距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：y2?16x）；(3) 一动圆与两圆⊙M：x2?y2?1和⊙N：x2?y2?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；

④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线y?2x2?1上任一点，定点为A(0,?1),点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：

y?6x2?1）； 3???⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均

用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使|OP|?|MN|，求点P的轨迹。（答：x2?y2?a|y|）；（2）若点P(x1,y1)在圆x2?y2?1上运动，则点Q(x1y1,x1?y1)的轨迹方程是

1____（答：y2?2x?1(|x|?)）；（3）过抛物线x2?4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则

2弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：x2?2y?2）；

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化。如已知椭圆x2y2??1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭a2b2圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段

F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0.（1）设x为点P的横坐标，证明

c|F1P|?a?x；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C

a上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：

b2b2222（1）略；（2）x?y?a；（3）当?a时不存在；当?a时存在，此时∠F1MF2＝2）

cc②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

??（1） 给出直线的方向向量u??1,k?或u??m,n?；

（2）给出OA?OB与AB相交,等于已知OA?OB过AB的中点;

?（3）给出PM?PN?0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出AP?AQ??BP?BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;

??（5）给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数?,使AB??AC；③若存在实数

?????????????,?,且????1,使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三点共线.

??OA??OB，等于已知P是AB的定比分点，?为定比，即AP??PB

1??（7） 给出MA?MB?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给出MA?MB?m?0,等于已知（6） 给出OP??AMB是钝角, 给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是锐角,

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???MAMB?（8）给出?????MP,等于已知MP是?AMB的平分线/

?MAMB???（9）在平行四边形ABCD中，给出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形;

????????????????（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形;

（11）在?ABC中，给出OA?OB?OC，等于已知O是?ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在?ABC中，给出OA?OB?OC?0，等于已知O是?ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在?ABC中，给出OA?OB?OB?OC?OC?OA，等于已知O是?ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

????????ABAC??????)(??R?)等于已知AP通过?ABC的内心； （14）在?ABC中，给出OP?OA??(???|AB||AC|（15）在?ABC中，给出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知O是?ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

????1????????（16） 在?ABC中，给出AD?AB?AC,等于已知AD是?ABC中BC边的中线;

2

九、直线、平面、简单多面体

?1、异面直线所成角?的求法：（1）范围：??(0,]；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是

2平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。如（1）正四棱锥P?ABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于____

3（答：）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上

3的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；（3）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）若异面直

???线a,b所成的角为，且直线c?a，则异面直线b,c所成角的范围是____（答：[,]）；

3622、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：[0?,90?]；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，

6已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为______（答：arcsin）；（2）

4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余

1弦值是______（答：）；（3）PA,PB,PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都是60?，则直线

33PC与平面PAB所成角的余弦值为______（答：）；（4）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都

33成相等的角θ，则sinθ的值为______（答：）。

32、二面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其

222?? - 30 -

中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：[0,?]；（4）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式S射＝S原?cos?，其中?为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为________

60?）（答：；（2）将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C

1的余弦值是______（答：）；（3）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1

36所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的大小为______（答：arcsin）；（4）从点P出发引三条射

31线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是______（答：）；（5）二面

3角α-l-β的平面角为120°，A、B∈l，AC?α，BD?β，AC⊥l，BD⊥l，若AB=AC=BD=1，则CD的长______（答：2）；（6）ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB

3）。 23、空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）

（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个

与面PCD所成的锐二面角的大小为______（答：arctan3a）。 3（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。如（1）等边三角形ABC的边长为22，

将?ABD沿AD折起，使之与?ACD所在平面成120?的二面角，这时A点到BC的AD是BC边上的高，26距离是_____（答：）；（2）点P是120°的二面角α-l-β内的一点，点P到α、β的距离分别是

22393、4，则P到l的距离为 _______（答：）；（3）在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有

3一动点P到棱A1B1与棱BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为_______（答：抛物线弧）。

（3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。如（1）长方体ABCD?A1B1C1D1的

平面。如已知正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为a，则异面直线BD与B1C的距离为_____（答：26）；（2）在棱长为36

a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则A1到平面MBD的距离为______（答：a）。

6

（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。

（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。

（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的

棱AB?AD?4cm,AA1?2cm，则点A1到平面AB1D1 的距离等于______（答：

长。如（1）设地球半径为R，在北纬45?圈上有A,B两地，它们的纬度圈上的弧长等于两地间的球面距离（答：

2?R，求A,B4?R）；（2）球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1，63经过这3点的小圆的周长为4?，那么这个球的半径为______（答：23）；（3）三棱锥P?ABC的三个

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侧面两两垂直，PA?12,PB?16,PC?20，若P,A,B,C四个点都在同一球面上，则此球面上两点A、B之间的球面距离是_________（答：52?）。

4、你熟悉下列结论吗？

⑴三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点； ⑵从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；

⑶AB和平面所成的角是?1，AC在平面内，AC和AB的射影AB?成?2，设∠BAC=?3,则cos?1cos?2=cos?3；

⑷如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面；

⑸若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为?,?,?，则cos2?+cos2?+cos2?=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为?,?,?,则cos2?+cos2?+cos2?=2。如（1）长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30°、45°，则与第三个面所成的角为____________（答：30°）；（2）若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为?,?,?，则sin?,sin?,sin?的关系为____________。（答：sin2??sin2??sin2??2）

⑹若正棱锥的侧面与底面所成的角为?，则S底＝S侧?cos?。如若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面２

，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角等于__（答：60?） ３

⑺在三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心；③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内?顶点在底上射影为底面内心.提醒：③若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。

⑻正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

十、排列、组合和二项式定理

mm 1.排列数An中n?m?1,n、m?N、组合数Cn中n?m,n?1,m?0,n、m?N. 积之比为

(1)排列数公式 Anm?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)?n!n(m?n)；An?n!?n(n?1)(n?2)?2?1.

(n?m)!如（1）1！+2！+3！+?+n！（n?4,n?N*）的个位数字为 （答：3）；（2）满足A8x?6A8x?2的x＝ （答：8）

mAnn?(n?1)???(n?m?1)n!0?(m?n)；规定0！?1，Cn(2)组合数公式C?m??1.

Amm?(m?1)???2?1m!?n?m?!mnmnm如已知Cn?Cm?A?1n?6，求 n，m的值（答：m＝n＝2）

1kk?1(3)排列数、组合数的性质：①Cnm?Cnn?m；②Cnm?Cnm?1?Cnm??1；③kCn?nCn?1；

n11?1??n?n!?(n?1)!?n!④Crr?Crr?1?Crr?2???Cnr?Cnr?；⑤；⑥. 1(n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：35）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合?1,2,3?和?1,4,5,6?中各取一个元素作为点的坐标，则

在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）?A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5

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A C B D