（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）2;（2）arccos

2 4【解析】(1) 在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得 ∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,

于是, PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1×23×3=2. 3(2)解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.

在Rt△AOB中OA=3,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－3,0),

B(1,0,0),D(－1,0,0)P(0,0, 3). E是PB的中点,则E(

3313,0,) 于是DE=(,0, ),AP=(0, 3,3).

22223222?设DE与AP的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos, 4493??3?344∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.

2. 4

由E是PB的中点,得EF∥PA,

∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角). 在Rt△AOB中AO=ABcos30°=3=OP,

于是, 在等腰Rt△POA中,PA=6,则EF=

6. 2在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=3.

16EF2?4=cos∠FED=2 DE34∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos

2. 443. 【2006上海,文19】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

在直三棱柱ABC?ABC中，?ABC?90,AB?BC?1. （1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；

（2）若A1C与平面ABCS所成角为45，求三棱锥A1?ABC的体积.

【答案】（1）45°; （2）

6 2

(2) ∵AA1⊥平面ABC,

∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°. ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=2, ∴AA1=2.

∴三棱锥A1-ABC的体积V=

61S△ABC×AA1=.

2344. 【2005上海,文17】（本题满分12分）已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是BB1和BC的中点，AB=4，AD=2，B1D与平面ABCD所成角的大小为60?，求异面直线B1D与MN所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【答案】arctan

1 2【解析】连结B1C,由M、N分别是BB1和BC的中点,得B1C∥MN, ∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角.

联结BD,在Rt△ABD中,可得BD=25,又BB1⊥平面ABCD, ∠B1DB是B1D与平面ABCD所成的

角, ∴∠B1DB=60°.

在Rt△B1BD中, B1B=BDtan60°=215, 又DC⊥平面BB1C1C, ∴DC⊥B1C, 在Rt△DB1C中, tan∠DB1C=

DC?B1CDCBC2?BB12?1, 2∴∠DB1C=arctan

1. 21. 2即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan

三．拔高题组

45. 【2014上海,理19】（本题满分12分）

底面边长为2的正三棱锥P?ABC,其表面展开图是三角形PP12P3，如图，求△PP12P3的各边长及此三棱锥的体积V.

【答案】边长为4，体积为【解析】

22． 3