[讨论]（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得

E1??a?1?，

4??0d1d1?a4??0d1d1/a?1?， ③

4??0d1保持d1不变，当a→∞时，可得E1?这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小． （2）由②式得

Ey??4??0d2ad?(a/2)222??4??0d21(d2/a)?(1/2)22，

当a→∞时，得 Ey??， ④

2??0d2这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1．

13．一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如图所示．试求： （1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强．

P a b （2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强． [解答（]1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，

电荷的线密度为 dλ = σd x， 根据直线带电线的场强公式 E?得带电直线在P点产生的场强为

d Q 图13.5 y b a P x O dx ?， 2??0rdE?d?2??0r??dx2??0(b/2?a?x)，其方向沿x轴正向．

由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为

?E?2??0??1?ln(b/2?a?x)dx?2??b/2?a?x0?b/2b/2b/2??b/2?bln(1?)． ① 2??0a场强方向沿x轴正向．

（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平

面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为

dλ = σd x，

带电直线在Q点产生的场强为

y b O d x r dx θ z Q dE dE?d?2??0r??dx2??0(b2?x2)1/2，

沿z轴方向的分量为 dEz?dEcos???cos?dx，

2??0(b2?x2)1/2设x = dtanθ，则dx = ddθ/cos2θ，因此dEz?dEcos??arctan(b/2d)?d? 2??0积分得Ez??b??arctan()． ② 场强方向沿z轴正向． d????2d2??00?arctan(b/2d)?ln(1?b/a)，

2??0ab/a[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为λ = σb， ①式的场强可化为 E?当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

E??， ③ 这正是带电直线的场强公式． 2??0a（2）②也可以化为 Ez??arctan(b/2d)，

2??0db/2d当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为

Ez??， 这也是带电直线的场强公式．

2??0d当b→∞时，可得Ez??， ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式． 2?013． 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 > R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R1；（2） R1 < r < R2；（3）r > R2处各点的场强．

[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．

（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以

E = 0，（r < R1）．

（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷

为 q = λl，

穿过高斯面的电通量为 ?e???E?dS??EdS?E2?rl，

SS根据高斯定理Φe = q/ε0，所以E??， (R1 < r < R2)． 2??0r（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以

E = 0，（r > R2）．

13．9一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．

[解答]方法一：高斯定理法．

（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E‘．

d 2r S0 S2 E` S2 E` S1 S1 S0 E E 在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场

强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为

?e??E?dS??SE?dS??SE?dS??SE?dS?ES?E`S?0?2ES，

S120高斯面内的体积为 V = 2rS，

包含的电量为 q =ρV = 2ρrS， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，

可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．①

（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES，

高斯面在板内的体积为V = Sd，

包含的电量为 q =ρV = ρSd， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，

可得场强为 E = ρd/2ε0，(r≧d/2)． ② 方法二：场强叠加法．

E1 y （1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．r dy d 在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为dσ = ρdy， E2 o 产生的场强为 dE1 = dσ/2ε0，

积分得E1??dy?d?(r?)，③ ?2?02?02?d/2R O R` a O` r同理，上面板产生的场强为

d/2E2??r?dy?d?(?r)，④ 2?02?02r处的总场强为E = E1-E2 = ρr/ε0．

图13.10 （2）在公式③和④中，令r = d/2，得

E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0，E就是平板表面的场强．

平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．

13． 两块“无限大”平行带电板如图所示，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），设A和B两板相隔5.0cm，板上各带电荷σ=3.3×10-6C·m-2，求：

（1）在两板之间离A板1.0cm处P点的电势；

（2）A板的电势．

[解答]两板之间的电场强度为 E=σ/ε0，方向从A指向B．

以B板为原点建立坐标系，则rB = 0，rP = -0.04m，rA = -0.05m．

（1）P点和B板间的电势差为

rBA P B 图13.16

rBA P B o r UP?UB??E?dl??Edr?rPrP?(rB?rP)， ?03.3?10?6?0.04=1.493×104(V)． 由于UB = 0，所以P点的电势为UP??128.84?10（2）同理可得A板的电势为 UA??(rB?rA)=1.866×104(V)． ?0R2 B rB O R 1r A A图13.18

13． 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：

（1）A，B两点的电势；

（2）利用电势梯度求A，B两点的场强．

[解答]（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球心O点的电势．

在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为 dV = 4πr2dr，

包含的电量为 dq = ρdV = 4πρr2dr，

R2 O R1 r dr