2019年

[解析] 命题是省略量词的全称命题．故选D.

[点石成金] 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．另外，对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．

角度二

全称命题、特称命题的真假判断

[典题3] (1)下列命题中的假命题是( ) A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0 C．?x0∈R，ln x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝2 [答案] B

[解析] 因为2x－1>0，对?x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在0< x0

(2)已知命题p：?x>0，x＋≥4；命题q：?x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是( )

A．p是假命题 B．q是真命题

C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题 [答案] C

[解析] 当x>0时，x＋≥2＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q是假命题．

2019年

[点石成金] 1.全称命题真假的判断方法

(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．

(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．

2．特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

考点3 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题

[典题4] 已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为

假命题，求实数a的取值范围．

[解] 由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；

由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，

知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，

则解得a＞.

因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，

所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，

0

故或?1

a≤，??2

解得a≥1或0

故实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．

[题点发散1] 本例条件不变，若“p∧q”为真，则a的取值范围为________．

? 答案：??2，1?

??

1

解析：由“p∧q”为真，知p，q都为真．∴a的取值范围为.

[题点发散2] 在本例条件下，若命题“q∨(p∧q)”为真，綈p为真，求实数a

2019年

的取值范围．

解：由命题q∨(p∧q)为真、綈p为真，知p假，q真，

p假：a≤0或a≥1；q真：a＞. ∴实数a的取值范围为[1，＋∞)．

[题点发散3] 若本例条件变为：已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”；命题q： “?x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．

解：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．

由?x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e； 由?x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，

知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.

则实数a的取值范围为[e,4]．

[点石成金] 根据命题真假求参数的方法步骤

(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；

(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

[2017·河北武邑中学高三上期末]命题“?x0∈R，asin x0＋cos x0≥2”为假命

题，则实数a的取值范围是________．

答案：(－，)

解析：依据含一个量词命题的否定，可知?x∈R，asin x＋cos x<2恒成立是真

命题，故<2，解得－

[方法技巧] 1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→

见假即假，p与綈p→真假相反．

2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去

写，否定的规律是“改量词，否结论”．

3．不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否

定的真假．

2019年

[易错防范] 1.注意区分命题的否定与否命题的不同．“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其

结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

2．由于全称量词经常省略，因此，在写这类命题的否定时，应先确定其中的全称

量词，再否定量词和结论．

3．“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．

真题演练集训

1．[2016·浙江卷]命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )

A．?x∈R，?n∈N*，使得n

答案：D

解析：根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.

2．[2015·浙江卷]命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )

A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>n B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0 D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0

答案：D

解析：写全称命题的否定时，要把量词?改为?，并且否定结论，注意把“且”

改为“或”．

3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设命题p：?n∈N，n2＞2n，则綈p为( )

B．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n

A．?n∈N，n2＞2nC．?n∈N，n2≤2n

答案：C