生活的色彩就是学习

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律.(难点) 2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算.(重点) 3.数的加法与向量的加法的联系与区别.(易混点)

[基础·初探]

教材整理1 向量加法的定义及其运算法则 阅读教材P80～P81“例1”以上内容，完成下列问题. 1.向量加法的定义

定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a. 2.向量求和的法则

已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量三角形法则 →→→→→→AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC 已知两个不共线向量a，b，作AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作?ABCD， 平行四边形法则 则对角线上的向量AC＝a＋b.

→

对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为BC的是________. →→→→→→(1)BA＋AD＋DC；(2)BD＋DA＋AC； →→→(3)AB＋BD＋DC.

→→→→→K12的学习需要努力专业专心坚持

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→→→→→→→→→→→→

【解析】 在(1)中，BA＋AD＋DC＝BD＋DC＝BC；在(2)中，BD＋DA＋AC＝BA＋AC＝BC；→→→→→→

在(3)中，AB＋BD＋DC＝AD＋DC＝AC.

【答案】 (3)

教材整理2 向量加法的运算律

阅读教材P82～P83例2以上内容，完成下列问题.

交换律 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＋0＝a.( ) (2)a＋b＝b＋a.( )

(3)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.( ) →→→

(4)AB＋BA＝2AB.( )

→→

【解析】 根据运算律知，(1)(2)(3)显然正确，对于(4)，应为AB＋BA＝0.故(4)错误. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

a＋b＝b＋a

[小组合作型]

向量加法运算法则的应用

(1)如图2-2-1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线

上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：

图2-2-1

→→

①AB＋DF＝________； →→

②AD＋FC＝________； →→→

③AD＋BC＋FC＝________. K12的学习需要努力专业专心坚持

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→→→

(2)若正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AD＝b，AC＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小.

【精彩点拨】 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图.

【自主解答】 (1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：

→→→→→①AB＋DF＝AB＋BC＝AC. →→→→→②AD＋FC＝AD＋DB＝AB. →→→→→→→③AD＋BC＋FC＝AD＋DF＋FC＝AC. →→→

【答案】 (1)①AC ②AB ③AC

→→→

(2)根据平行四边形法则可知，a＋b＝AB＋AD＝AC.

→→→→→→

根据三角形法则，延长AC，在AC的延长线上作CE＝AC，则a＋b＋c＝AC＋AC＝AC＋CE＝→

AE(如图所示).

→22

所以|a＋b＋c|＝|AE|＝21＋1＝22.

1.向量求和的注意点：

(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. (2)两个向量的和向量仍是一个向量.

(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.

2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.

[再练一题]

1.如图2-2-2所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：

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图2-2-2

→→(1)OA＋OC； →→(2)BC＋FE.

→

【解】 (1)由图可知，四边形OABC为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得OA→→＋OC＝OB.

→→→→

(2)由图可知，BC＝FE＝OD＝AO， →→→→→∴BC＋FE＝AO＋OD＝AD.

向量加法运算律的应用

(1)下列等式不正确的是( )

→→→→→→

①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②AB＋BA＝0；③AC＝DC＋AB＋BD. A.②③ C.①

B.② D.③

(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简： →→→①AB＋CD＋BC； →→→→②DB＋AC＋BD＋CA.

【精彩点拨】 可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和.

→→

【自主解答】 (1)由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB＋BA＝0，故②不正确；→→→→→→→

DC＋AB＋BD＝AB＋BD＋DC＝AC成立，故③正确.

【答案】 B

→→→→→→→→→(2)①AB＋CD＋BC＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD. →→→→→→→→

②DB＋AC＋BD＋CA＝(DB＋BD)＋(AC＋CA)＝0＋0＝0.

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