另一方面，∵(T?Q)?Q，∴m*(T?cQ)?m*Q?0（单调性），

m*(T?Q)?0，∴m*(T?Q)?0。

又∵T?(T?cQ)，∴m*T?m*(T?cQ)（单调性）

∴m*T?m*(T?Q)?m*(T?cQ) ② 由①、②知：m*T?m*(T?Q)?m*(T?cQ) 即卡氏条件成立， ∴ Q为可测集，∴ mQ?m*Q?0.

第四章 可测函数

一、基本概念：可测函数.， 重要的可测函数：简单函数，连续函数；依测度收钦，命

题几乎处处成立

1、可测函数的定义：设f(x)是定义在可测集E?R上的实函数，若对于任何有限实数a，点集E[f＞a]=x|x?E,f(x)＞a都是可测集，则称f(x)为定义在E上的可测函数.

2简单函数定义：设f(x),x?E，把E分为有限个互不相交的可测集，x?Ei时，则称f(x)为定义Ei(i?1,2,3,?,n)，E??Ei，使f(x)?Ci（常数）

i?1nn??在E上的简单函数.

例如在区间[0，1]上的狄利克雷函数便是一简单函数

3 连续函数的定义（用邻域定义）：设f(x)，x?E?R，对于x0?E，若： 1）y0?f(x0)有限；

2）对于y0的任一邻域V?V(y0)都存在x0的某邻域U?U(x0)，使得

nf(U?E)?V；则称f(x)在x0点连续，若f(x)在E中每一点都连续，则称 f(x)在E上连续.

4、命题几乎处处成立：设命题?是一个与点集E有关的命题，若存在E的子集M?E，mM=0，使?在E\\M上恒成立，即E\\E[?成立]为零测度集，则称?在E上几乎处处成立，简记为 ?a?e.于E成立.

5 依测度收敛的定义：设?fn?是E?R上一列a.e.有限的可测函数列，若有E上a.e.有

q限的可测函数f(x)满足下列关系：对任意的?＞0，有limmEfn?f???0,

n???? 5

则称函数列?fn?依测度收敛于f，记为：fn(x)?f(x).

注意：依测度收敛与收敛的不同，两者不能彼此包含.

二、基本理论

1可测函数的充要条件

定理1、设f(x)是定义在可测集E上的实函数，下列任一条件都是f(x)在E上可测的充要条件：

1）对任何有限实数a，E[f≥a]都可测； 2）对任何有限实数a，E[f＜a]都可测； 3）对任何有限实数a，E[f≤a]都可测；

4）对任何有限实数a ，b（a＜b），E [a≤f＜b ]都可测（充分性要假定f(x)是有限函数）

2可测函数的运算

1）设f(x),g(x)都在E上可测，则下列函数（假定它们在E上有意义）都在E上可测：① f(x)?g(x)；② f(x)?g(x)；③

1，④ f(x). f(x)2）可测函数列的确界函数仍可测，设?fn(x)?是在E上可测函数列，则下确界函数

?(x)?inf?fn(x)?和上确界函数?(x)?sup?fn(x)?都在E上可测

n3）可测函数列的上、下极限函数以及极限函数都是可测函数. 3、可测函数与简单函数的关系

任何一个可测函数都可表示成一简单函数列的极限函数. 4、连续函数与可测函数的关系

（定理2）连续函数一定是可测函数，但反之，不真.

5 叶果洛夫定理（见书P87）

定理告诉我们：满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”一致收敛的. 6可测函数的构造 定理1（鲁津）（见书P88）定理说明：一般的可测函数是“基本上连续”的函数. 7、依测度收敛与收敛的关系.

定理1（黎斯）设在E上?fn?测度收敛于f，则存在子列f三 基本题目

i?n?，在E上a.e.收敛于f.

6

1、证明：f(x)在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，集E[f ＞r]是可测的. 证: 必要性：∵f(x)在E上可测,由定义对任意有限实数a, 点集E[f ＞a]是可测的，特别地当a为任一有理数r时，E[f ＞r]也可测.

充分性：已知对任一有理数r可测，下面只须证明对任一无理数a，点集E[f ＞a]可测. 取一递增的有理数列?rn?：rn?a,n?1,2,3,?,且limrn?a，

n??∵E?f?a???E[f＞n?1?已知 E?f＞rn?可测，n?1,2,3,?.∴?E?f?r? 可测（可r]，

?nn?1n测个可测集的交集仍可测）, 即E?f?a?可测, 由可测函数的等价条件知点集E[f ＞a] 也可测.

所以，对任意有限实数a，点集E?f?a?都可测，由定义知f(x)在E上可测.充分性成立.

综合两方面的证明知，命题得证.

2、试述可测函数的定义，答案见§1定义1.

第五章 积分论

引入：为克服R-积分的不足，引入L-积分. 一、基本概念：黎曼积分（R积分），勒贝格积分（L积分），函数的下方图形.

1黎曼积分的（确界式）定义

黎曼积分、简记为R积分，即数学分析中的定积分.回顾R积分的确界式定义见书P100定义1.

2勒贝格积分的定义

(1）设f(x)是E上的有界函数，mE＜∞ 1）对E的任一可测分化D??Ei?，Ei(i?1,2,3,?,n)为互不相交的可测集 2）令Bi?supf(x) biinff(x)

x?Eix?Ei作乘积BimEi bimEi 求和：

?BmEii?1niini?S(D,f) ——大和

?bmEi?1?s(D,f)——小和

3）求L上、下积分

7

令：?Ef(x)dx?infS(D,f) ——L上积分

D?Ef(x)dx?supS(D,f)——L下积分

D4）若?Ef(x)dx??Ef(x)dx，则称f(x)在E上L可积，且称此共同值为f(x) 在E

上的L积分，记为：?Ef(x)dx.

2） 一般可积函数的勒贝格积分的定义

把L积分从mE有限,f(x)在E上有界,推广到mE没有限制, f(x)在E上是否有界不要求的情形,推广步骤分为:

第一步 非负函数情形 见书P115

第二步 一般函数(不限于非负)的情形 见书P116 推广后的L积分的性质 见书P117

3 函数的下方图形

二、基本理论

1 L可积的充要条件

1）设f(x)在可测集E(mE??)上有界，f(x)在E上L可积?对???0，存在E的可测分划D，使 S(D,f)?S(D,f)???mE??，这里?iii?1ni?Bi?bi.

2)设f(x)在可测集E(mE＜∞)上有界,则f(x)在E上L可积 ? f(x)在E上可测. 2 L积分的运算性质

设f(x)、 g(x)可测集E(mE＜∞)上有界且L可积,则f(x)?g(x) 、 f(x)?g(x) 、 f(x) /g(x) (但infg(x)?0)及f(x) 在E上都是可积的.

x?E3 L积分与R积分的关系

设f(x)在[a,b]上R可积,则f(x)在[a,b]上L可积,且有相同的积分值, 即

?baf(x)dx?

?[a,b]f(x)dx

4 L积分的性质

（1） 若 f(x)在E上L可积,则 f(x) 在E的任何子集上也可积 （2）对积分区域的可加性: 若f(x)在E=A?B上有定义,A?B=?,且在A,B上分别可积,则

?Ef(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx

AB（3） 线性运算性质

1) 设f(x) 、 g(x) 在E上L可积,则

?[f(x)?g(x)]dx=?EEf(x)dx+?g(x)dx

E 8