生活的色彩就是学习
向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义：
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.
实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
[再练一题]
→→→→
2.化简：(1)(MA＋BN)＋(AC＋CB)； →→→→(2)AB＋(BD＋CA)＋DC.
→→→→
【解】 (1)(MA＋BN)＋(AC＋CB) →→→→＝(MA＋AC)＋(CB＋BN) →→→＝MC＋CN＝MN. →→→→(2)AB＋(BD＋CA)＋DC →→→→
＝AB＋BD＋DC＋CA＝0.
向量加法的实际应用
如图2-2-3所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接
到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 【导学号：00680036】
图2-2-3
→【精彩点拨】 解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解Rt△ABC，求出|AC|和∠BAC，最后结合图形作答.
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→→
【自主解答】 设AB，BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B→→
地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|AB|＋|BC|；
→→→
两次飞行的位移的和指的是AB＋BC＝AC. →→
依题意，有|AB|＋|BC|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， →所以|AC|＝
22→2→2
|AB|＋|BC|＝800＋800＝8002(km).
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为8002 km，方向为北偏东80°.
向量加法的实际问题的解题步骤如下：
用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量；利用直角三角形知识解决问题.
[再练一题]
3.为了调运急需物资，如图2-2-4所示，一艘船从江南岸A点出发，以53 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.
利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和；
图2-2-4
(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速度方向间的夹角表示) →→
【解】 (1)如图所示，AD表示船速，AB表示水速.
易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD， →
则AC表示船实际航行的速度. K12的学习需要努力专业专心坚持
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→→
(2)在Rt△ABC中，|AB|＝5，|BC|＝53， →所以|AC|＝5＋
2
→2→2
|AB|＋|BC|＝
2
3＝100＝10.
→|BC|
因为tan∠CAB＝＝3，所以∠CAB＝60°.
→|AB|
因此，船实际航行的速度大小为10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.
[探究共研型]
向量加法的多边形法则
→→→
探究1 在△ABC中，若AB＝a，BC＝b，CA＝c，那么a＋b＋c＝0一定成立吗？ →→→→
【提示】 一定成立.因为在△ABC中，由向量加法的三角形法则AB＋BC＝AC，所以AB＋→→
BC＋CA＝0，那么a＋b＋c＝0.
探究2 如果任意三个向量a，b，c满足条件a＋b＋c＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？
【提示】 若任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a＋b＋c＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形.
→→
探究3 设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，A1An＝A1A2
→→→→→→→
＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An.当A1与An重合时，A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An满足什么关系？
→→→→
【提示】 当A1与An重合时，有A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝0.
→→→
如图2-2-5，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )
【导学号：70512024】
图2-2-5
A.0 →
C.AD
→
B.BE →D.CF
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→→→→
【精彩点拨】 用向量加法的运算律可以实现简化运算的目的，将BA＋CD＋EF变形为CD＋→→
DE＋EF就可以利用向量加法的多边形法则求和向量.
→→→
【自主解答】 因为ABCDEF是正六边形，所以BA∥DE，BA＝DE，所以BA＝DE，所以BA＋→→→→→→→→→CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CD＋DE＋EF＝CF.
【答案】 D
三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.
[再练一题]
4.如图2-2-6，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
图2-2-6
→→→(1)DG＋EA＋CB； →→→→(2)EG＋CG＋DA＋EB.
→→→→→→→→→→→→
【解】 (1)DG＋EA＋CB＝GC＋BE＋CB＝GC＋CB＋BE＝GB＋BE＝GE. →→→→→→→→→→→→→
(2)EG＋CG＋DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝EA＋AE＝0.
→→→→
1.化简OP＋PQ＋PS＋SP的结果等于( ) →
A.QP →C.SP
→→→→→→
【解析】 OP＋PQ＋PS＋SP＝OQ＋0＝OQ. 【答案】 B
2.下列命题中正确的个数为( )【导学号：00680037】 (1)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么(a＋b)∥a； K12的学习需要努力专业专心坚持
→B.OQ →D.SQ