22E(S)??，E(S*)?2n?1n2?,
其中S*?
21ni2?X)，为二阶中心矩。
?(Xni?13、三个抽样分布（χ、t、F分布）
（1）χ2分布
设n个随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明：它们的平方和
n2
W??i?1X2i
的分布密度为
?1u?n?n?f(u)??22??????2???0,n2?1e?u2u?0,
u?0.我们称随机变量W服从自由度为n的?2分布，记为W～?2(n)，其中
?n??????2???n?1?x?0x2edx.
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
2? 分布满足可加性：设
Yi??(ni),
2则
kZ??Yi?1i~?(n1?n2???nk).
2注意两个结果：E(χ)=n，D(χ)=2n
例6．3：设X1,X2,?,X10相互独立同N（0，22）分布，求常数a, b, c, d使
Y?aX
2122
?b(X2?X3)?c(X24?X5?X6)?d(X27?X8?X9?X10)
2
服从?2分布，并求自由度m 。
（2）t分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，且
2X~N(0,1),Y~?(n),
可以证明：函数
T?XY/n
的概率密度为
?n?1?n?1????2t?2?2???1??f(t)? ??n??n?n??????2?(???t???).
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 注意两个结果：E(T)=0，D(T)=
（3）F分布
设X~?2(n1),Y~?2(n2)，且X与Y独立，可以证明：F???n1?n2?????2????f(y)???n??n?12???????2??2?????0,nn?2(n>2)
X/n1Y/n2的概率密度函数为
n1?n1????n??2?2n1y2?1??n?1?1y??n2????n1?n22,y?0,
y?0.我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).
正态分布?1??????，
t1??(n)??t?(n)，
1F?(n2,n1)F1??(n1,n2)?
例6．4：求证：若X ~ t(n)，则X2 ~ F(1,n)。 注意以上三个分布的函数图像。
4、正态总体下统计量的分布和性质
注意一个定理：X与S2独立。
（1）正态分布
设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数
defux???/~N(0,1).
n
（2）t-分布
设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数
deftx??S/n~t(n?1),
其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
（3）?2 分布
设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，则样本函数
defw(n?1)S2?2~?(n?1),
2其中?(n?1)表示自由度为n-1的?2分布。
2（4）F分布 设x1,x2,?,xn为来自正态总体N(?,?)的一个样本，而y1,y2,?,yn为来自正态总体
2N(?,?2)的一个样本，则样本函数
def2FS1/?1S2/?22222~F(n1?1,n2?1),
其中
S21?1n1n1i?(x?1i?1?x),
2S22?1n2n2i?(y?1i?1?y);
2
F(n1?1,n2?1)表示第一自由度为n1?1，第二自由度为n2?1的F分布。
第二节 练习题
1、统计量的性质
例6．5：设(X1,X2,?,Xn)为取自正态总体N(?,?2)的样本，令
1niY??|Xni?1，D（Y）。 ??|，试求E（Y）
例6．6：从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？
2、统计量的分布
例6．7：设(X1,X2,?,Xn)是来自正态总体N(?,?2)的简单随机样本，X是样本均值，记
S21??(Xn?1i?11ni ?X),
2 S22?1ni?(Xni?1n?X),
2 S23?(X?n?1i?11ni??),
2 S24?1(X?ni?1i??),
2则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是 （A）t?X??S1/n?1. .
（B）t?X??S2/n?1.
（C）t?X??S3/