图2-24
1．受压曲面本身；
2．受压曲面在自由液面(或自由液面的延展面)上的投影面，如图2-23(或图2-24)所示；
3．从曲面的边界向自由液面(或自由液面的延展面)所作的铅直面。 铅直分力Pz的方向，则应根据曲面与压力体的关系而定：当液体与压力体位于曲面的同侧(如图2-23)时，Pz向下；当液体与压力体分别在曲面之一侧(如图2-24)时，Pz向上。对于简单柱面，Pz的方向可以根据实际作用在曲面上的静水压力垂直指向作用面这个性质很容易地加以确定。
求得水平分力Px和铅直分力Pz后，则可得液体作用于曲面上的静水总压力P为
P=Px2?Pz2 (2-6-2)
总压力P的作用线与水平线的夹角α为
??arctanPzPx
P的作用线应通过Px与Pz的交点D′，但这一交点不一定在曲面上，总压力P的作用线与曲面的交点D即为总压力P在曲面上的作用点。
以上讨论的虽是简单的二维曲面上的静水总压力，但所得结论完全可以应用于任意的三维曲面，所不同的是：对于三维曲面，水平分力除了在yOz平面上有投影外，在xOz平面上也有投影，因此水平分力除了有Ox轴方向的Px外，还有Oy轴方向的Py。与确定Px的方法相类似，Py等于曲面在xOz平面的投影面上的总压力。作用于三维曲面的铅直分力Pz也等于压力体内的液体重。三维曲面上的总压力P由Px、Py、Pz合成，即
P?Px?Py?Pz222 (2-6-4)
图2-25
例2-4 图2-25为一坝顶圆弧形闸门的示意图。门宽b=6m，弧形门半径R=4m，此门可绕O轴旋转。试求当坝顶水头H=2m、水面与门轴同高、闸门关闭时所受的静水总压力。
解：水的重度γ=9.8kN/m3，水平分力为
Px?22?Hb2?9.8?2?62=117.6(kN)
铅直分力等于压力体ABC内水重。压力体ABC的体积等于扇形AOB的面积减去三角形BOC的面积，再乘以宽度b。已知BC=2m，OB=4m，故∠AOB=30°。
扇形AOB的面积=三角形BOC面积=
3036012112πR=
2
33.1434=4.19(m)
12?2?4cos30=3.46(m)
3
022
BC?OC?2
压力体ABC的体积=(4.19-3.46)36=0.7236=4.38(m) 所以，铅直分力Pz=9.834.38=42.9(kN)，方向向上。 作用在闸门上的静水总压力P为
P?Px?Pz?2222117.6?42.9?125.2?kN?
P与水平线的夹角为α，则
tan??PzPx?42.9117.6=0.365 α=20.04°
因为曲面是圆柱面的一部分，各点的压强均与圆柱面垂直且通过圆心O点，所以总压力P的作用线亦必通过O点。
§2-7 潜体及浮体的平衡与稳定性
1．物体的沉浮
一切沉没于液体中漂浮于液面上的物体都受有两个力作用，即物体的重力
G和所受的浮力Pz。重力的作用线通过重心，竖直向下；浮力的作用线通过浮心(Buoyancy Center)，竖直向上。物体的重力G与所受浮力Pz的相对大小，决定着物体的沉浮：
当G＞Pz时，物体下沉至底，称为沉体。
当G=Pz时，物体潜没于液体中的任意位置而保持平衡，称为潜体(Submerged Bodies)。
当G＜Pz时，物体浮出液面，直至液面下部分所排开的液重恰等于物体的重量才保持平衡，这称为浮体(Floating Bodies)。船是其中最显著的例子。
2．潜体的平衡及稳定性
上面提到的重力与浮力相等，物体既不上浮也不下沉，只是潜体保持平衡的必要条件。若要求潜体在水中不发生转动，还必须重力和浮力对任何一点的力矩矢量和都为零。即重心C和浮心D在同一铅垂线上。这样，物体潜没在液体中既不发生移动，也不发生转动，潜体保持平衡。但这种平衡的稳定性，也就是遇到外界扰动，潜体倾斜后，恢复到它原来平衡状态的能力，则取决于重心C和浮心D在铅垂线上的相对位置。当浮心D与重心C重合时(图2-26a)，潜体在液体中处于任意方位都是平衡的，称为随遇平衡(Neutral Equilibrium)。
当浮心D在重心C之上时(图2-26b)，这样的潜体，在去掉使潜体发生倾斜的外力后，力Pz和G组成的力偶能使它恢复到原来的平衡位置。这种情况下的平衡称为稳定平衡(Stable equilibrium)。
当浮心D在重心C之下时(图2-26c)，潜体在去掉外力后Pz和G组成的力偶能使潜体继续翻转，这种情况下的平衡称为不稳定平衡(Unstable Equilibricm)。
图2-26
由此可见，要想潜体(如潜艇)处于稳定状态，就必须使重心位于其浮心之下。 3．浮体的平衡及稳定性
浮体的平衡条件与潜体相同，但它们的稳定性条件是不相同的。
潜体的平衡及稳定性要求重力G与浮力Pz大小相等，作用在同一铅垂线上，且重心C位于浮心D之下。
对于浮体，Pz与G相等是自动满足的，这是物体漂浮的必然结果。但是浮体的浮心D和其重心C的相对位置对于浮体的稳定性，并不像潜体那样，一定要求重心在浮心之下，即使重心在浮心之上也仍有可能稳定。这是因为浮体倾斜后，浮体浸没在液体中的那部分形状改变了，浮心的位置也随之变动，在一定条件下，有可能出现扶正力矩(Restoring Couple)，使得浮体仍可保持其稳定性。
图2-27为一对称浮体。通过浮心D和重心C的连线称为浮轴(Floating Axle)，在正常情况下，浮轴是铅垂的。当浮体受到某种外力作用(如风吹、浪击等)而发生倾斜时，浮体浸没在液体部分的形状有了改变，从而使浮心D的位置移至D′。此时，通过D′的浮力Pz′的作用线与浮轴相交于M点，称为定倾中心(Metacenter)；定倾中心M到原浮心D的距离称为定倾半径(Metacentric Radius)，以ρ表示；重心C与原浮心D的距离称为偏心距，以e表示。当浮体倾斜角α不太大(α＜10°＝的情况下，在实用上，可近似认为M点在浮轴上的位置是不变的。
浮体倾斜后能否恢复到原平衡位置，取决于重心C与定倾中心M的相对位置。如图2-27a所示，浮体倾斜后M点高于C点，即ρ＞e，重力G与倾斜后的浮力Pz′产生扶正力矩，使浮体恢复到原来的平衡位置，这种情况称为稳定平衡。反之，如图2-27b所示，M点低于C点，即ρ＜e，G与Pz′产生一倾覆力矩，使浮体更趋于倾倒，这种情况称为不稳定平衡。当浮体倾斜后，M点与C点重合，即ρ=e，G与Pz′不会产生力矩，此种情况称为随遇平衡。由此可见，浮体保持稳定的条件是：定倾中心M高于重心C，即定倾半径ρ大于偏心距e。
图2-27
对于重心不变的对称浮体，当浮体的形状和重量一定时，重心与浮心之间的偏心距也就确定了，因而浮体的稳定与否要视定倾半径ρ的大小而定。下面讨论确定定倾半径ρ的方法。如图2-27a所示，浮体倾斜一微小角度α以后，浮心D移动了一个水平距离l至D′。从图中知 ??lsin? (2-7-1)
式中，l的大小可以通过对浮体倾斜前后所受浮力的分析求得。浮体倾斜后所受浮力Pz′可以看成是原浮力Pz减去浮出部分AOA′失去的浮力，再加上新浸没