(X)的取值只可能是g(x1),g(x2),?,g(xn),?，若g(xi)互不相等，则Y的分布列如下：

YP(Y?yi)g(x1),g(x2),?,g(xn),?p1,p2,?,pn,?Xx1,x2,?,xn,?P(X?xi)p1,p2,?,pn,?，

，

若有某些g(xi)相等，则应将对应的Pi相加作为g(xi)的概率。

例2．18：已知随机变量X的分布列为 X0,1,P13,13,213，

求Y?X2的分布列。

（2）X是连续型随机变量

先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。

?2?(3x?1),0?x?1例2．19：已知随机变量X~f(x)??5，求Y?lnX的密度函数fY(y)。

?0,其他?

第二节 练习题

1、常见分布

例2．20：一个袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布。

例2．21：设非负随机变量Ｘ的密度函数为f(x)=A x7e?x22，x>0,则A= 。

例2．22： f1(x)?f2(x)是概率密度函数的充分条件是： （1）f1(x),f2(x)均为概率密度函数 （2）0?f1(x)?f2(x)?1

例2．23：一个不懂英语的人参加GMAT机考，假设考试有5个选择题，每题有5个选项（单选），试求：此人答对3题或者3题以上（至少获得600分）的概率？

例2．24：设随机变量X~U（0，5），求方程4x2?4Xx?X?2?0有实根的概率。 例2．25：设随机变量X的概率密度为

?1?3,??f(x)??2,?9???0,x?[0,1]x?[3,6]

其他其使得P(X?k)?23，则k的取值范围是 。

例2．26：已知某种电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，若它工作了900小时而未损坏的概率是

e?0.9，则该种电子元件的平均寿命是

A． 990小时 B． 1000小时 C． 1010小时 D． 1020小时

例2．27：设随机变量X的概率密度为：?(x)??1xe,??2（A）F(x)?????1,12e?|x|,(???x???)则其分布函数F(x)是

x?0, x?0.

?1x?2e,?（B）F(x)???1?x1?e?2?1?x?1?e,?2?（C）F(x)???1,??x?0,

x?0.x?0,

x?0.?1?x?2e,??1?x（D）F(x)??1?e,?2???1,.x?0,0?x?1, [ ]

x?1.例2．28：X~N(1,4)，Y~N(2,9)，问P(X≦-1)和P(Y≧5)谁大？ 例2．29：X~N(μ,σ2)，μ≠0，σ>0，且P(

x????)=

12?，则α＝？

2、函数分布

例2．30：设随机变量X具有连续的分布函数F(x)，求Y=F（X）的分布函数F（y）。 （或证明题：

设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。） 例2．31：设随机变量X的分布函数为F(x)，则Y=-2lnF(X)的概率分布密度函数fY(y)= 例2．32：设X~U???? .

???2,?，并且y=tanx，求Y的分布密度函数f(y)。

2?例2．33：设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X, 2}的分布函数

（A）是连续函数 （B）至少有两个间断点

（C）是阶梯函数

（D）恰好有一个间断点

第三章 二维随机变量及其分布

第一节 基本概念

1、二维随机变量的基本概念

（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布

如果二维随机向量?（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称?为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y）≡（X=x∩Y=y）

设?=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j?1,2,?)，且事件{?=(xi,yj)}的概率为pij,,称

P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?)

为?=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X x1 x2 ? y1 p11 p21 ? y2 p12 p22 ? ? ? ? ? ? yj p1j p2j ? ? ? ? ? pi2 p12 p22 ? xi ? pi1 ? ? ? ? ? pi2 ? p2j p21 p22 p2j ? 1 这里pij具有下面两个性质： （1）pij?0（i,j=1,2,?）； （2）?i?jpij?1.

对于随机向量（X，Y），称其分量X（或Y）的分布为（X，Y）的关于X（或Y）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了X为离散型，并且其联合分布律为

P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?)，

则X的边缘分布为 Pi??P(X?xi)?Y的边缘分布为 P?i?P(Y?yi)??jpij(i,j?1,2,?)；

?ipij(i,j?1,2,?)。

例3．1：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 Y

-1 0 1 2 p12 X 1 2 3 p2j

（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布

对于二维随机向量??(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(???x???,???y???)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a

则称?为连续型随机向量；并称f(x,y)为?=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

????（1） f(x,y)?0; （2）

??????f(x,y)dxdy?1.

一般来说，当（X