cos?BH,n2??BH?n2BH?n2??77.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.

21211.【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）

如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB=16，BC=10，AA1?8，点E，F分别在A1B1，

C1D1上，A1E?D1F?4．过点E，F的平面?与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

D1

F

C1

A1

E D

B1

C

A B

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF与平面?所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）45． 15【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图：

线AF与平面?所成角的正弦值为45． 152.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AC?BC，

BC?CC1，设AB1的中点为D，B1C?BC1?E.求证：（1）DE//平面AA1C1C；

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（2）BC1?AB1. A

C

B D E A1

C1 B1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

（2）因为棱柱??C??1?1C1是直三棱柱， 所以CC1?平面??C．

因为?C?平面??C，所以?C?CC1．

又因为?C??C，CC1?平面?CC1?1，?C?平面?CC1?1，?CCC1?C，所以?C?平面?CC1?1．

又因为?C1?平面?CC1?1，所以?C1??C．

因为?C?CC1，所以矩形?CC1?1是正方形，因此?C1??1C．

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因为?C，?1C?平面?1?C，?C?1C?C，所以?C1?平面?1?C．

又因为??1?平面?1?C，所以?C1???1．

3.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，

ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D,E的平面交CD1于F.

（Ⅰ）证明：EF//B1C；

（Ⅱ）求二面角E?A1D?B1余弦值.

【答案】（Ⅰ）EF//B1C；（Ⅱ）【解析】

6. 3

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设面A1DE的法向量n1?(r.而该面上向量A,?1)，由1,s1,t1)1E?(0.5,0.5,0),A1D?(0,1?0.5r1?0.5s1?0，(?1,1,1)为其一组解，所以n1?A1E,n1?A1D得r1,s1,t1应满足的方程组?s?t?0?11可取n1?(?1,1,1).设面A1B1CD的法向量n2?(r2,s2,t2)，而该面上向量

A1B1?(1,0,0),A1D?(0,1,?1)，由此同理可得n2?(0,1,1).所以结合图形知二面角

E?A1D?B的余弦值为

|n1?n2|26??.

3|n1|?|n2|3?21．（2014·安徽卷）如图1-5，四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.

图1-5

(1)证明：Q为BB1的中点；

(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小． 解： (1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，

BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，

所以平面QBC∥平面A1AD，

从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行， 即QC∥A1D.

故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，

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