，许多扩散型相变的生长过程也满足这种关系。

③ 在应用误差函数去解决扩散问题时，对于初始浓度曲线上只有一个浓度突变台阶（相当于有一个焊接面，就像图3.2那样），这时可以将浓度分布函数写成

（3.14）

然后由具体的初始和边界条件确定出比例常数A和B，从而获得问题的解。同样，如果初始浓度曲线上有两个浓度突变台阶（相当于有两个焊接面），则可以在浓度分布函数（3.14）中再增加一个误差函数项，这样就需要确定三个比例常数。

表3.1 误差函数erf（β），β由0到2.7

（2）半无限长物体的扩散

化学热处理是工业生产中最常见的热处理工艺，它是将零件置于化学活性介质中，在一定温度下，通过活性原子由零件表面向内部扩散，从而改变零件表层的组织、结构及性能。钢的渗碳就是经常采用的化学热处理工艺之一，它可以显著提高钢的表面强度、硬度和耐磨性，在生产中得到广泛应用。由于渗碳时，活性碳原子附在零件表面上，然后向零件内部扩散，这就相当于无限长扩散偶中的一根金属棒，因此叫做半无限长。

将碳浓度为C0的低碳钢放入含有渗碳介质的渗碳炉中在一定温度下渗碳，渗碳温度通常选择在900～930℃范围内的一定温度。渗碳开始后，零件的表面碳浓度将很快达到这个温度下奥氏体的饱和浓度C（它可由Fe-Fe3C相图上的Acms

线和渗碳温度水平线的交点确定，如927℃时，为1.3%C），随后表面碳浓度保持不变。随着时间的延长，碳原子不断由表面向内部扩散，渗碳层中的碳浓度曲线不断向内部延伸，深度不断增加。碳浓度分布曲线与扩散距离及时间的关系可以根据式（3.14）求出。将坐标原点x＝0放在表面上，x轴的正方向由表面垂直向内，即碳原子的扩散方向。列出此问题的初始和边界条件分别为

t＝0时： t＞0时：

将上述条件代入式（3.14），确定比例常数A和B，就可求出渗碳层中碳浓度分布函数

（3.15）

该函数的分布特点与图3.2中焊接面右半边的曲线非常类似。若为纯铁渗碳，C0＝0，则上式简化为

（3.16）

由以上两式可以看出，渗碳层深度与时间的关系同样满足式（3.13）。渗碳时，经常根据式（3.15）和（3.16），或者式（3.13）估算达到一定渗碳层深度所需要的时间。

除了化学热处理之外，金属的真空除气、钢铁材料在高温下的表面脱碳也是半无限长扩散的例子，只不过对于后者来说，表面浓度始终为零。

二、高斯函数解

在金属的表面上沉积一层扩散元素薄膜，然后将两个相同的金属沿沉积面对焊在一起，形成两个金属中间夹着一层无限薄的扩散元素薄膜源的扩散偶。若扩散偶沿垂直于薄膜源的方向上为无限长，则其两端浓度不受扩散影响。将扩散偶加热到一定温度，扩散元素开始沿垂直于薄膜源方向同时向两侧扩散，考察扩散元素的浓度随时间的变化。因为扩散前扩散元素集中在一层薄膜上，故高斯函数解也称为薄膜解。

将坐标原点x＝0选在薄膜处，原子扩散方向x垂直于薄膜，确定薄膜解的初始和边界条件分别为

t＝0时：

t≥0时：

可以验证满足扩散第二方程（3.4）和上述初始、边界条件的解为

（3.17）

式中a为待定常数。设扩散偶的横截面积为1，由于扩散过程中扩散元素的总量M不变，则

（3.18）