k

uk=E(X), k=1,2, ?.

于是，我们有

??xikpi??i?????kxp(x)dx,?????当X为离散型时，uk

当X为连 续型时.②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为?k，即

?k?E(X?E(X)),k?1,2,?.

k

于是，我们有

??(xi?E(X))kpi??i?????k(x?E(X))p(x)dx,?????当X为离散型时，uk

当X为连 续型时.③对于随机变量X与Y，如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为ukl，即

ukl?E[(X?E(X))(Y?E(Y))].

k第二节 练习题

1、一维随机变量及其函数的数字特征

例4．16：设连续型随机变量X的概率密度函数是

?ax2?bx?cf(x)??0?0?x?1其他

且已知EX=0.5, DX=0.15，求系数a, b, c。

例4．17：将10封信放入到9个信箱中去，设每封信落入各个信箱是等可能的，求有信的信箱数X的数学期望。 例4．18：一辆送客汽车，载有50位乘客从起点站开出，沿途有10个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的并且各旅客是否下车相互独立。设X表示停车的次数。试求E(X)和D(X)。

例4．19：设某一机器加工一种产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地抽取5件产品检验，如果发现多于1件次品，就要调整机器。求一天中调整机器次数的概率分布及数学期望。

例4．20：地铁到达一站时间为每个整点的第5分、25分、55分钟，设一乘客在早8点～9点之间随机到达，求侯车时间的数学期望。

2、二维随机变量及其函数的数字特征

例4．21：设X～N（1，2），Y～N（2，4）且X，Y相互独立，求Z=2X+Y-3的分布密度函数f(z)。 例4．22：设X1，X2，??，Xn为独立同分布的随机变量，均服从N(?,?)，证明X?分布。

例4．23：设二维随机向量（X，Y）的联合分布密度函数

?2xe?f(x,y)???0,??(y?5)21nn?i?1Xi服从N(?,?2n)0?x?1,y?5,

其他,则E（XY）= 。

y2?1所围成的三角形区域，求X，

例4．24：设（X，Y）服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?Y，XY的数学期望及方差。

例4．25：设随机变量X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，

试求随机变量U=X+Y的方差。

例4．26：设X,Y是随机变量，均服从标准正态分布，相关系数?XY＝的值，使D(Z1)＝D(Z2)＝1且Z1和Z2不相关。

12，令Z1＝aX，Z2＝bX+cY，试确定a,b,c

3、独立和不相关

例4．27：设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D（X+Y）=D（X）+D（Y）是X和Y （ ）。

（A）不相关的充分条件，且不是必要条件； （B）独立的充分条件，但不是必要条件； （C）不相关的充分必要条件； （D）独立的充分必要条件。

例4．28：已知（X,Y）的联合分布律为

X\\Y -1 -1 0 1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 试求（1）E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；（2）Cov(X,Y)，?XY；（3）判断X,Y是否相关？是否独立？ 例4．29：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数?XY??设Z?X3?Y2.

12，

（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数?XY；（3）问X与Z是否相互独立？为什么？

例4．30：设A，B是二随机事件，随机变量

?1,X????1,若A出现,否则,

?1,Y????1,若B出现,否则.

试证：“X,Y不相关”与“A,B独立”互为充分必要条件。

4、应用题

例4．31：设某产品每周需求量为Q，Q等可能地取1，2，3，4，5。生产每件产品的成本是3元，每件产品的售价为9元，没有售出的产品以每件1元的费用存入仓库。问生产者每周生产多少件产品可使利润的期望最大？ 例4．32：设某种商品每周的需求量X服从区间[10，30]上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

第五章 大数定律和中心极限定理

第一节 基本概念

1、切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

P(X????)?2

??22

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

P(X????)

的一种估计，它在理论上有重要意义。

例5．1：设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计P{X?E(X)?2}? 。

2、大数定律

（1）切比雪夫大数定律 （要求方差有界）

设随机变量X1，X2，?相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）

?1limP??nn???n?i?1Xi?1nn?i?1?E(Xi)?????1.

? 特殊情形：若X1，X2，?具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为

?1limP??nn???n?i?1?Xi???????1.

?或者简写成：

limPX?????1.

n????切比雪夫大数定律指出，n个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当n很大时，它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。

例5．2：设{Xk}为相互独立的随机变量序列，且

?k??2~???12k?1??20122k2kXk1?122k?1???,k?1,2,?, ????试证{Xk}服从切比雪夫大数定律。

（2）伯努利大数定律

设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有

????limP??p?????1. n??n?? 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

????limP??p?????0. n???n?这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

（3）辛钦大数定律

（不要求存在方差） 设X1，X2，?，Xn，?是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有

?1limP??nn???n?i?1?Xi???????1.

?

3、中心极限定理

（1）列维－林德伯格定理

设随机变量X1，X2，?相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：

E(Xk)??,D(Xk)??2?0(k?1,2,?)，则随机变量

n?Yn?k?1Xk?n?

n?的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

?n?X?n???k??k?1?limFn(x)?limP