实 变 函 数 复 习 提 纲
第一章 集合
2006-7-14
一、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一一映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．
二、基本理论：
1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式； 2、集合对等的性质；
3、可数集合的性质、基数：N?a、Q?a（a＞0）； 4、不可数数集合的基数：R?c（c>a>0）． 三、基本题目
1、集合对等的判定、求基合的基数
例 证明I=（－1，1）和R=（－∞，+∞）是对等的，并求I. 证：作映射ф：??x??tan因??x??tan?2x，x∈（－1，1），其值域为R=（－∞，+∞）、
?2x，在（－1，1）是严格单调增的，∴?：??x??tan?2x是（－1，1）到R上的一一对应, 即 I= (-1,1)
1?1?(x)?tanx2
由对等的定义知：I～R.
∵I～R∴I?R，又R?c，∴I?c. 2 集合的运算，德。摩根律的应用 3 可数数集合的判定
?(??,??)=R
第二章 点集
一、基本概念：距离、度量空间、n维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间 二、基本理论
1、开集的运算性质 ； 2、闭集的运算性质 3、直线上开集的构造； 4、直线上闭集的构造 三、基本题目
1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集 例 设E为[0，1]上的有理数点的全体组成的集
1）求E，E'，E； 2）判定E是开集还是闭集，为什么？
解：1）对于?x?E，x的任意邻域U(x)内有无数个无理点,∴U(x)?E，∴x不是
_0 1
E的内点，由x的任意性，知E无内点,∴E??.
对于?x??0,1?，?U(x)内都有无数多个有理点，即有无数多个E的点,∴x为E的聚点.又在[0，1]外的任一点都不是E的聚点. ∴E???0,1?. ∵E?E?E??E??0,1???0,1? ， ∴2）E不是开集，也不是闭集.
因为E??，而E是非空的，∴E?E, ∴E不是开集.
因为E???0,1?，而[0，1]中的无理点不在E内，即E??E，∴由定义知，E不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造
__000E??0,1?.
第三章 测度论
引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度． 一、基本概念：勒贝格外测度，L测度，可测集，可测集类
1勒贝格外测度的定义：设E为R中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间UIi?E，
i?1n?作出它的体积和???Ii?1?i（?可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的?），所有这一
切的?组成一个下方有界的数集，它的下确量（由E完全确定）称为E的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为m*E，即：
m*E?infE???i?1Ii???I??i? ?i?1?注：由定义1知：R中的任一点集都有外测度（一个非负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E为R中点集，若对任一点集T都有
nnm*T?m*(T?E)?m*(T?CE)（1）
则称E为L可测的，这时E的L外测度m*E就称为E的L测度，记为mE，条件（1）称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.L可测集的全体记为?.
3可测集类
1）零测度集类：
2）一切区间I（开、闭、半开半闭）都是可测集合，且mI?I 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的
2
二、基本理论
1勒贝格外测度的性质
（1）m*E≥0，当E为空集时m*E=0（即m*??0）；（非负性）； （2）设A?B，则m*A≤m*B；（单调性） ??（3）m*(UAi)≤
m*Ai?1?i；（次可数可加性）
i?12 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合E可测←→对任意的A?E，B?[CE，总有
m*(A?B)?m*A?m*B
2）余集的可测性：S可测←→CS可测
3）并集的可测性：若S1，S2都可测，则S1∪S2也可测； 4）交集的可测性：若S1，S2都可测，则S1∩S2也可测； 5）差集的可测性：若S1，S2都可测，则S1－S2也可测；
6）可列可加性：设?S?i?是一列互不相交的可测集，则U?1Si也是可测的，且im(US??1i)??mSi
i?i?17）可列交的可测性：设?Si??是一列可测集合，则?Si也是可测集合；
i?18）递增的可测集列的极限的测度：设?Si?是一列递增的可测集合：
s1?s2???sn?，
?令S=
?s? 则mS?limi?1ilimn??sn n??mSn
9）递减的可测集列的极限的测度：设?Si?是一列递减的，可测集合： S1?S2???Sn?
?令S??i?1Si?limn??Sn，则当它mS1＜∞时，mS?limn??mSn.
三 基本题目
1、试述L外测度的定义.（答案见第三章§1定义1） 2、试给L测度的定义（答案见第三章§2定义1）
3、设点集E?Rn，m*E?0，证明E是可测集，并求mE.
证：只须证明卡氏条件成立，即对?T?Rn，有
m*T?m*(T?E)?m*(T?CE)
3
∵T?(T?E)?(T?CE)
∴m*T≤m*(T?E)?m*(T?CE) （外测度的次可数可加性）①
另一方面：∵(T?E)?E，∴m*(T?E)≤m*E（单调性）
∵已知m*E?0，m*(T?E)≥0，∴0≤m*(T?E)≤0，必有m*(T?E)=0 又：T?(T?CE) ∴m*T≥m*(T?CE)（单调性）
∴ m*T≥m*(T?CE)+m*(T?CE) ②
由①、②可知：m*T=m*(T?CE)+m*(T?CE)，此即卡氏条件成立； ∴ E是可测的， ∴ mE?m*E?0.
n4、证明可数点集E?R的外测度m*E?0
iii证明：E为可数点集，∴E??e1,e2,e3,?,em,? ?，其中ei?(e1i,e2,e3,?,en)?Rn，
i?1,2,3,?,m,?
对于任意给定的?＞0，不妨设?1，作开区间
????Ii??(x1,x2,x3,?,xn)eij?i?1＜xij＜eij?i?1,j?1,2,3,?,n?
22??Ii?(因
?2)n?i?2i,i?1,2,3,?,n
?Ii?1?i??ei?E，由外测度的单调性及次可列可加性得：
i?1?1??m*E?m*(?Ii)??m*Ii??Ii??i?2???
1i?1i?1i?1i?121?2???又由ε的任意性及m*E≥0得：m*E=0，得证.
注：本题可当作定理.
5、设Q为有理数集合，求m*Q，mQ. 解：∵Q为一可数集合，∴m*Q=0. 对于?T，∵T?(T?Q)?(T?cQ)
∴ m*T?m*(T?Q)?m*(T?cQ) （外测度的次可列可加性）①
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