湖南城市学院 数学与计算科学学院
《数学建模》实验报告
专 业： 学 号： 姓 名： 指导教师： 成 绩：
年 月 日
实验一 初等模型
实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。 实验内容：A、B两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题 飞机的降落曲线
在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S形曲线。如下图所示，已知飞机的飞行高度为h，飞机的着陆点为原点O，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g／10，此处g是重力加速度。
（1）若飞机从x?x0处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点x0所能允许的最小值。 y
u
h
O x0 x
一、
确定飞机降落曲线的方程
如图所示，我们假设飞机降落的曲线的方程为I
f(x)?ax3?bx2?cx?d
由题设有 f(0)?0,f(x0)?h。
由于曲线是光滑的，所以f(x)还要满足f?(0)?0,f?(x0)?0，代入f(x)
可以得到
?f(0)?d?0?f?(0)?c?0? 32?f(x)?ax?bx?cx?d?h0000??f?(x)?3ax2?2bx?c?0000?得 a??2hx0,b?33hx02,c?0,d?0,
飞机的降落曲线为 f(x)??二、
找出最佳着陆点
h232(x?3x) 2x0x0
飞机的垂直速度是关于时间t的导数，所以
dyh6dx??2(x2?6x) dtdtx0x0其中
dxdx?u, 因此 是飞机的水平速度，
dtdtdy6hux2??2(?x) dtx0x0垂直加速度为
d2y6hu2xdx6hu22x??2(?1)??2(?1) 2x0dtx0dtx0x0d2y6hu22x记 a(x)?2,则a(x)??1，x??0,x0? 2dtx0x0因此，垂直加速度的最大绝对值为 maxa(x)?6hu2x02 x??0,x0?
设计要求
6hu2x02?g60h，所以x0?u? （允许的最小值） 10g实验二 优化模型
实验目的：理解优化模型的三要素，掌握优化模型建模求解步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题 梯子长度问题
一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?
如图中所设，
梯子长f(x) 温室 b a θ
设：梯子与地面角度为θ ，温室伸入花园的长度a=2m，温室本身的高b=3m 梯子的长度为f(x)。
根据题意结合图形，有
ab?f(x)???cos?sin???f'(x)?0?解得
?b3???arctana??2233f?a?b ?min??1.5 其中 ??(0,?/2)
将温室伸入花园的长度a=2m，温室本身的高b=3m，代入上式
当??arctan31.5?arctan1.145时候，
梯子的长度最小
fmin?
?34?93?1.5?7.02
可知梯子的最小长度为7.02m，7m的梯子不能够做到。
C题 选址问题
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有7个位置点Ai（i?1,2,?,7）可共选择，且规定：
东区只能在A1，A2，A3中至多选两个； 西区则在A4，A5中至少选一个；
南区则在A6，A7中至少选一个；
如选用Ai，设备投资估计为bi万元，每年可获利润估计为ci万元，问在投资总额不超过B万元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？
假设投资总额B?1000万元，设备投资估计bi与每项投资每年获利ci见下表：
i 1 2 3 4 5 6 7 bi（万元） 150 180 300 200 300 100 80 ci（万元） 25 46 60 53 55 17 16 试求此问题的解。
这是一个典型的0-1规划。假设xi表示Ai(i?1,...,7)7个位置点，z表示公司年利润，据题意我们可得到
maxz?25y1?46y2?60y3?53y4?55y5?17y6?16y7?150x1?180x2?300x3?200x4?300x5?100x6?80x7?1000?x?x?x?2123???x5?x4?1?x?x?1?67??xi?0or1(i?1,?,7)
用LINGO程序可求得其解。
max=25*x1+46*x2+60*x3+53*x4+55*x5+17*x6+16*x7;
150*x1++180*x2+300*x3+200*x4+300*x5+100*x6+80*x7<=1000; x1+x2+x3<=2; x4+x5>=1; x6+x7>=1; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); @bin(x6); @bin(x7);
其解为：
Global optimal solution found.
Objective value: 201.0000 Objective bound: 201.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost x1 0.000000 -25.00000 x2 0.000000 -46.00000 x3 1.000000 -60.00000 x4 1.000000 -53.00000 x5 1.000000 -55.00000 x6 1.000000 -17.00000 x7 1.000000 -16.00000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 201.0000 1.000000 2 20.00000 0.000000 3 1.000000 0.000000 4 1.000000 0.000000 5 1.000000 0.000000
所以要使公司年利润最大，
则东区在A1，A2，A3两中个选择A3； 西区则A4，A5全选； 南区则A6，A7全选；
实验三 微分方程模型
实验目的：理解微分方程模型的构建的基本方法，掌握微分方程模型建模求解步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题 酒驾识别问题
一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是
56/100(mg/ml),又过两个小时，含量降为40/100(mg/ml),试判断，当事故发生
时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100(mg/ml)）。
解：
设x(t)为时刻t的血液中酒精的浓度，则依平衡原理时间间隔?t,t??t?内，酒精浓度的改变量?x?x(t)??t，即
x(t??t)?x(t)??kx(t)?t
其中k?0，为比例常数，负号则表示浓度随时间递减的，两边除以?t，再让?t?0，则可以得到
dx??kx dtx(3)?56，x(5)?40，x(0)?x0。
容易求得通解为x(t)?ce?kt，代入x(0)?x0，得到
x(t)?x0e?kt
又因为x(3)?56，x(5)?40，代入，可得到
?3k??x0e?56?e2k?56?k?0.17 ??5k40??x0e?40K=0.17代入其中的一个等式，可得到x0?56?e3?0.17?93.25?80，所以事故发生的时候，司机的酒精浓度已经超标。
B题 物体冷却问题
物体在20min内由100oC冷却到60oC，问经过多长时间此物能降到30oC？
根据牛顿的冷却定理：温度求导=物体温度和介质温度之差成正比。
T?(t)??k(T(t)?H)
其中，T(t)为物体的温度，K为比列常数，H为室温，T0为物体一开始的温度，对其不定积分。则，
T?(t)?ktdt??kdt?T(t)?H?c?e ?(T(t)?H)?代入T0可得到，
T(t)?H?(T0?H)e?kt
将题目中给出的数据代入，可得到从100度到30度需要60分钟。
实验四 稳定性模型
实验目的：理解微分方程模型稳定性分析的的基本方法，掌握微分方程模型建模
与稳定性分析的步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
B题 食饵和捕食者
在一个封闭的大草原里生长着兔子和狐狸，设t时刻它们的数量分别为x(t)和y(t)，已知满足以下微分方程组
?dx?4x?0.04xy,??dt? ?dy??0.8y?0.0002xy.??dt（1） 建立上述微分方程组的轨线方程；
（2） 在什么情况下兔子和狐狸数量出现平衡状态？
（3） 建立另一个微分方程组来分析人们对兔子和狐狸进行捕猎会产生什
么后果？
1、
从方程（1），（2）消去dt后得到：
dxx(4?0.04y) ?dyy(?0.8?0.0002x)通过分离变量，可得：
?0.8?0.0002x4?0.04ydx?dy xy方程两边积分得到方程（1），（2）的相轨线为：
(x0.8e?0.0002x)(y4e?0.4y)?c
其中c为常数由初始条件确定。 2、
通过解兔子和狐狸的数量方程（1），（2）得两个平衡点为
,100),P2(0,0) P1(4000
f g fm p gm q O x1 x0 x2 F(x)的图形 x y1 y0 y2 G（x）的图形 我们记f(x)?x0.8e?0.0002x，g(y)?y4e?0.4y将他们的极值多记为x0,y0,
极大值为fm,gm可做上图，则可以由图可得知道x0,y0满足
f(x0)?fm,x0?4000g(y0)?gm,y0?100
所以x0,y0恰好是平衡点P1.
实验五 代数方程和差分方程模型
实验目的：理解向量、矩阵的基本概念和序列递推分析的意义，掌握代数方程和差分方程模型建模与求解步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题 基因间的“距离”
在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率： 爱斯基摩人f1i 0.29 0.00 0.03 0.68 1.000 班图人f2i 0.10 0.09 0.12 0.69 1.000 英国人f3i 0.21 0.07 0.06 0.66 1.000 朝鲜人f4i 0.22 0.00 0.21 0.57 1.000 A1 A2 B O 合计 问:一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
B题 化学反应方程式的确定
化学试验中，我们常常可以观察到反应物和生成物，需要进一步确实它们之间的定量关系，即确定化学反应方程。现已知
(x1)C3H8?(x2)O2?(x3)CO2?(x4)H2O
求方程中各反应物和生成物的系数x1,x2,x3,x4。
C题 城镇人口变迁
设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？
D题 种群年龄结构变化
某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄
11
和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为2 和4 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？
实验报告： 一、问题分析 二、模型假设 三、模型构建 四、模型求解
五、结果分析与解释
实验六 离散模型
实验目的：理解层次分析法和投入产出法的基本原理，掌握离散模型建模与求解步骤与方法。
实验内容：A、B中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题 大学生的信誉评估问题
近年来，各大银行针对大学生消费群体开展了一系列的信用卡业务推介，在提高了信用卡使用率的同时，大学生使用信用卡的违规现象就日趋严重，进而产生如盲目消费、过度消费、恶意透支等社会问题，对校园稳定、学生安全和银行信用卡的使用风险都造成了威胁。因此，对大学生信用卡风险进行控制管理是十分必要的。找到有效规避大学生信用卡风险的方法不仅能给银行自身带来巨大收益，也能让大学生建立合理的理财计划。
在信用卡申领到使用的一系列环节中，如果能够建立起完善的大学生信誉评估体系，严格首发卡关，可以给学生和银行双方都带来益处。
通常，影响大学生“信誉”的因素有：（1）学习诚信情况、（2）经济诚信情况、（3）社会实践诚信情况、（4）生活诚信情况、（5）就业诚信情况等。
请依据这些定量或定性因素的具体含义，建立对大学生“信誉”的评估模型，并给银行发卡部门提出一定建议。
B题 各部门投入产出分析
下表给出的是某城市一年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量（均以产品价值计算，单位：万元），表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值． 农业 轻工业 重工业 建筑业 运输业 商业 外部需求 农业 45.0 162.0 5.2 9.0 0.8 10.1 151.9 轻工业 27.0 162.0 6.4 6.0 0.6 60.0 338.0 重工业 30.8 30.0 52.0 25.0 15.0 14.0 43.2 建筑业 0.0 0.6 0.2 0.2 4.8 20.0 54.2 运输业 1.6 5.7 3.9 2.4 1.2 2.1 33.1 商业 16.0 32.3 5.5 4.2 12.6 6.1 243.3 （1）试列出投入产出简表，并求出直接消耗矩阵； （2）根据预测，从这一年度开始的五年内，农业的外部需求每年会下降 1%，轻工业和商业的外部需求每年会递增 6%，而其他部门的外部需求每年会递增
3%，试由此预测这五年内该城市和各部门的总产值的平均每年增长率； （3）编制第五年度的计划投入产出表．
实验报告： 一、问题分析 二、模型假设 三、模型构建 四、模型求解
五、结果分析与解释
实验七 数据分析
实验目的：理解数据分析的基本统计量，掌握概率模型建模求解步骤与方法。 实验内容：A、B中任选一题，C、D题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题 零件加工数分析
一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：
459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图； 2)检验分布的正态性；
3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数.
B题 汽油价格问题
据说某地汽油的价格是每加仑115美分，为了验证这种说法，一位学者开车随机选择了一些加油站，得到某年1月和2月的数据如下： 1月：119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118
2月：118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 120 123 121 119 117 119 128 126 118 125
1）分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性； 2）分别给出1月和2月汽油价格的置信区间； 3）给出1月和2月汽油价格差的置信区间.
C题 报童问题
某报童以每份0.03元的价格买进报纸,以0.05元的价格出售. 根据 长期统计,报纸每天的销售量及百分率为 销售量 200 210 220 230 240 250 百分率 0.10 0.20 0.40 0.15 0.10 0.05 已知当天销售不出去的报纸，将以每份0.02元的价格退还报社.试用模
拟方法确定报童每天买进多少份报纸,能使平均总收入最大?
D题 电子管更换最佳方案
某设备上安装有4只型号规格完全相同的电子管，已知电子管寿命服从1000～2000h之间的均匀分布．电子管损坏时有两种维修方案，一是每次更换损坏的那只；二是当其中1只损坏时4只同时更换．已知更换时间为换1只时需1h，4只同时换为2h．更换时机器因停止运转每小时的损失为20元，又每只电子管价格10元，试用模拟方法确定哪一个方案经济合理？
实验报告： 一、问题分析 二、模型假设 三、模型构建 四、模型求解
五、结果分析与解释
实验八 回归分析模型
实验目的：理解回归分析的原理，掌握回归分析模型建模求解步骤与方法。 实验内容：A、B中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A题 化学反应的回归分析
在研究化学动力学反应过程中，建立了一个反应速度和反应物
?1x2?y?x3?5含量的数学模型，形式为
1??2x1??3x2??4x3
其中?1,?,?5是未知参数，x1,x2,x3是三种反应物（氢，n戊烷， 异构戊烷）的含量，y是反应速度.今测得一组数据如下表，试由 此确定参数?1,?,?5，并给出置信区间. 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
反应速度y 8.55 3.79 4.82 0.02 2.75 14.39 2.54 4.35 13.00 8.50 0.05 11.32 3.13
氢x1 470 285 470 470 470 100 100 470 100 100 100 285 285
n戊烷x2 300 80 300 80 80 190 80 190 300 300 80 300 190
异构戊烷x3 10 10 120 120 10 10 65 65 54 120 120 10 120
B题 第三产业对旅游外汇收入的影响
国际旅游外汇收入是国民经济发展的重要组成部分，影响一个国家或地区旅游收入的因素包括自然、文化、社会、经济、交通等多方面的因素，下表给出1998年我国31个省、市、自治区的有关数据，试研究第三产业对旅游外汇收入的影响。
地区 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 y
北京 1.94 4.50 154.45 207.33 246.90 277.64 135.79 30.58 110.70 80.83 51.83 14.09 2384 天津 0.33 6.49 133.16 127.29 120.20 114.88 81.21 14.05 35.70 16.00 27.10 2.93 202 河北 6.16 17.18 313.40 386.96 203.00 204.22 79.43 32.42 79.38 14.54 128.13 42.15 100 山西 5.35 9.30 123.80 122.94 101.60 96.84 34.67 13.99 37.28 5.93 63.91 3.12 38
内蒙古 3.78 4.26 106.05 95.49 27.58 22.75 34.24 14.06 28.20 4.69 35.72 9.51 126 辽宁 11.20 8.17 271.96 533.15 164.40 123.78 187.70 58.63 90.52 31.71 84.05 11.61 262 吉林 2.84 3.61 109.37 130.80 52.49 62.26 38.15 21.82 44.53 25.78 48.49 14.22 38 黑龙江 8.64 11.41 160.06 246.57 109.20 115.32 68.71 34.55 58.08 13.52 72.05 21.17 121 上海 3.64 6.67 244.42 412.04 459.60 512.21 160.45 43.51 89.93 48.55 48.63 7.05 1218 江苏 30.90 19.08 435.77 724.85 376.00 381.81 210.39 71.82 150.60 23.74 188.28 19.65 529 浙江 6.26 6.30 321.75 665.80 157.90 172.19 147.16 52.44 78.16 10.90 93.05 9.45 361 安徽 4.13 8.87 152.29 258.60 83.42 85.10 75.74 26.75 63.47 5.89 47.02 2.66 51 福建 5.85 5.61 347.25 332.59 157.30 172.48 115.16 33.80 77.27 8.69 79.01 8.24 651 江西 6.70 6.80 145.40 143.54 97.40 100.50 43.28 17.71 51.03 5.41 62.03 18.25 43 山东 10.80 11.73 442.20 665.33 411.90 429.88 115.07 87.45 145.30 21.39 187.77 110.20 220 河南 4.16 22.51 299.63 316.81 132.60 139.76 84.79 53.93 84.23 12.36 116.89 10.38 101 湖北 4.64 7.65 195.56 373.04 161.80 180.14 101.58 58.00 80.53 21.61 100.69 5.16 88 湖南 7.08 10.99 216.49 291.73 119.20 125.62 47.05 48.19 97.97 12.07 139.39 16.67 156 广东 16.30 24.10 688.83 827.16 271.10 268.20 331.55 71.44 146.20 23.38 145.77 16.52 2942 广西 4.01 4.00 125.04 243.50 52.06 31.22 47.25 25.59 55.27 4.49 60.13 13.64 156 海南 0.80 2.07 35.03 60.90 29.20 30.14 20.22 4.22 12.19 1.30 9.29 0.27 96 重庆 4.42 2.11 78.93 138.43 68.31 73.84 79.98 18.42 43.30 20.01 48.48 0.72 88 四川 11.20 9.42 196.27 328.46 204.50 144.45 101.21 43.01 74.22 15.85 90.60 11.05 84 贵州 2.01 2.03 25.04 69.97 40.86 36.45 27.02 13.80 26.83 2.86 25.63 6.76 48 云南 6.43 6.08 88.90 170.15 88.86 89.84 33.66 29.20 51.25 8.60 40.47 4.81 261 西藏 1.91 0.98 5.08 11.13 0.67 1.69 1.94 2.95 5.02 0.89 7.59 0.17 33 陕西 5.49 9.90 115.42 94.63 76.57 53.14 47.88 22.08 56.97 14.02 48.64 38.17 247 甘肃 3.97 7.80 39.32 99.23 41.64 50.55 11.41 8.81 15.98 6.33 16.46 7.02 30 青海 1.31 3.08 13.67 18.79 18.37 18.57 3.15 3.14 8.66 1.26 14.30 1.20 3 宁夏 1.10 2.10 16.11 19.64 17.85 16.52 4.16 3.03 6.76 1.06 7.52 3.18 1 新疆 4.58 10.35 92.03 103.34 49.19 50.20 28.14 11.82 37.95 4.52 39.49 3.53 82
《中国统计年鉴》把第三产业划分为12个组成部分，分别为x1农林牧渔服务业，
x2地质勘查水利管理业，x3交通运输仓储和邮电通信业，x4批发零售贸易和餐饮业，x5金融保险业，x6房地产业，x7社会服务业，x8卫生体育和社会福利业，
x9教育文化艺术和广播，x10科学研究和综合艺术，x11党政机关，x12其他行业。选取1998年我国31个省、市、自治区的数据（见表9－5）。自变量单位为亿元人民币，以国际旅游外汇收入为因变量y（百万美元）。
实验报告：
一、问题分析 二、模型假设 三、模型构建 四、模型求解
五、结果分析与解释