二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|= 2 ． 【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】利用点到直线的距离公式求出 圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d，再由弦长公式可得弦长．
【解答】解：圆心（0，0）到直线x﹣故|AB|=2故答案为：2
=2．
，
y+2=0的距离d=
=1，半径r=2，
14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为 1 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，化为直线方程的斜截式，利用线性规划知识求出t的范围，取绝对值得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
令t=x+2y﹣3，则由图可知，当直线直线
，
过O时，直线在y轴上的截距最小，t有最小值为﹣3；
过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最大值为﹣1．
∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1． 故答案为：1．
15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：
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可以转化为平面上点M（x，
y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=值为 5 ．
【考点】类比推理． 【分析】f（x）=
+
=
+的最小
，
表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论． fx）=【解答】解：（
+
=
，
表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和， ∴f（x）=
+
的最小值为
=5
．
故答案为：5．
16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=值是
，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦
，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是 6π ．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积；球内接多面体． 【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是
是重要条件，根据定义，先作出它的平
面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．
【解答】解：如图所示：
取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC， ∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．
由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2， 又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC， 在△SBD中，BD=
=
=1，
在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，
在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD?BDcos∠SDB=3+1﹣2×
=2，
满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，
又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．
以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，
正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=故答案为：6π．
R=，
，球的表面积S=4
=6π．
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三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC
（Ⅰ）求∠A的大小； （Ⅱ）若f（x）=
，求f（B）的取值范围．
【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA． （II）f（x）=＜B+
＜
sinx+
=
+，在锐角△ABC中，
＜B
，可得
，即可得出．
【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc． 由余弦定理可得：cosA=
=
=，
∵A∈（0，π），∴A=（II）f（x）=在锐角△ABC中，∴
∈
．
=
＜B
，
． ，∴
＜B+
sinx+＜
， =
+，
∴f（B）的取值范围是
18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：
[100，110） [110，120） [120，130） [130，140） 分数段 [80，90） [90，100）
2 8 30 30 20 10 人数
（Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；
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（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）由统计数据能作出频率分布直方图，利用频率分布直方图能估算这100学生的数学平均成绩．
（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ． 【解答】解：（Ⅰ）由统计数据作出频率分布直方图如下：
∴估算这100学生的数学平均成绩：
=10（85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03125×0.02+135×0.01）=113.8． （Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，
∴ξ的可能取值为0，1，2， P（ξ=0）=
=，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
∴ξ的分布列为： ξ 0 P
1
2
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