专题四 指数函数、对数函数与幂函数
一、 填空题
考向一 指数函数
1. (2017·无锡一模)已知f(x)=是奇函数,则f(g(-2))= .
2. (2018·苏州一模)已知4=2,logax=2a,则正实数x= .
3. (2016·天津卷)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增.若实数a满足
af(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是 .
4. (2017·江苏大联考)若函数f(x)=则不等式f(x) 5. (2017·山东卷)若函数y=ef(x)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数是 .(填序号) x①f(x)=2-x; ②f(x)=3-x; ③f(x)=x3; ④f(x)=x2+2. 考向二 对数函数 6. (2018·南通模拟)已知奇函数f(x)在(-∞,+∞)上为单调减函数,则不等式f(lgx)+f(1)>0的解集为 . 7. (2016·常州期末)函数f(x)=log2(-x+2)的值域为 . 8. (2016·苏北四市一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=log2(2+x)+(a-1)x+b(a,b为常数).若f(2)=-1,则f(-6)= . 9. (2016·泰州期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2+ln,记an=f(n-5),则数列{an}的前8项和为 . 10. (2017·如皋调研)已知x>0,y>0,lg2+lg8=lg2,则+的最小值是 . 考向三 指数函数、对数函数、幂函数的综合问题 11. (2017·南京、淮安三模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数,当x∈[2,4]时,f(x)=,则f= . xyx2 12. (2016·苏北四市一模)已知函数f(x)=e+x-2,g(x)=x-ax-a+3,若存在实数x1,x2,使得 x-12 f(x1)=g(x2)=0,且|x1-x2|≤1,则实数a的取值范围是 . 13. (2016·天津卷)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 . 14. (2017·安徽模拟)已知函数f(x)=lnx-x+1+a,g(x)=xe,若对任意的x1∈,总存在x2∈[0,1],使得 2xf(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是 . 二、 解答题 15. (2017·苏州期中调研)已知函数f(x)=3+λ·3(λ∈R). x-x(1) 若f(x)为奇函数,求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集; (2) 若不等式f(x)≤6对x∈[0,2]恒成立,求实数λ的取值范围. 16. (2016·上海卷改编)已知a∈R,函数f(x)=log2. (1) 当a=5时,解不等式f(x)>0; (2) 若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好只有1个元素,求a的取值范围. 17. (2017·扬州期中)已知函数f(x)=+x. (1) 若函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线经过点(0,-1),求a的值; (2) 是否存在负整数a,使函数f(x)的极大值为正值?若存在,求出所有负整数a的值;若不存在,请说明理由. 18. (2017·盐城三模改编)已知函数f(x)=xe-ax(a∈R). x2 (1) 若函数g(x)=是奇函数,求实数a的值; (2) 若对任意的实数a,函数h(x)=kx+b(k,b为常数)的图象与函数f(x)的图象总相切于一个定点,求 k与b的值. 19. (2017·南师附中模拟)已知a>0,b>0,函数f(x)=xlnx,g(x)=-a+xlnb. (1) 设h(x)=f(x)-g(x),求h(x)的单调区间; (2) 若存在x0∈使得f(x0)≤g(x0)成立,求的取值范围. 20. (2017·镇江一模)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=λ(x-1)(λ为常数). (1) 若函数y=f(x)与y=g(x)在x=1处有相同的切线,求实数λ的值; (2) 若λ=,且x≥1,求证:f(x)≤g(x); (3) 若对任意x∈[1,+∞),不等式f(x)≤g(x)恒成立,求实数λ的取值范围. 2 专题四 指数函数、对数函数与幂函数 1. 1 【解析】因为f(x)为奇函数,且x>0时,f(x)=2-3,所以x<0时,f(x)=g(x)=-(2-3),所以g(-2)=-1,所以f(g(-2))=f(-1)=-f(1)=1. 2. 【解析】因为4=2,所以a=,则logax=2a,即lox=1,解得x=. 3. 【解析】因为f(x)是偶函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.又 ax-xf(2|a-1|)>f(-)=f(),所以2|a-1|<,即|a-1|<,解得 4. (0,) 【解析】当x>1时,y=2-x的导数为y'=2ln2-1.又2ln2-1>0在(1,+∞)上恒成立,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.由不等式f(x) 5. ①④ 【解析】 令g(x)=ef(x).对于①,f(x)的定义域为R,g(x)=e2=在R上单调递增,具有M性质;对于②,f(x)的定义域为R,g(x)=e3=在R上单调递减,不具有M性质;对于③,f(x)的定义域为 x-xxx-xxxxR,g(x)=ex,g'(x)=ex+3xe=e(x+3x)>0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,不具有M性 x3 x3 2xx32 质;对于④,f(x)的定义域为R,g(x)=e(x+2),g'(x)=e(x+2)+2xe=e(x+2x+2)>0在R上恒成立,所以g(x) x2 x2xx2 在R上单调递增,具有M性质.故填①④. 6. 【解析】由题知,不等式f(lg x)+f(1)>0即为f(lg x)>f(-1),所以lg x<-1,解得0 8. 4 【解析】由f(0)=0,得b=-1,又由f(2)=-1,得a=0,所以f(x)=log2(x+2)-x-1,所以f(-6)=-f(6)=-(3-6-1)=4. 9. -16 【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以数列{an}的前8项和为f(-4)+f(-3)+f(-2)+…+f(3)=-f(4)-f(3)-f(2)-f(1)+0+f(1)+f(2)+f(3)=-f(4)=-24=-16. 10. 4 【解析】因为lg2+lg8=lg2+lg2=(x+3y)lg2,由lg2+lg8=lg2,得x+3y=1.由基本不等式的性质可得+=(x+3y)=2++≥2+2=4,当且仅当x=3y,即x=,y=时取等号. 11. 【解析】由题意得f=f=f=log4-x-1 xyx3y2 2 xy=. 0 12. [2,3] 【解析】易知函数f(x)=e+x-2为单调增函数,且f(1)=e+1-2=0,从而x1=1.因为 |x1-x2|≤1,所以|1-x2|≤1,所以0≤x2≤2.原题也就可以转化为存在实数x∈[0,2],使得 x2-ax-a+3=0成立,即存在实数x∈[0,2],使得a=成立.令t=x+1(t∈[1,3]),则g(t)==t+-2≥2 -2=2,当 且仅当t=,即t=2,x=1时取等号.又因为g(t)max=max{g(1),g(3)}=3,所以函数g(t)=t+-2的值域为[2,3],从而实数a的取值范围是[2,3]. 13. ∪ 【解析】由y=loga(x+1)+1在[0,+∞)上单调递减,得0 2