xdf概率基础讲义[免费下载] 下载本文

-B)]=P(A) (E)p[A?B]=P(A) -P(A∪B)

(3)条件概率和乘法公式

定义 设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称

P(B/A)?P(AB)P(A)为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为

P(AB)P(A)条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式:P(AB)?P(A)P(B/A)

更一般地,对事件A1,A2,?An,若P(A1A2?An-1)>0,则有

P(A1A2?An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??P(An|A1A2?An?1)。

例1.27:甲乙两班共有70名同学,其中女同学40名,设甲班有30名同学,而女生15名,问在碰到甲班同学时,正好碰到一名女同学的概率。

例1.28:5把钥匙,只有一把能打开,如果某次打不开就扔掉,问以下事件的概率? ①第一次打开;②第二次打开;③第三次打开。

(4)全概公式

设事件B1,B2,?,Bn满足

1°B1,B2,?,Bn两两互不相容,P(Bi)?0(i?1,2,?,n),

nA?2°则有

?Bi?1i,

P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。

此公式即为全概率公式。

例1.29:播种小麦时所用的种子中二等种子占2%,三等种子占1.5%,四等种子占1%,其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

例1.30:甲盒内有红球4只,黑球2只,白球2只;乙盒内有红球5只,黑球3只;丙盒内有黑球2只,白球

2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球,它是红球的概率是:

A.0.5625 概率?

(5)贝叶斯公式

B.0.5 C.0.45 D.0.375 E. 0.225

例1.31:100个球,40个白球,60个红球,不放回先后取2次,第2次取出白球的概率?第20次取出白球的

设事件B1,B2,?,Bn及A满足

1° B1,B2,?,Bn两两互不相容,P(Bi)>0,i?1,2,?,n,

nA?2° 则

?Bi?1i,P(A)?0,

P(Bi)P(A/Bi)P(Bi/A)?n,i=1,2,?n。

?P(Bj?1j)P(A/Bj)此公式即为贝叶斯公式。

(i?1,2,?,n),通常叫先验概率。P(Bi/A),(i?1,2,?,n),通常称为后验概率。如果P(Bi),

我们把A当作观察的“结果”,而B1,B2,?,Bn理解为“原因”,则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。

例1.32:假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C表示被检验者的确患有肝癌的事件,A表示诊断出被检验者患有肝癌的事件,已知P(A/C)?0.95,P(A/C)?0.98,P(C)?0.004。现有一人被检验法诊断为患有肝癌,求此人的确患有肝癌的概率P(C|A)。

5、事件的独立性和伯努利试验

(1)两个事件的独立性

设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的(这个性质不是想当然成立的)。 若事件A、B相互独立,且P(A)?0,则有

P(AB)P(A)P(B)P(B|A)???P(B)P(A)P(A)

所以这与我们所理解的独立性是一致的。

若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。(证明) 由定义,我们可知必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。(证明) 同时,?与任何事件都互斥。

(2)多个事件的独立性

设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,

P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立?

例1.33:已知P(B/A)?P(B/A),证明事件A、B相互独立。 例1.34:A,B,C相互独立的充分条件: (1)A,B,C两两独立

(2)A与BC独立

例1.35:甲,乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次,甲射中的概率为0.9,乙射中的概率为0.8,求目标没有被射中的概率。

(3)伯努利试验

定义 我们作了n次试验,且满足

? 每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生; ? n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;

? 每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。

用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1?p?q,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现

k(0?k?n)次的概率, Pn(k)?Cknpqkn?k,k?0,1,2,?,n。

例1.36:袋中装有α个白球及β个黑球,从袋中任取a+b次球,每次放回,试求其中含a

个白球,b个黑球的概率(a?α,b?β)。

例1.37:做一系列独立试验,每次试验成功的概率为p,求在第n次成功之前恰失败m次的概率。

第二节 练习题

1、事件的运算和概率的性质

例1.38:化简 (A+B)(A+B)(A+B)

例1.39:ABC=AB(C∪B) 成立的充分条件为: (1)AB?C (2)B?C

例1.40:已知P(A)=x,P(B)=2x,P(C)=3x,P(AB)=P(BC),求x的最大值。 例1.41:当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则下列结论正确的是

(A) P(C)=P(AB)。 (B) P(C)=P(A?B)。

(C) P(C)?P(A)+P(B)-1 (D) P(C)?P(A)+P(B)-1。

[ ]

2、古典概型

例1.42:3男生,3女生,从中挑出4个,问男女相等的概率?

例1.43:电话号码由四个数字组成,每个数字可以是0,1,2,?,9中的任一个数,求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。

例1.44:袋中有6只红球、4只黑球,今从袋中随机取出4只球,设取到一只红球得2分,取到一只黑球得1

分,则得分不大于6分的概率是 A.

2342472542 B. C. D.

1321

例1.45:10个盒子,每个装着标号为“1-6”的卡片。每个盒子任取一张,问10张中最大数是4的概率? 例1.46:将n个人等可能地分到N(n?N)间房间中去,试求下列事件的概率。 A=“某指定的n间房中各有1人”; B=“恰有n间房中各有1人”

C=“某指定的房中恰有m(m?n)人”

例1.47:有5个白色珠子和4个黑色珠子,从中任取3个,问全是白色的概率?

3、条件概率和乘法公式

例1.48:假设事件A和B满足P(B | A)=1,则 (A) A是必然事件。

(C)A?B。

(B)A?B。 (D)P(AB)?0。

[

]

例1.49:设A,B为两个互斥事件,且P(A)>0, P(B)>0,则结论正确的是

(A) P(B | A)>0。 (B) P(A | B)=P(A)。

(C) P(A | B)=0。

(D) P(AB)=P(A)P(B)。

[

]

例1.50:某种动物由出生而活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现龄为20岁的这种动物活

到25岁的概率。

例1.51:某人忘记三位号码锁(每位均有0~9十个数码)的最后一个数码,因此在正确拨出前两个数码后,

只能随机地试拨最后一个数码,每拨一次算作一次试开,则他在第4次试开时才将锁打开的概率是

A.

14 B.

16 C.

25 D.

110

例1.52:在空战训练中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为0.2;若乙机未被击落,就进行还击,击落甲机的概率是0.3;若甲机未被击落,则再进攻乙机,击落乙机的概率是0.4,求在这几个回合中:①甲机被击落的概率;②乙机被击落的概率。

例1.53:为防止意外事故,在矿井内同时安装两种报警系统A与B,每种系统单独使用时,其有效率A为0.92,B为0.93,在A失灵条件下B有效概率为0.85。求:(1)这两种警报系统至少有一个有效的概率;(2)在B失灵条件下,A有效的概率。

4、全概和贝叶斯公式

例1.54:甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔,乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔.现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒,然后再从乙文具盒中任取2支笔.求最后取出的2支笔都是黑色笔的概率。

例1.55:三个箱子中,第一箱装有4个黑球1个白球,每二箱装有3个黑球3个白球,第三箱装有3个黑球5个白球。现先任取一箱,再从该箱中任取一球,问:(1)取出的球是白球的概率?(2)若取出的为白球,则该球属于第二箱的概率?

例1.56:袋中有4个白球、6个红球,先从中任取出4个,然后再从剩下的6个球中任取一个,则它恰为白球的概率是 。

5、独立性和伯努利概型

例1.57:设P(A)>0,P(B)>0,证明

(1) 若A与B相互独立,则A与B不互斥;

(2) 若A与B互斥,则A与B不独立。