，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则X和Y的边缘分布密度为

fX(x)??????f(x,y)dy，fY(y)??????f(x,y)dx.

注意：联合概率分布→边缘分布

例3．2：设（X，Y）的联合分布密度为

?Ce?f(x,y)???0,??(3x?4y),x?0,y?0,

其他试求：（1）常数C；

（2）P{0

（3）X与Y的边缘分布密度fX(x),fY(y).

（3）条件分布

当（X，Y）为离散型，并且其联合分布律为

P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?),

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

P(Y?yj|X?xi)?

pijpi?,

其中pi?, p?j分别为X，Y的边缘分布。

当（X，Y）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

f(x|y)?f(x,y)fY(y)

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

f(y|x)?f(x,y)fX(x)

其中fX(x)?0,fY(y)?0分别为X，Y的边缘分布密度。 例3．3： 设二维随向量（X，Y）的联合分布为 X Y 2 5 8 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.05 0.12 0.03 求 （1）X与Y的边缘分布； （2）X关于Y取值y1=0.4的条件分布；

（4）常见的二维分布

①均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

?1?S?Df(x,y)???0,??(x,y)?D（3）Y关于X取值x2=5的条件分布。

其他其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 图3.1

x y 1 D2 O 1 图3.2 y d D3 2 x c O a b x 图3.3

例3．4： 设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中

D?{(x,y):|x?y|?1,|x?y|?1},

求X的边缘密度fX(x) 画线观察积分上下限。

②正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

12??1?2f(x,y)?1??2e??x??1????22(1??)???1?1?2?(x??1)(y??2)?y??2????????1?22??2????2????,

其中?1,?2,?1?0,?2?0,|?|?1，共5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?).

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。 即X～N（?1,?1),Y~N(?2,?2).

（5）二维随机向量联合分布函数及其性质

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

F(x,y)?P{X?x,Y?y}

2222称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{(?1,?2)|???X(?1)?x,???Y(?2)?y}的概率为函数

值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1）0?F(x,y)?1;

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）?F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ?F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

F(x,y)?F(x?0,y),F(x,y)?F(x,y?0);

（4）F(??,??)?F(??,y)?F(x,??)?0,F(??,??)?1.

2、随机变量的独立性

（1）一般型随机变量 F(X,Y)=FX(x)FY(y)

（2）离散型随机变量

pij?pi?p?j

例3．5：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 Y X 1 2 3 p2j -1 16160 0 161 0 0 16162 0 161613p12 161213 0 130 16 1

（3）连续型随机变量 f(x,y)=fX(x)fY(y)

联合分布→边缘分布→f(x,y)=fX(x)fY(y)

直接判断，充要条件： ①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

例3．6：如图3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不独立。 ?Axy2,0?x?2,0?y?1例3．7：f(x,y)=?

0,其他?

（4）二维正态分布

12??1?2?f(x,y)?1??2e??x??1???22(1??)???1?1?2?(x??1)(y??2)?y??2????????1?22??2????2????,

ρ=0

（5）随机变量函数的独立性

若X与Y独立，h,g为连续函数，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

3、简单函数的分布

两个随机变量的和Z=X+Y ①离散型：

例3．8：设（X，Y）的联合分布为 X Y 0 112131 16162 112160 1

求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z3=XY的分布列。

②连续型

??fZ(z)＝

???f(x,z?x)dx

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（