大学物理期末复习题及答案(1) 下载本文

[讨论](1)由于L = a/2,x = L+d1,代入①式,化简得

E1??a?1?,

4??0d1d1?a4??0d1d1/a?1?, ③

4??0d1保持d1不变,当a→∞时,可得E1?这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小. (2)由②式得

Ey??4??0d2ad?(a/2)222??4??0d21(d2/a)?(1/2)22,

当a→∞时,得 Ey??, ④

2??0d2这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式.如果d1=d2,则有大小关系Ey = 2E1.

13.一宽为b的无限长均匀带电平面薄板,其电荷密度为σ,如图所示.试求: (1)平板所在平面内,距薄板边缘为a处的场强.

P a b (2)通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强. [解答(]1)建立坐标系.在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线,

电荷的线密度为 dλ = σd x, 根据直线带电线的场强公式 E?得带电直线在P点产生的场强为

d Q 图13.5 y b a P x O dx ?, 2??0rdE?d?2??0r??dx2??0(b/2?a?x),其方向沿x轴正向.

由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同,所以总场强为

?E?2??0??1?ln(b/2?a?x)dx?2??b/2?a?x0?b/2b/2b/2??b/2?bln(1?). ① 2??0a场强方向沿x轴正向.

(2)为了便于观察,将薄板旋转建立坐标系.仍然在平

面薄板上取一宽度为dx的带电直线,电荷的线密度仍然为

dλ = σd x,

带电直线在Q点产生的场强为

y b O d x r dx θ z Q dE dE?d?2??0r??dx2??0(b2?x2)1/2,

沿z轴方向的分量为 dEz?dEcos???cos?dx,

2??0(b2?x2)1/2设x = dtanθ,则dx = ddθ/cos2θ,因此dEz?dEcos??arctan(b/2d)?d? 2??0积分得Ez??b??arctan(). ② 场强方向沿z轴正向. d????2d2??00?arctan(b/2d)?ln(1?b/a),

2??0ab/a[讨论](1)薄板单位长度上电荷为λ = σb, ①式的场强可化为 E?当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为

E??, ③ 这正是带电直线的场强公式. 2??0a(2)②也可以化为 Ez??arctan(b/2d),

2??0db/2d当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为

Ez??, 这也是带电直线的场强公式.

2??0d当b→∞时,可得Ez??, ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式. 2?013. 两无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2(R1 > R2),带有等量异号电荷,单位长度的电量为λ和-λ,求(1)r < R1;(2) R1 < r < R2;(3)r > R2处各点的场强.

[解答]由于电荷分布具有轴对称性,所以电场分布也具有轴对称性.

(1)在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内没有电荷,所以

E = 0,(r < R1).

(2)在两个圆柱之间做一长度为l,半径为r的同轴圆柱形高斯面,高斯面内包含的电荷

为 q = λl,

穿过高斯面的电通量为 ?e???E?dS??EdS?E2?rl,

SS根据高斯定理Φe = q/ε0,所以E??, (R1 < r < R2). 2??0r(3)在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内电荷的代数和为零,所以

E = 0,(r > R2).

13.9一厚度为d的均匀带电无限大平板,电荷体密度为ρ,求板内外各点的场强.

[解答]方法一:高斯定理法.

(1)由于平板具有面对称性,因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面:E = E‘.

d 2r S0 S2 E` S2 E` S1 S1 S0 E E 在板内取一底面积为S,高为2r的圆柱面作为高斯面,场

强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直,通过高斯面的电通量为

?e??E?dS??SE?dS??SE?dS??SE?dS?ES?E`S?0?2ES,

S120高斯面内的体积为 V = 2rS,

包含的电量为 q =ρV = 2ρrS, 根据高斯定理 Φe = q/ε0,

可得场强为 E = ρr/ε0,(0≦r≦d/2).①

(2)穿过平板作一底面积为S,高为2r的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES,

高斯面在板内的体积为V = Sd,

包含的电量为 q =ρV = ρSd, 根据高斯定理 Φe = q/ε0,

可得场强为 E = ρd/2ε0,(r≧d/2). ② 方法二:场强叠加法.

E1 y (1)由于平板的可视很多薄板叠而成的,以r为界,下面平板产生的场强方向向上,上面平板产生的场强方向向下.r dy d 在下面板中取一薄层dy,面电荷密度为dσ = ρdy, E2 o 产生的场强为 dE1 = dσ/2ε0,

积分得E1??dy?d?(r?),③ ?2?02?02?d/2R O R` a O` r同理,上面板产生的场强为

d/2E2??r?dy?d?(?r),④ 2?02?02r处的总场强为E = E1-E2 = ρr/ε0.

图13.10 (2)在公式③和④中,令r = d/2,得

E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0,E就是平板表面的场强.

平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果,是均强电场,方向与平板垂直,大小等于平板表面的场强,也能得出②式.

13. 两块“无限大”平行带电板如图所示,A板带正电,B板带负电并接地(地的电势为零),设A和B两板相隔5.0cm,板上各带电荷σ=3.3×10-6C·m-2,求:

(1)在两板之间离A板1.0cm处P点的电势;

(2)A板的电势.

[解答]两板之间的电场强度为 E=σ/ε0,方向从A指向B.

以B板为原点建立坐标系,则rB = 0,rP = -0.04m,rA = -0.05m.

(1)P点和B板间的电势差为

rBA P B 图13.16

rBA P B o r UP?UB??E?dl??Edr?rPrP?(rB?rP), ?03.3?10?6?0.04=1.493×104(V). 由于UB = 0,所以P点的电势为UP??128.84?10(2)同理可得A板的电势为 UA??(rB?rA)=1.866×104(V). ?0R2 B rB O R 1r A A图13.18

13. 如图所示,一个均匀带电,内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,所带电荷体密度为ρ,试计算:

(1)A,B两点的电势;

(2)利用电势梯度求A,B两点的场强.

[解答](1)A点在球壳的空腔内,空腔内的电势处处相等,因此A点的电势就等于球心O点的电势.

在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳,其体积为 dV = 4πr2dr,

包含的电量为 dq = ρdV = 4πρr2dr,

R2 O R1 r dr