,Y)为连续型随机向量,并且其联合分布密度为f(x,y),则X和Y的边缘分布密度为
fX(x)??????f(x,y)dy,fY(y)??????f(x,y)dx.
注意:联合概率分布→边缘分布
例3.2:设(X,Y)的联合分布密度为
?Ce?f(x,y)???0,??(3x?4y),x?0,y?0,
其他试求:(1)常数C;
(2)P{0
(3)X与Y的边缘分布密度fX(x),fY(y).
(3)条件分布
当(X,Y)为离散型,并且其联合分布律为
P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?),
在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为
P(Y?yj|X?xi)?
pijpi?,
其中pi?, p?j分别为X,Y的边缘分布。
当(X,Y)为连续型随机向量,并且其联合分布密度为f(x,y),则在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为
f(x|y)?f(x,y)fY(y)
在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为
f(y|x)?f(x,y)fX(x)
其中fX(x)?0,fY(y)?0分别为X,Y的边缘分布密度。 例3.3: 设二维随向量(X,Y)的联合分布为 X Y 2 5 8 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.05 0.12 0.03 求 (1)X与Y的边缘分布; (2)X关于Y取值y1=0.4的条件分布;
(4)常见的二维分布
①均匀分布
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
?1?S?Df(x,y)???0,??(x,y)?D(3)Y关于X取值x2=5的条件分布。
其他其中SD为区域D的面积,则称(X,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)~U(D)。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 图3.1
x y 1 D2 O 1 图3.2 y d D3 2 x c O a b x 图3.3
例3.4: 设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中
D?{(x,y):|x?y|?1,|x?y|?1},
求X的边缘密度fX(x) 画线观察积分上下限。
②正态分布
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
12??1?2f(x,y)?1??2e??x??1????22(1??)???1?1?2?(x??1)(y??2)?y??2????????1?22??2????2????,
其中?1,?2,?1?0,?2?0,|?|?1,共5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布, 记为(X,Y)~N(?1,?2,?1,?2,?).
由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,反推则错。 即X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2).
(5)二维随机向量联合分布函数及其性质
设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
F(x,y)?P{X?x,Y?y}
2222称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件{(?1,?2)|???X(?1)?x,???Y(?2)?y}的概率为函数
值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质: (1)0?F(x,y)?1;
(2)F(x,y)分别对x和y是非减的,即
当x2>x1时,有F(x2,y)?F(x1,y);当y2>y1时,有F(x,y2) ?F(x,y1); (3)F(x,y)分别对x和y是右连续的,即
F(x,y)?F(x?0,y),F(x,y)?F(x,y?0);
(4)F(??,??)?F(??,y)?F(x,??)?0,F(??,??)?1.
2、随机变量的独立性
(1)一般型随机变量 F(X,Y)=FX(x)FY(y)
(2)离散型随机变量
pij?pi?p?j
例3.5:二维随机向量(X,Y)共有六个取正概率的点,它们是:(1,-1),(2,-1),(2,0),2,2),(3,1),(3,2),并且(X,Y)取得它们的概率相同,则(X,Y)的联合分布及边缘分布为 Y X 1 2 3 p2j -1 16160 0 161 0 0 16162 0 161613p12 161213 0 130 16 1
(3)连续型随机变量 f(x,y)=fX(x)fY(y)
联合分布→边缘分布→f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断,充要条件: ①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
例3.6:如图3.1,f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3,不独立。 ?Axy2,0?x?2,0?y?1例3.7:f(x,y)=?
0,其他?
(4)二维正态分布
12??1?2?f(x,y)?1??2e??x??1???22(1??)???1?1?2?(x??1)(y??2)?y??2????????1?22??2????2????,
ρ=0
(5)随机变量函数的独立性
若X与Y独立,h,g为连续函数,则:h(X)和g(Y)独立。 例如:若X与Y独立,则:3X+1和5Y-2独立。
3、简单函数的分布
两个随机变量的和Z=X+Y ①离散型:
例3.8:设(X,Y)的联合分布为 X Y 0 112131 16162 112160 1
求(i)Z1=X+Y; (ii)Z2=X-Y; (iii) Z3=XY的分布列。
②连续型
??fZ(z)=
???f(x,z?x)dx
两个独立的正态分布的和仍为正态分布(