专题02等差数列及其性质
一、本专题要特别小心： 1.等差数列通项公式的推广 2.等差中项的应用 3.等差数列性质的应用 4.构造成等差数列求解 5.差后等差数列的求解方法 6.数学文化 二．【学习目标】
1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式等． 2．掌握等差数列的判断方法． 3．掌握等差数列性质的灵活运用． 三．【方法总结】
1.等差数列的五个基本量a1，an，n，d(q)，Sn.一般地“知三求二”，通过构建方程(组)求出特征量a1，d(q)，则其余问题可解.
2.等差、等比计算型问题注意函数思想、方程思想的渗透；消元法和整体代入法的灵活运用. 3.等差数列{an}的单调性由公差d确定.若d>0，则等差数列{an}递增；若d<0，则等差数列{an}递减. 四．【题型方法总结】
（一）等差数列通项公式的应用
例1. 数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A．
7 2B．
53 19C．?23 19D．?1 2【答案】D
【解析】∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15， ∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ?∵d∈[1，2]，λ
2?13?18d，
1?9d15是减函数， 1?9d．
∴d＝1时，实数λ取最大值为λ
故选：D．
练习1. 在等差数列{an}中，若A．24 【答案】C
【解析】设等差数列的公差为d， 因为所以故选C
练习2. 已知在等差数列A．
B．
中，
C．
则项数为 D．
，由等差数列的性质得a9?24，
.
B．36
C．48
，则3a12?a18的值为（ ）
D．60
【答案】D
【解析】由等差数列的性质可得S9解得a5＝2，故a5+an﹣4＝32， 而Sn故选：D． 练习3. 已知A．16 【答案】A
【解析】解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列， 则
2
1；
）＝10
10+2
16；
，
，并且，，成等差数列，则B．9
C．5
的最小值为
D．4
16n＝240，解得n＝15，
18，
则a+9b＝（a+9b）（当且仅当
，即
=时取到等号，
∴a+9b的最小值为16； 故选：A．
（二）等差数列的性质
例2. ．在等差数列?an?中，A．72 【答案】B
【解析】根据等差数列的性质可知：
B．60
，则C．48
（ ）
D．36
，
，故本题选B.
练习1. 已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则（ ） A．8 【答案】A
【解析】由1，a1，a2，9成等差数列得公差
2得b2?1?9∴b2??3当b2??3时1，b1，-3成等比数列，此时
B．-8 C．±8 D．
9 8，由1，b1，b2，b3，9成等比数列
无解，所以b2?3，∴
.
故选A.
练习2. 在各项不为零的等差数列?an?中，
，数列?bn?是等比数列，且
b2018?a2018，则
A．1 【答案】C
【解析】因为等差数列?an?中因为各项不为零，所以a2018=4， 因为数列?bn?是等比数列，所以所以
B．2
的值为（ ）
C．4
D．8
，所以，
，故选C.
练习3. 已知{an}为递增的等差数列，a4+a7=2，a5?a6=-8，则公差d=（ ） A．6 【答案】A
B．?6
C．?2
D．4
【解析】∵{an}为递增的等差数列，且a4+a7=2，a5?a6=-8， ∴a5+a6=2， ∴a5，a6是方程∴a5=-2，a6=4， ∴d=a6-a5=6， 故选：A．
（三）数组中的等差数列
例3．由正整数组成的数对按规律排列如下：?1,1?，?1,2?，?2,1?，?1,3?，?2,2?，?3,1? ，?1,4?，?2,3?，
的两个根，且a5＜a6，
?3,2?，?4,1? ，?1,5?，?2,4? ，…．若数对?m,n? 满足
数对?m,n?排在（ ） A．第351位 【答案】B 【解析】
（673为质数），故
或者
B．第353位
C．第378位
D．第380位
，其中m,n?N，则
?，m,n?N???，
得个，
，在所有数对中，两数之和不超过27的有
在两数之和为28的数对中，(2,26)为第二个（第一个是(1,27)）,故数对(2,26)排在第351+2=353位， 故选：B
练习1. 计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第（
），即
，则该数的所有数字之和为（ ） ．．．．B．1974
C．1975
D．1976
个0之间有
个1
A．1973 【答案】C
【解析】将数字从左只有以为分界进行分组 第一组为
，数字和为；